曾劍凡

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重點和難點.二次函數(shù)的考查可以從多方面多角度對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行考查，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握水平，也有利于提高學(xué)生的邏輯思維、知識遷移及綜合分析并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題等能力，遵循命題原則，基于幾何直觀、數(shù)學(xué)運算及轉(zhuǎn)化能力的考查，本文以“2019年莆田市質(zhì)檢”和“2018年湖州中考”中的兩道關(guān)于二次函數(shù)的試題為原始模型展示了一道含參拋物線試題的命制過程.

1 試題展示

己知二次函數(shù)的解析式為C：y= --x2+ 4mx -m.

（1）不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數(shù)的圖象上，求該函數(shù)的解析式;

（2）若m=1，將拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4，求平移后的拋物線的解析式;

（3）當(dāng)0

2 命題過程

2.1 命題思路

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要考點，含參拋物線的有關(guān)計算更是中考壓軸題里面?？嫉念}型，這類題型的常見特點是恒過定點問題、頂點位置問題、與x軸的交點問題等，這些類型的題目主要是為了考查學(xué)生對二次函數(shù)基本知識的掌握程度、學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合及綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力及探究能力，因此，本次的命題就以考慮二次函數(shù)在初中課程中的重要性及含參二次函數(shù)常見題型的特點作為切入點進行命題，主要為了考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)、函數(shù)解析式、一元二次方程根的存在性、韋達定理等基本知識與概念，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合與化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的掌握，同時也考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識及探究的能力.

2.2 原始模型

原始模型1 （2019年福建省莆田市質(zhì)檢題）函數(shù)Yi=kx2+ ax+a的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），函數(shù)y2= kx2+ bx+b的圖象與x軸交于點C，D（點C在點D的左側(cè)），其中k≠0，a≠b.

（1）求證：函數(shù)y1與y2的圖象交點落在一條定直線上;

（2）若AB= CD，求a，b和k應(yīng)滿足的關(guān)系式;

（3）是否存在函數(shù)y1與y2，使得B，C為線段AD的三等分點？若存在，求a/b的值;若不存在，說明理由，

原始模型2（2018年浙江省湖州市中考題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點M，N的坐標(biāo)分別為（-1，2），（2，1），若拋物線y=ax- -x+2（a≠0）與線段MN有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）.

以上兩道試題是以二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系、二次函數(shù)解析式中的系數(shù)與函數(shù)圖象特點之間的關(guān)聯(lián)為載體，考查了學(xué)生的推理能力，對學(xué)生的基礎(chǔ)知識進行考查的同時考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和知識遷移能力.

2.3 命題實施

一道試題應(yīng)注重對學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查[1]，課程標(biāo)準(zhǔn)對二次函數(shù)基本性質(zhì)的考查達到探究性理解的水平，因此，在命題過程中，遵循命題原則（如：導(dǎo)向性原則、基礎(chǔ)性原則、適度開放性原則、準(zhǔn)確性及相容性等[2，3]），實現(xiàn)命題源于教材、立足基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)、內(nèi)隱探究及考查能力的目的，本試題的設(shè)置是為了考查二次函數(shù)的綜合知識、培養(yǎng)學(xué)生“析數(shù)畫形”和“釋形讀數(shù)”的能力，就應(yīng)該圍繞二次函數(shù)最核心、最本質(zhì)的特征進行命題，

初稿題目己知二次函數(shù)的解析式為C：y=一X2+4mx -m.（1）不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數(shù)的圖象上.求該函數(shù)的解析式;（2）將拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4.求m的值;（3）當(dāng)0

分析初稿中第（1）問考查己知函數(shù)頂點坐標(biāo)的計算方法及觀察兩個代數(shù)式之間所滿足的等式關(guān)系;第（2）在第（1）問求出頂點坐標(biāo)的基礎(chǔ)上與平移問題相結(jié)合，解題只需要利用頂點坐標(biāo)在己知直線上、與x軸的交點坐標(biāo)求法及兩點間的距離公式即可求出，思路略顯簡單，需要加深難度，但又不會過分復(fù)雜，

第二稿主要改動在于將第（2）問改為：若m=1，將拋物線C沿著直線v= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4.求平移后的拋物線的解析式;

分析改動后的第（2）問取定m的值，將拋物線特殊化，讓學(xué)生領(lǐng)會從一般到特殊的過程;在求解過程中需要求出平移過程中頂點坐標(biāo)所在的直線，可借助圖形來感知，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，求解第（3）問只需要聯(lián)立己知拋物線與直線方程，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想或一元二次方程的相關(guān)知識即可解決，但數(shù)學(xué)計算能力也是一個重要的目標(biāo)，此題計算過程比較簡單，因此，考慮將直線方程復(fù)雜化，將其認(rèn)為是一條與m有關(guān)的直線，

第三稿主要改動在于將第（3）問改為：當(dāng)0

在整個題目的設(shè)計與修改過程中，考慮到常見的題型是頂點位置在某個己知的函數(shù)圖象上求參數(shù)，那么反過來的問題當(dāng)然也值得探究，于是設(shè)計出第（1）小題，該問題與原始模型有異曲同工之處;考慮到二次函數(shù)圖形的變換一般是上下左右平移，這類平移后的函數(shù)解析式學(xué)生可以用平移規(guī)律求得，而如果沿著某一條斜線方向平移呢？于是設(shè)計第（2）小題;兩個函數(shù)的交點問題可以轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)與x軸的交點問題，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力，于是設(shè)計第（3）小題.

2.4解法分析

本題的設(shè)計是一道二次函數(shù)的綜合題，在求解過程中認(rèn)真審題、理解題意、探究解題思路，最后正確作答[4，5].不僅要考慮二次函數(shù)的基本知識概念，也要考慮題目所隱含的重要數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想及方程的思想等，正確認(rèn)識圖形的特征與數(shù)、式之間的關(guān)系，從而確定正確的解答思路，解題有三個思維層次，即一般性解決，即明確解題的總體方向;功能性解決，即選擇解題方法;特殊性解決，即利用數(shù)學(xué)知識和技巧具體解答問題，

第（1）小題中拋物線C的頂點是與m有關(guān)的量，考生要根據(jù)“不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數(shù)的圖象上”這一條件求出該函數(shù)的解析式，相當(dāng)于要找出拋物線C的頂點坐標(biāo)所要滿足的等式關(guān)系（一般性解決）;為了找等量關(guān)系，需要求出C的頂點坐標(biāo)，探索頂點坐標(biāo)之間的等量關(guān)系（功能性解決）;根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)，并建立等式關(guān)系求得函數(shù)D的解析式（特殊性解決）.這一小題求解的關(guān)鍵點在于求出頂點坐標(biāo)并探究坐標(biāo)之前的關(guān)系，而易錯點在于含參二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式學(xué)生在計算上容易出現(xiàn)問題，

第（2）小題要求拋物線沿斜線平移后的解析式，只要確定頂點位置就可以了，也就是說相當(dāng)于找出滿足“拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4”的拋物線的頂點坐標(biāo)就可以了（一般性解決）;為了求出平移后的頂點坐標(biāo)，需要知道拋物線沿斜線平移有什么特點，滿足什么樣的等式，根據(jù)這些特點和等式關(guān)系求出頂點坐標(biāo)（功能性解決）;根據(jù)平移后的拋物線頂點均在一條與直線y= 2x平行的特點可以根據(jù)“設(shè)橫表縱”的方法寫出頂點坐標(biāo)，再利用平移后的拋物線與x軸兩個交點的距離為4這一條件，結(jié)合兩點間的距離公式和一元二次方程的韋達定理求出頂點坐標(biāo)（特殊性解決）.在解題過程中，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出拋物線沿斜線平移有什么特點，這也是本小題的一個易錯點和難點，

第（3）小題中要根據(jù)“當(dāng)0

3 試題評析

本題突出初中數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，著重考查學(xué)生的綜合運用數(shù)學(xué)思維方法（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等）分析問題、解決問題的能力，試題以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，比較全面地覆蓋二次函數(shù)和一元二次方程的基礎(chǔ)知識（頂點坐標(biāo)、解析式、與x軸的交點坐標(biāo)、求根公式、韋達定理等），體現(xiàn)全面性、基礎(chǔ)性的考查要求;通過考查二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、二次函數(shù)與平移的結(jié)合凸顯綜合性，試題以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為載體，重點考查學(xué)生的理性思維和邏輯推理能力，固本強基，為高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)，第（1）小題通過由解析式及頂點坐標(biāo)公式求點的坐標(biāo)，己知條件中點在某一函數(shù)圖象，本質(zhì)是頂點坐標(biāo)所滿足的函數(shù)關(guān)系式，考查學(xué)生分析、猜想能力，嘗試從不同角度考查學(xué)生獲取“數(shù)”與“形”的相關(guān)信息，屬于基礎(chǔ)性考查，第（2）小題表面是拋物線的平移，實質(zhì)是頂點位置的變化，有利于學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識來解決問題，涵蓋了方程和函數(shù)等知識，確保了試題具有較好的效度和可推廣性，第（3）小題轉(zhuǎn)換條件，進一步考查函數(shù)圖象特點與方程之間的關(guān)系，有利于學(xué)生猜想、分析和推理，又能考查數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化等思想和方法，以此考查并進而增強學(xué)生的探索能力、發(fā)現(xiàn)能力、獲取并處理信息的能力、綜合運用數(shù)學(xué)知識能力和創(chuàng)新能力.

4 命題拓展

二次函數(shù)與平面幾何的綜合命題，能夠考查學(xué)生對代數(shù)與幾何之間的把握程度，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，以及能很好地考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合及探究，因此，本題還可以通過在平面直角坐標(biāo)系中將二次函數(shù)與平面幾何的三角形、對稱等知識結(jié)合起來，作出如下三種方式的拓展：

拓展方案1頂點若要求在一個固定的三角形內(nèi)部，求參數(shù)m的取值范圍，也可以是頂點是在己知三角形的內(nèi)部的整點，求m值，

拓展方案2題（2）中平移后拋物線的頂點、與x軸兩個交點若構(gòu)成等邊三角形，求m值，

拓展方案3結(jié)合拋物線與x軸，y軸對稱后的圖形進一步分析與直線y=x+4的交點個數(shù)問題.

5 結(jié)束語

以二次函數(shù)為背景的試題能夠全面考查用數(shù)析形、以形析數(shù)的技能與計算能力，能夠突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，全面覆蓋基礎(chǔ)知識，凸顯綜合性、應(yīng)用性，在考查學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性及廣闊性等方面具有較高的效度，這類試題的命制值得關(guān)注，

參考文獻

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