不同拉壓模量的非飽和土體自承載能力分析

于旭光

唐山工業(yè)職業(yè)技術學院 063299

引言

小孔擴張理論是研究關于柱形孔或球形孔擴張和收縮所引起的應力、孔隙水壓力和位移變化的理論［1］，已經(jīng)廣泛應用于樁基礎和地錨［2，3］、土體原位試驗［4］以及隧道和地下開挖［5］等工程中，并且以上均涉及到評價巖體或土體的自身承載能力。趙均海等［6］提出了新的圍巖自承載系數(shù)（即縮孔自承載系數(shù)）用于評價隧道圍巖的自承載能力，相比于傳統(tǒng)的抗力系數(shù)，雖然在形式上相同，但是比傳統(tǒng)的抗力系數(shù)更有優(yōu)勢，由于新的圍巖自承載系數(shù)考慮了初始地應力的影響，進而力的改變量與位移改變量的方向相同（指向洞內(nèi)），并且解決了采用傳統(tǒng)抗力系數(shù)求解無支護隧道抗力系數(shù)為0 這一有悖常識的問題；張常光等［7］在文獻［6］基礎上，提出了用于沉樁擠土孔擴張問題的擴孔自承載系數(shù)，并將縮孔和擴孔自承載系數(shù)進行了對比分析，但在擴孔自承載系數(shù)分析中研究對象為飽和土且未考慮土體抗拉和抗壓特性的差異性。而目前在非飽和土地區(qū)由于沉樁擠土效應對樁周土體具有加固作用，合理利用可節(jié)約材料和費用，因此擠土樁在非飽和土地區(qū)普遍應用［8］。龔曉南［9］通過三軸壓縮與三軸伸長試驗表明土體抗壓和抗拉特性差異較大，不可忽視。

因此，本文針對上述擴孔自承載系數(shù)研究不足，根據(jù)非飽和土統(tǒng)一強度理論，綜合考慮材料的不同拉壓模量、基質(zhì)吸力以及強度非線性、中間主應力效應、剪脹特性等因素，對理想彈-塑性非飽和土體自承載系數(shù)進行理論推導和參數(shù)影響特性分析。

1 基本理論

1.1 平面應變條件下非飽和土統(tǒng)一強度理論

根據(jù)張常光等［10］建立的非飽和土統(tǒng)一強度理論，同時參考文獻［11］建立平面應變條件下統(tǒng)一強度理論的方法，可得平面應變條件下非飽和土統(tǒng)一強度理論表達式為：

式中：c′、φ′分別為對應飽和土的有效黏聚力、有效內(nèi)摩擦角；cs為非飽和土的吸附強度，其值cs＝ustanφb＝（ua－uw）tanφb，其中us為基質(zhì)吸力，其值為（ua－uw），ua為孔隙氣壓力，uw為孔隙水壓力，φb為與基質(zhì)吸力（ua－uw）有關的吸力角；（σ1－ua）、（σ3－ua）分別為最大、最小凈主應力；b 為選用不同強度準則的參數(shù)，取值范圍為0≤b≤1。

1.2 非飽和土強度非線性

對于吸力角φb的取值，文 獻［12 －17］指出：在高吸力范圍內(nèi)時，吸力角φb為基質(zhì)吸力（ua－uw）的函數(shù)，且隨基質(zhì)吸力的增大而減小。比較典型的是S. L. Houston 等［16］提出的吸力角φb與基質(zhì)吸力（ua－uw）的分段雙曲線函數(shù)關系表達式為：

式中：（ua－uw）b為進氣值，工程中常見取值范圍為（0 ～50）kPa［16，18－19］；參數(shù)n 可由有效內(nèi)摩擦角確定，即：1／n ＝－2.4598 ＋1.0225φ′；參數(shù)m由試驗值確定［16，20］，并且文獻［16］給出了12 種非飽和土的m 值，其取值范圍為（0.46 ～31.5）kPa。

將式（2）代入式（1）可得到平面應變條件下考慮高基質(zhì)吸力時強度非線性的非飽和土統(tǒng)一強度理論表達式。

2 非飽和土體自承載系數(shù)

對于具有不同拉壓模量的柱形孔擴張問題，其力學模型見圖1。設無窮遠處受等值的初始地應力p0，柱形孔內(nèi)表面均勻壓力為pi，半徑為ri，塑性區(qū)半徑為rp。這里pi指的是沉樁施工中對樁周土體的擠壓力。

圖1 柱形孔擴張力學模型Fig.1 Mechanical model of cylindrical cavity expansion

文獻［7］依據(jù)抗力系數(shù)的概念，提出了柱形孔擴張時土體自承載系數(shù)K表達式為：

式中：Δp為柱形孔孔壁處壓力的改變量；Δu 為柱形孔孔壁處位移的改變量，因開挖前柱形孔孔壁處無位移，故Δu 即為柱形孔孔壁處的實際位移u0。

對于沉樁施工對樁周土體擴張問題，可看成處于平面應變狀態(tài)下的柱形孔擴張問題，隨擴孔壓力pi增大，孔壁周圍土體逐漸由彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)。

參考文獻［7］求解思路，可得如下結果：

塑性區(qū)應力為：考慮不同拉壓模量的彈性區(qū)應力和位移為［21］：

式中：α為拉壓模量系數(shù)，其值為：

擴孔臨界壓力py和塑性區(qū)半徑rp分別為：

圍巖塑性區(qū)位移u 和柱形孔孔壁處位移u0分別為：

式中：β 為剪脹特性參數(shù)，其值為（1 ＋sinψ）／（1 －sinψ），其中ψ為剪脹角。

將式（8）和式（10）聯(lián)立，然后代入式（3），可得到理想彈-塑性非飽和土體自承載系數(shù)為：

從式（11）可以看出，非飽和土體自承載系數(shù)K與初始地應力p0、孔壁壓力pi、幾何尺寸ri以及非飽和土體特性參數(shù)等有關。當非飽和土體完全處于彈性狀態(tài)時，可將式（11）中孔壁壓力pi替換擴孔臨界壓力py，可得到非飽和土體彈性自承載系數(shù)。

當ua－uw＝0 及E＋＝E－、ν＋＝ν－（即α ＝1）時，式（11）即為拉壓模量相同時飽和土體自承載系數(shù)［7］。

3 本文理論解與有限元分析對比

為了驗證本文理論解的正確性，選取文獻［22］非飽和土體中排水條件下的計算參數(shù)，具體參數(shù)如下：E＋＝25MPa，ν＋＝0.3，c′＝38.816kPa，φ′＝20°，φb＝10°，（ua－uw）＝50kPa，ri＝0.05m，p0＝50kPa，pi＝150kPa。未給出的其他參數(shù)本文取值如下：依據(jù)文獻［22］可知有限元分析得到的擴孔孔壁位移為0.28mm；剪脹角ψ 取為內(nèi)摩擦角的二分之一［23］。從表1 可以看出，當b ＝0，α ＝1.0 時有限元分析與本文理論解誤差不大，這是由于在有限元分析中采用Mohr-Coulomb 強度準則并且假設土體為均勻和各向同性材料。而在實際中應充分考慮b 和α，不同α 值求得的K值差異很大。本文只是通過一個簡單算例進行了解釋，鑒于非飽和土體的復雜性，應將文獻［16］中的12 種非飽和土體進行現(xiàn)場試驗來進行對比。

表1 理論解與有限元分析對比Tab.1 Comparison of theoretical solution and finite element analysis

4 算例及參數(shù)分析

本節(jié)主要探討孔壁壓力和非飽和土體特性參數(shù)對非飽和土體自承載系數(shù)的影響。

取非飽和土體的壓縮模量E＋＝6.4MPa，壓縮時泊松比ν＋＝0.2，有效黏聚力c′＝10kPa，有效內(nèi)摩擦角φ′ ＝20°，吸力角φb＝12°，進氣值（ua－uw）b＝25kPa，柱形孔半徑ri＝0.5m，初始地應力p0＝78kPa［24］。

對體現(xiàn)強度非線性的吸力角φb取值一般有2種方法（見圖2）：方法1 是在整個基質(zhì)吸力范圍內(nèi)取一恒定的較小吸力角φb＝12°［15］；方法2 是在整個基質(zhì)吸力范圍內(nèi)，按照進氣值（ua－uw）b分成2 段（即式（2））。

圖2 非飽和土強度非線性［15］Fig.2 Strength nonlinearity of unsaturated soil［15］

從圖2 可以看出，在方法2 中非飽和土抗剪強度與基質(zhì)吸力的關系曲線可以分為3 個區(qū)間：第1 個區(qū)間為FG段，此時吸力角φb等于有效內(nèi)摩擦角φ′，非飽和土抗剪強度與基質(zhì)吸力呈線性關系；第2 個區(qū)間為GM段，此時吸力角φb隨基質(zhì)吸力的增大而減小，在此區(qū)間，基質(zhì)吸力增大對非飽和土抗剪強度的提高作用大于使吸力角φb減小對非飽和土抗剪強度的降低作用，因此會出現(xiàn)非飽和土抗剪強度逐漸增大，但增加速率越來越小，當基質(zhì)吸力增大對非飽和土抗剪強度的提高作用等于使吸力角φb減小對非飽和土抗剪強度的降低作用時，到達最大值M點；第3 個區(qū)間為MN段，此區(qū)間表示基質(zhì)吸力增大對非飽和土抗剪強度的提高作用小于使吸力角φb減小對非飽和土抗剪強度的降低作用，此時非飽和土抗剪強度從M點開始逐漸下降。

從上面可以看出，采用方法1 計算較簡單，采用方法2 稍復雜但是比方法1 計算精確。以下分析計算中，在4.1 ～4.3 節(jié)分析中采用方法1，在4.4 節(jié)分析中將同時采用這兩種方法來進行計算，進而對比這兩種方法之間的差異。

4.1 孔壁壓力影響

孔壁壓力pi和初始地應力p0的相對大小直接決定柱形孔所處的應力狀態(tài)。圖3a 給出了當α ＝1.0，β ＝2，b ＝0.5 時，不同基質(zhì)吸力（ua－uw）情況下非飽和土體自承載系數(shù)K 與pi／p0的關系曲線；圖3b 給出了當（ua－ uw）＝25kPa，β ＝2，b ＝0.5 時，不同拉壓模量系數(shù)α情況下非飽和土體自承載系數(shù)K與pi／p0的關系曲線。

圖3 孔壁壓力對非飽和土自承載系數(shù)的影響Fig.3 Effect of wall pressure on self-bearing coefficient of unsaturated soil

從圖3a可以看出，孔壁壓力pi對非飽和土體自承載系數(shù)K的影響以S 點和T點為界分成3段：S點前的RS 段代表處于彈性變形狀態(tài)，此時K ＝10.67MPa／m，為恒值；S 點之后的ST 段代表塑性擠壓階段，代表孔壁壓力pi增加的速率大于孔壁處位移u0增加的速率，此時非飽和土體自承載系數(shù)K逐漸增大，當?shù)竭_T點后處于最大值，接著進入塑性流動階段，此時孔壁壓力pi增加的速率小于孔壁處位移u0增加的速率，此時非飽和土體自承載系數(shù)K逐漸減小。

從圖3a 還可以看出，不同基質(zhì)吸力（ua－uw）下的S 點位置不同，隨著基質(zhì)吸力（ua－uw）增加，S點逐漸右移，說明需要更大的孔壁壓力pi才能使非飽和土體（當（ua－uw）＝0 時已變?yōu)轱柡屯馏w）進入塑性變形狀態(tài)，即非飽和土體會比飽和土體推遲進入塑性變形時機，會更有利于自承載能力發(fā)揮。進入塑性變形階段后，在塑性擠壓階段（ST 段），非飽和土體比飽和土體的自承載能力低，但相差不大；而在塑性流動階段，非飽和土體比飽和土體的自承載能力高，且隨著pi／p0和基質(zhì)吸力（ua－uw）增加，自承載系數(shù)K增大顯著，表明在此階段若采用飽和土體的自承載系數(shù)計算結果會嚴重低估非飽和土體的自承載能力，當非飽和土體的基質(zhì)吸力（ua－uw）越大，會使計算結果越保守。

從圖3b可以看出，不同拉壓模量系數(shù)α 下的非飽和土體的自承載系數(shù)K 差異明顯，隨著α的減小，非飽和土體自承載系數(shù)K減小，且彈性變形階段和塑性變形階段分界點（即點S1、S2、S3）逐漸右移。在塑性變形階段中，當0 ＜α ＜0.6時塑性擠壓階段將會逐漸消失，會由彈性變形階段直接進入塑性流動階段。另外，還可以看出，采用拉壓模量相同（α ＝1.0）的自承載系數(shù)來計算會高估非飽和土體的自承載能力，使計算結果偏于不安全。

4.2 拉壓模量系數(shù)影響

對于土體來說，其壓縮模量要比拉伸模量大得多。圖4a 給出了當pi＝2py，β ＝2，b ＝0.5時，不同基質(zhì)吸力（ua－uw）情況下非飽和土體自承載系數(shù)K 與α 的關系曲線；圖4b 給出了當pi＝2py，β ＝2，（ua－uw）＝25kPa 時，不同參數(shù)b情況下非飽和土體自承載系數(shù)K 與α 的關系曲線。

圖4 拉壓模量系數(shù)對非飽和土自承載系數(shù)的影響Fig.4 Effect of tension-compression modulus coefficient on self-bearing coefficient of unsaturated soil

從圖4a可以看出，隨著α 增加，非飽和土體自承載系數(shù)K 呈非線性增大。當（ua－uw）＝25kPa時，α ＝1.0 時的非飽和土體自承載系數(shù)K是α ＝0.2 時的6.2 倍，可見非飽和土體自承載系數(shù)K受α影響較大。另外，在α 取相同值時，非飽和土體自承載系數(shù)K均隨基質(zhì)吸力（ua－uw）增加而增大，因此，在不同α 值時，若采用（ua－uw）＝0（此時對應于飽和土體）來計算自承載系數(shù)均會低估非飽和土體的自承載能力，會使計算結果偏于保守。

從圖4b 可以看出，隨著參數(shù)b 的增加，非飽和土體自承載系數(shù)K均呈非線性增大。當α分別為0.2、0.6、1.0 時，b ＝1 時的自承載系數(shù)比b ＝0 分別增大了12.2%、11.1%、10.3%，可見，自承載系數(shù)K增大幅度隨α增大而變小。

4.3 中間主應力和剪脹影響

不同的非飽和土體的中間主應力σ2效應和剪脹特性也不同。圖5 給出了當pi＝2py，α ＝0.2時，不同基質(zhì)吸力（ua－uw）及剪脹特性參數(shù)β下非飽和土體自承載系數(shù)K與b的關系曲線。

從圖5 可以看出，當β 和（ua－uw）相同時，隨著參數(shù)b的增加，非飽和土體自承載系數(shù)K增大，但增大趨勢逐漸變緩。當β ＝3、（ua－uw）＝25kPa時，b ＝1 時的自承載系數(shù)比b ＝0 時增大了9.9%，可見采用Mohr-Coulomb準則（即b ＝0）會使計算結果偏于保守，應充分考慮非飽和土體的中間主應力σ2效應，但增大幅度不大，說明在沉樁擠土擴張問題中，中間主應力σ2效應不太顯著。當b和（ua－uw）相同時，隨著參數(shù)β 的增加，非飽和土體自承載系數(shù)K也增大，但增大趨勢也是逐漸變緩。比如當b ＝1和（ua－uw）＝25kPa時，β ＝3 時的自承載系數(shù)比β ＝1 時增大了98.8%，可見不考慮非飽和土體的剪脹（即β ＝1）會嚴重低估非飽和土體自承載系數(shù)。當β 和b 相同時，非飽和土體自承載系數(shù)（（ua－uw）＝25kPa）均大于飽和土體自承載系數(shù)（（ua－uw）＝0kPa）。

圖5 中間主應力和剪脹對非飽和土自承載系數(shù)的影響Fig.5 Effect of intermediate principal stress and dilatancy on self-bearing coefficient of unsaturated soil

4.4 強度非線性影響

在高吸力范圍內(nèi)時（即基質(zhì)吸力大于進氣值（ua－uw）b），非飽和土的強度具有明顯的非線性，本小節(jié)取pi＝2py，β ＝2，b ＝0.5，圖6 給出了當α取0.6、0.8 和1.0，分別采用方法1 和方法2 時非飽和土體自承載系數(shù)K與（ua－uw）的關系曲線。其中在方法1 中采用的吸力角在整個基質(zhì)吸力范圍內(nèi)恒為φb＝12°。在方法2 中，當基質(zhì)吸力不大于進氣值25kPa 的低吸力范圍內(nèi)時，吸力角φb＝φ′ ＝20°；當基質(zhì)吸力大于進氣值25kPa的高吸力范圍內(nèi)時，吸力角φb采用雙曲線模型即式（2）計算，參數(shù)n 根據(jù)1／n ＝－2.4598 ＋1.0225φ′可得n ＝0.0556，參數(shù)m分別取2.5kPa、5kPa、10kPa和20kPa，用來反映高吸力下吸力角不同的變化速率。

圖6 強度非線性對非飽和土自承載系數(shù)的影響Fig.6 Effect of strength nonlinearity on self-bearing coefficient of unsaturated soil

從圖6 可以看出，采用方法1 計算的結果在進氣值25kPa前后無拐點，在整個基質(zhì)吸力范圍內(nèi)非飽和土體自承載系數(shù)K與（ua－uw）近似呈直線增大。采用方法2 計算的結果以進氣值25kPa為界分成2 段：不大于進氣值25kPa 的低吸力范圍內(nèi)時，非飽和土體自承載系數(shù)K與（ua－uw）近似呈直線增大，與參數(shù)m 無關；大于進氣值25kPa的高吸力范圍內(nèi)時，非飽和土體自承載系數(shù)K隨（ua－uw）增大呈微彎直接增大，且參數(shù)m越小，非飽和土體自承載系數(shù)K 增大幅度越小，實際上在此區(qū)間的曲線正好反映了基質(zhì)吸力對非飽和土抗剪強度的提高以及使吸力角減小對抗剪強度降低的雙重影響，并且計算結果對應圖2 中的GM段，即基質(zhì)吸力增大對非飽和土抗剪強度的提高作用大于使吸力角φb減小對非飽和土抗剪強度的降低作用，因此非飽和土體自承載系數(shù)K一直增大，但增加幅度越來越小。另外，還可以看出，參數(shù)m越小，在進氣值25kPa前后拐點越明顯，明顯出現(xiàn)與方法1 得出的曲線會相交，其交點處對應的基質(zhì)吸力值幾乎與α 值無關（比如當m分別取2.5kPa、5kPa 時，3 個不同α 值對應交點處的基質(zhì)吸力（ua－uw）均分別為60kPa、97.5kPa），而與m 密切相關，且隨著m 增大，相交點逐漸右移，并且m越大，非飽和土體自承載系數(shù)K越大。

需要說明的是，當m取值較小時，在高吸力范圍內(nèi)，方法2 與方法1 得到的非飽和土體自承載系數(shù)K與（ua－uw）的關系曲線會相交，從而在基質(zhì)吸力相交點處將高吸力范圍又分成2 段，比如當m ＝2.5kPa 時，在相交點處基質(zhì)吸力（ua－uw）＝60 kPa，若基質(zhì)吸力處于25 ＜（ua－uw）≤60時，若采用方法1 來計算會低估非飽和土體自承載能力，所得結果偏于保守；若基質(zhì)吸力處于60 ＜（ua－uw）≤100 時，若采用方法1 來計算會高估非飽和土體自承載能力，所得結果偏于不安全。而當m取值較大時（比如本小節(jié)m ＞5kPa），在整個高吸力范圍內(nèi)，采用方法1 來計算均會低估非飽和土體自承載能力。因此，當m取值較小時，在計算時應謹慎選擇較簡單的方法1。

5 結論

1.本文根據(jù)非飽和土統(tǒng)一強度理論，建立的理想彈-塑性非飽和土體自承載系數(shù)（式（11））是有序理論解的集合，可以充分考慮材料的不同拉壓模量、基質(zhì)吸力以及強度非線性、中間主應力效應、剪脹特性等綜合因素。當拉壓模量相同、基質(zhì)吸力為0 時可退化為飽和土的計算結果［7］，因而本文解具有更廣泛的適用性。

2.非飽和土體自承載系數(shù)K 能反映非飽和土體自身的承載能力且物理意義明確，其值與初始地應力、孔壁壓力、幾何尺寸、以及非飽和土體特性參數(shù)等相關。

3.孔壁壓力對非飽和土體自承載系數(shù)K 具有顯著影響，當拉壓模量系數(shù)較大時（本文即0.6≤α≤1.0），非飽和土體自承載系數(shù)K以擴孔臨界壓力和峰值點為界分成3 段，彈性變形階段、塑性擠壓階段和塑性流動階段；當拉壓模量系數(shù)較小時（本文即0 ＜α ＜0.6），非飽和土體自承載系數(shù)K以擴孔臨界壓力為界分成2 段，彈性變形階段和塑性流動階段。非飽和土體自承載系數(shù)K 均隨拉壓模量系數(shù)α 和參數(shù)b 呈非線性增大，隨剪脹特性參數(shù)β呈微彎增大。當m取值較小時（比如本文m≤5kPa），在計算時應謹慎選擇恒定較小吸力角的方法1，建議采用分段雙曲線吸力角的方法2；當m 取值較大時（比如本文m ＞5kPa），采用恒定較小吸力角的方法1 則偏于保守。

4.對于沉樁施工、靜力觸探等問題，其樁端、探頭等周圍土體呈現(xiàn)球形孔擴張，可采用與本文類似的分析方法。