於家海

數(shù)學(xué)抽象、枯燥、學(xué)起來困難，幾乎己成為人們的共識(shí)，這固然可以在很大程度上歸結(jié)于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、內(nèi)容和方法的抽象性，但也與我們對(duì)數(shù)學(xué)理解的角度、深度以及講授數(shù)學(xué)的方式、方法有關(guān)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩，千姿百態(tài)，引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會(huì)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美”，知名數(shù)學(xué)家陳省身先生也不止一次地提出“數(shù)學(xué)是美的”，數(shù)學(xué)大師的諄諄教誨啟人心智，發(fā)人深省，確實(shí)，數(shù)學(xué)中不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛，下面結(jié)合平時(shí)教學(xué)中的案例，談?wù)勅绾紊铣鲇形兜赖臄?shù)學(xué)課的一些粗淺認(rèn)識(shí)與體會(huì).

1 數(shù)學(xué)游戲激發(fā)“趣”味

帕斯卡說過：“數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是這樣的嚴(yán)肅，最好不要失去能使它變得稍微有趣些的機(jī)會(huì)，”一般認(rèn)為，游戲輕松愉快、趣味盎然，人人樂于參與;而數(shù)學(xué)則抽象乏味，艱深難懂，常常讓人生畏，但是，正如中國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)主席張景中教授所言，游戲與數(shù)學(xué)關(guān)系非常密切，二者有類似的元素和結(jié)構(gòu)，同時(shí)數(shù)學(xué)比游戲更高一籌，在課堂中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)游戲，可以起到引發(fā)興趣、激活思維、活躍課堂之效.

1.1 案例1漢諾塔問題

在學(xué)習(xí)由遞推公式求解通項(xiàng)公式的內(nèi)容時(shí)，我向?qū)W生講了以下這個(gè)故事：傳說在印度佛教圣地貝拿勒斯（ Benares）的婆羅赫摩神殿中，標(biāo)志著世界中心的穹頂之下放著一塊銅板，銅板上插著三根寶石針，根據(jù)圣典記載，在世界誕生的那一天，其中第一根針從下到上放著由大到小的64片金片，這就是著名的漢諾塔，如圖1所示，晝夜都有一個(gè)值班的僧侶按照婆羅赫摩的規(guī)定移動(dòng)金片：一次只能取出一片，放入其他的針上，在移動(dòng)過程中只允許小片位于大片之上，當(dāng)64片金片全部移到第三根針上重新又形成一個(gè)漢諾塔時(shí)，世界末日就將來臨.問題是完成上述移動(dòng)需要移動(dòng)多少次金片？這個(gè)故事一下子抓住了學(xué)生的眼球，引起學(xué)生的興趣，激發(fā)起學(xué)生思考、分析、解決問題的欲望，他們躍躍欲試，筆者順勢(shì)把問題提得更一般些，設(shè)最初的漢諾塔有n片金片，最終形成新的漢諾塔需移動(dòng)金片xn次，在筆者的引導(dǎo)和啟發(fā)下，通過觀察n=1，2，3，4，—，的特殊情形，同學(xué)們猜想得到通項(xiàng)公式xn =2n-1，也歸納得出遞推公式xn= 2x-1+1，為后續(xù)由遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式作好了鋪墊，

對(duì)中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)游戲是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展很好的教學(xué)素材，但應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)游戲內(nèi)容廣泛，形式多樣，涉及題外因素多容易偏離中學(xué)“四基”訓(xùn)練，必須要結(jié)合授課內(nèi)容，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)游戲，做到有的放矢，使學(xué)生感到生活中處處存在數(shù)學(xué)，學(xué)起來自然也就興趣盎然.

2 借題發(fā)揮提升“滋”味

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中指出：“必須重視很多習(xí)題潛存著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……從解本題到獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些問題，這個(gè)過程顯然在擴(kuò)大解題的武器庫(kù)，學(xué)生利用類比和概括的能力在形成;辯證思維、思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展，”基于上述理念，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變的價(jià)值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識(shí)、研究數(shù)學(xué)問題，

此兩題為筆者高三上復(fù)習(xí)課時(shí)之用，所謂“一題多解”，就是盡可能用多種不同方法去解決同一個(gè)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、想象、探索、創(chuàng)造、思考能力.所謂一題多變是通過題目的引申、變化、發(fā)散，提供問題的背景，提示問題間的邏輯關(guān)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過利用有用的條件，進(jìn)行觀察、聯(lián)想、對(duì)比，采取“一題多解與一題多變”的策略進(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生們更積極主動(dòng)地參與到課堂中來，這不僅能使學(xué)生的思維定勢(shì)得到改觀，使所學(xué)的知識(shí)得到靈活運(yùn)用，還能極大程度地激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生探索未知世界的信心和勇氣，體會(huì)到成功的喜悅和創(chuàng)造性工作的歡樂.

3 趣聞?shì)W事助興“風(fēng)”味

荷蘭數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程”，英國(guó)教育家懷特海曾說：“教育只有一種教材，那就是生活的一切方面，”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系也是我國(guó)第八次基礎(chǔ)教育課程改革的一個(gè)重要特征，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，必須密切與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，在應(yīng)用過程中培養(yǎng)，現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)知識(shí)的原型，可以有效鍛煉學(xué)生“舉三反一”的數(shù)學(xué)歸納能力，掌握知識(shí)之后，訓(xùn)練學(xué)生“舉一反三”的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，把學(xué)到的新知識(shí)應(yīng)用于新的情境之中.

3.1案例4化學(xué)何老師的問題

在學(xué)習(xí)《不等關(guān)系與不等式》的作差比較大小內(nèi)容之后，筆者向?qū)W生繪聲繪色地講：“咱們學(xué)校化學(xué)何老師問我問題，己知兩種濃度的乙醇（p1

與 0.5的大小，我當(dāng)時(shí)是解答出來了，同學(xué)們有沒有知道的？”學(xué)生聽完后個(gè)個(gè)翹首以待，表現(xiàn)出饒有興趣的樣子，都很想知道筆者到底是怎么解答的，筆者將當(dāng)時(shí)的解答過程詳細(xì)進(jìn)行了板書：

話音剛落，課堂里響起了驚嘆聲和掌聲.

3.2案例5零點(diǎn)存在定理的有趣應(yīng)用

筆者曾在學(xué)習(xí)完《零點(diǎn)存在定理》之后，給學(xué)生出了這么一個(gè)問題：“小華7：00從A地出發(fā)，于17：00到達(dá)B地，次日9：00又從B地沿原路返回，于20：00到達(dá)A地，小華在這兩天中能在某個(gè)同一時(shí)刻到達(dá)同一地點(diǎn)嗎”？回答是肯定的，當(dāng)時(shí)學(xué)生百思不得其解，當(dāng)筆者把這個(gè)問題用零點(diǎn)存在定理來解釋后，他們恍然大悟，連連拍手稱奇：“沒想到零點(diǎn)存在定理還可以這樣用，數(shù)學(xué)真是太神奇了”，

課程標(biāo)準(zhǔn)十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，不僅要求教材必須密切聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，而且要求“數(shù)學(xué)教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的情境，使學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)，獲得基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，進(jìn)一步發(fā)展思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.”活生生的現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，是數(shù)學(xué)有效教學(xué)的源頭活水，是實(shí)現(xiàn)、回歸和還原教學(xué)本真的必由之路，是實(shí)現(xiàn)學(xué)思結(jié)合、思行并進(jìn)、知行統(tǒng)一，積極建構(gòu)、增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)現(xiàn)幸福生活的陽(yáng)光、沃土，并能使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的趣味、作用和魅力.

4人文滲透凸顯“品”味

美國(guó)科學(xué)家拉比認(rèn)為：“只有把自然科學(xué)和人文科學(xué)融合一體，我們才能期望達(dá)到與我們時(shí)代和我們這一代人相稱的智慧的頂點(diǎn)，”張奠宙先生說：“數(shù)學(xué)不僅是數(shù)字、符號(hào)、公式，而且還有浸潤(rùn)其中的數(shù)學(xué)文化，只有把抽象的、邏輯的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)，即冰冷的數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的、人文的、思考的數(shù)學(xué)，即火熱的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)課堂才是人才陶冶的爐膛，”沒有人文素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育將是枯燥乏味的，沒有數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)保證的數(shù)學(xué)教育將像雨后的彩虹那樣華而不實(shí)，徒有其表，“數(shù)學(xué)科學(xué)精神”與“人文素養(yǎng)”兩者缺一不可.

4.1案例6函數(shù)圖象的美學(xué)欣賞

詩(shī)詞通常與“美好、簡(jiǎn)潔、直觀”聯(lián)系在一起，好的幾何圖象也與“美好、簡(jiǎn)潔、直觀”聯(lián)系在一起，用數(shù)學(xué)的眼光看世界，很多事物中都包含著數(shù)學(xué)，筆者上課時(shí)將美麗的幾何圖象與優(yōu)美的古典詩(shī)詞聯(lián)系在一起（如表1所示），能緩解緊張、沉悶的課堂氣氛，讓學(xué)生在緊張愉悅的環(huán)境下學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生理解、記憶函數(shù)圖象，

張奠宙先生指出：“教育形態(tài)的‘大眾數(shù)學(xué)’，應(yīng)該區(qū)別于具有學(xué)術(shù)形態(tài)的‘形式化數(shù)學(xué)’，數(shù)學(xué)教學(xué)‘既要講推理，更要講道理’，這些道理中包括數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，”在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重文化的滲透，讓數(shù)學(xué)“文而化之”，使之進(jìn)入學(xué)生的內(nèi)心世界，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué).

5 高數(shù)觀點(diǎn)耐人“尋”味

數(shù)學(xué)分為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)，中學(xué)期間學(xué)習(xí)的內(nèi)容以初等數(shù)學(xué)為主，進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的是高等數(shù)學(xué)，筆者在教學(xué)時(shí)注意利用高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、觀點(diǎn)、方法來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，使教學(xué)活動(dòng)搞得生動(dòng)活潑，開闊學(xué)生的知識(shí)視野，注重學(xué)生思考力水平的培養(yǎng).

5.1案例7e值是怎么算出來的？

人教版教科書在對(duì)數(shù)概念學(xué)習(xí)中提到“在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e= 2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)”，筆者在備課時(shí)注意到：萬一有學(xué)生提出“e值是如何算出來的”這個(gè)問題，該怎么辦？為避免出現(xiàn)尷尬，應(yīng)當(dāng)指出，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是面向全體學(xué)生，所以不能隨意擴(kuò)大教材以外的內(nèi)容，不能一味拔高，要充分考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)和智力發(fā)展水平，切忌揠苗助長(zhǎng)，如果能結(jié)合授課內(nèi)容，適當(dāng)聯(lián)系高等數(shù)學(xué)知識(shí)，就能活躍課堂氣氛，開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的高深而奧妙無窮，

英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待她，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷峻而嚴(yán)肅的美，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗裝飾，她可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只是最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地，”數(shù)學(xué)這種冰冷高雅的美，不僅能讓人有一個(gè)心靈寧?kù)o的家，而且還能為人生添加意義、增加深度，使生活更加多姿多彩，作為數(shù)學(xué)教育工作者，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不能僅僅停留在教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)（授業(yè)），解答學(xué)生數(shù)學(xué)問題（解惑），還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞、感受、追求數(shù)學(xué)的奧妙，讓學(xué)生細(xì)品數(shù)學(xué)的味道（傳道）.

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