王玉潔 魏光明

摘要：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的下位概念，認(rèn)識、理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)要回到分?jǐn)?shù)的意義，回到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景中去。《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》一課，立足整體，設(shè)計長程教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生借助認(rèn)知遷移來建構(gòu)新知識，擴充和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);利用圖式，建構(gòu)并理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)這兩個新的概念;基于學(xué)情，突破理解假分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)難點。

關(guān)鍵詞：《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》;度量;圖式

本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果?！墩娣?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》一課的教學(xué)內(nèi)容是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊第59—60頁的例5、例6、“練一練”和第63頁的練習(xí)九第1—4題。教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位，理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的意義，了解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的特征，能辨別真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，能用合適的分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分或數(shù)軸（直線）上的點，也能用圖中的涂色部分或數(shù)軸（直線）上的點表示指定的分?jǐn)?shù);（2）經(jīng)歷用分?jǐn)?shù)單位度量的過程，感悟分類、對應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展觀察、比較、歸納、抽象、概括和想象的能力;（3）感受主動參與、合作交流的樂趣，養(yǎng)成自主探索、自主建構(gòu)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重難點是：理解假分?jǐn)?shù)的意義。教學(xué)過程及評析如下：

一、教學(xué)過程

（一）喚醒經(jīng)驗，體驗分?jǐn)?shù)單位的價值

師（出示圖1）把這根彩條看作“1”，那么，

（出示圖2）①號彩條可以用哪個數(shù)表示？

生用2表示，因為現(xiàn)在有兩根這樣的彩條。

生用2表示，因為現(xiàn)在有兩個單位“1”這么長。

師有道理。（緊貼①號彩條出示②號彩條，見圖3）如果把單位“1”平均分成2份，你看到了哪個數(shù)？這個數(shù)是怎么得到的？

生我看到了12。

生把單位“1”平均分成2份，每份就是它的12。

師（緊貼②號彩條出示③號彩條，見圖4）如果這樣分，你看到了哪個分?jǐn)?shù)？

生我看到了13。把單位“1”平均分成3份，每份就是它的13。

師（在③號彩條中框出一部分，見圖5）框出來的部分可以用哪個數(shù)表示？為什么？

生可以用23表示。把單位“1”平均分成3份，表示這樣的2份就是它的23。

生2個13就是23。

師看來，借助分?jǐn)?shù)單位也能解釋分?jǐn)?shù)的意義。（緊貼③號彩條出示④號彩條并框出一部分，見圖6）現(xiàn)在你覺得可以用哪個分?jǐn)?shù)來表示框出的部分？

生我覺得可能用34表示。

生我覺得可能用45表示。

師到底用哪個分?jǐn)?shù)表示呢？你有什么好辦法？

生可以先把單位“1”平均分一分，再看框出的部分表示分出的幾份。

生我打算用前面出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)單位量一量。

（在學(xué)生嘗試操作并用分?jǐn)?shù)表示之后，組織交流。）

師（出示圖7）誰能借助分?jǐn)?shù)單位說一說這里為什么用34來表示？

生因為3個14就是34。

師我們一起數(shù)一數(shù)。

生（邊指邊數(shù)）1個14，2個14，3個14。

師我們可以把他數(shù)的過程記錄下來。

（板書：1個14是14，2個14是24，3個14是34。）

師在這3個分?jǐn)?shù)中，你認(rèn)為哪個分?jǐn)?shù)最重要？

生我覺得14最重要，因為24、34都是根據(jù)14得來的。

生我也覺得14最重要，因為14是分?jǐn)?shù)單位。

師看來分?jǐn)?shù)單位很重要。接著往下想，如果把單位“1”繼續(xù)平均分下去，還能得到哪些分?jǐn)?shù)單位？

[思考：學(xué)習(xí)了《分?jǐn)?shù)的意義》一課之后，學(xué)生雖然認(rèn)識了單位“1”，也知道了分?jǐn)?shù)單位，但是對分?jǐn)?shù)單位度量屬性的理解并不深刻。本環(huán)節(jié)設(shè)計的活動“猜猜框出的部分可以用哪個分?jǐn)?shù)來表示”，激活了學(xué)生頭腦中“分?jǐn)?shù)單位”的概念，引發(fā)他們選擇手頭已有的分?jǐn)?shù)單位，或者創(chuàng)造一個合適的分?jǐn)?shù)單位，再用分?jǐn)?shù)單位度量的結(jié)果表示“框出的部分”，用分?jǐn)?shù)單位的累加來解釋分?jǐn)?shù)的意義，進(jìn)一步體會分?jǐn)?shù)單位的重要性，為接下來認(rèn)識假分?jǐn)?shù)做鋪墊。]

（二）尋求突破，感悟假分?jǐn)?shù)的意義

師剛才有同學(xué)用單位“1”平均分的結(jié)果來表示分?jǐn)?shù)，也有同學(xué)用分?jǐn)?shù)單位的累加來表示分?jǐn)?shù)。這兩種解釋都是正確的。如果還是把剛開始的彩條看作“1”，（緊貼①號彩條出示⑤號彩條，見圖8）這根彩條用哪個數(shù)來表示呢？（稍作停頓）能用1表示嗎？能用2表示嗎？

生不能用1表示，因為這根彩條已經(jīng)超過1了。

生也不能用2表示，因為這根彩條比2短很多。

師那應(yīng)該用哪個數(shù)來表示呢？同桌討論一下。

生我覺得可以用114來表示。我把這根彩條分成兩個部分，前面一部分和1一樣長，可以畫一條豎線隔開，只要看后面一部分是多少就行了。我估測了一下，后面一部分可以用14表示。

生我覺得可以用54表示。我先看后面比“1”多的部分，可以用14表示，因為前面的1里有4個14，合起來一共是5個14，就是54。

師說得都挺有道理的。老師從兩人的發(fā)言中聽出一個關(guān)鍵：他們都是借助哪個數(shù)來估計的？

生14。

師他們估得到底對不對呢？我們可以怎樣驗證？同桌討論一下。

生我們可以用表示14的小紙條去量一量。

師好主意！老師給大家準(zhǔn)備了許多這樣的小紙條，不光有表示14的小紙條，還有表示12、13、15的小紙條。大家選擇合適的小紙條量一量，記得一邊量一邊做上標(biāo)記，看量了幾次，最后得出了哪個分?jǐn)?shù)。

（在學(xué)生獨立操作之后，組織交流。）

生我選擇了表示14的小紙條，量了5次剛好量完。

生這根彩條包含5個14，用54表示。

師根據(jù)先前的經(jīng)驗，在遷移中學(xué)習(xí)，這是一個不錯的想法。

師（指著54）我們以前只見過14、24、34，好像沒見過這樣的分?jǐn)?shù)，你們覺得54有道理嗎？

生有道理，1個14是14，2個14是24，3個14是34，4個14是44，5個14就是54。

[思考：我們知道，學(xué)生在認(rèn)識數(shù)時都離不開計數(shù)單位的支撐。從度量的視角看，分?jǐn)?shù)單位也是計數(shù)單位。借助上一環(huán)節(jié)教學(xué)產(chǎn)生的思維慣性，學(xué)生很容易想到用分?jǐn)?shù)單位累加的辦法來表示新的分?jǐn)?shù)。再啟發(fā)學(xué)生用表示12、13、14、15的小紙條去比一比、量一量，創(chuàng)生出“新”的分?jǐn)?shù)54，并能基于分?jǐn)?shù)單位的累加解釋54的意義。至此，假分?jǐn)?shù)的面紗慢慢揭開。這樣的教學(xué)，能夠幫助學(xué)生突破先前認(rèn)知的束縛，即分?jǐn)?shù)僅表示“部分與整體的關(guān)系”，從而形成假分?jǐn)?shù)的正確表象。 ]

（三）多元表征，建構(gòu)假分?jǐn)?shù)的意義

師（出示一個圓片）這里有一個圓，如果把這個圓看成單位“1”，平均分成4份，你能涂色表示哪些分?jǐn)?shù)？

生（展示）可以涂色表示14、24、34、44。

師能表示出54嗎？

生不能，一個圓最多只能表示4個14，也就是44。

生要想表示54，需要再加一個圓。

師（拿出兩個圓片）誰能折一折，再涂色表示出54？

（在學(xué)生操作、展示、交流之后，組織更豐富的操作和交流。）

師把一個圓看作單位“1”，我們用兩個圓表示出了54。你還能用其他材料表示出54嗎？可以在學(xué)習(xí)單上寫一寫、畫一畫，也可以用提供的材料折一折、畫一畫。

生（指著兩個長方形）我把一個長方形看成單位“1”，每個長方形都平均分成4份，5個14就是54。

生我畫了一條線段，把0—1這一段平均分成4份，再把1—2這一段也平均分成4份，5個14（用括線確定范圍）就是54。

生我認(rèn)為把一個蛋糕平均分成4份后，有5個人吃的話，可以再買一個同樣的蛋糕，也平均分成4份，4個14再加1個14就是54。

……

師同學(xué)們真愛動腦筋，用這么多種方法表示出了54。你們還能表示74、94嗎？

[思考：本環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了多種操作材料，有實物、圖形、直線等，讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示54，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識假分?jǐn)?shù)，理解假分?jǐn)?shù)的意義。在豐富多樣的操作中，學(xué)生體會到都是把一個物體、一個圖形或一個計量單位看成單位“1”，都是把單位“1”分別平均分成4份，每一份都是它的14，5個14就是54，從而避免產(chǎn)生一種典型的認(rèn)知迷思，即分不清涂色表示的是54還是58。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生再去表示74和94，從而對假分?jǐn)?shù)意義的理解更加深刻。]

（四）引導(dǎo)分類，了解真、假分?jǐn)?shù)的特征

師其實，像54這樣的分?jǐn)?shù)在生活中也經(jīng)常會遇到。

（出示問題：工程隊每天修13千米，兩天修了多少千米？3天、4天呢？）

生兩天修了23千米，3天修了33千米，4天修了43千米。

師（板書后）你還能接著往下說嗎？

生5天修了53千米，6天修了63千米……

師（指著13到63這一行分?jǐn)?shù)）觀察這些分?jǐn)?shù)，你能將它們分分類嗎？你打算怎么分類？先和你的同桌說一說，再在全班交流。

生我覺得分子小于分母的可以分為一類，分子等于分母的分為一類，分子大于分母的分為一類。

生我知道分子等于分母或者分子大于分母的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)，可以分為一類。

生如果這樣，就把分子小于分母的分?jǐn)?shù)分為一類，分子等于分母或者分子大于分母的分?jǐn)?shù)分為一類。

生分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫作真分?jǐn)?shù)，分子等于分母或者分子大于分母的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。

師你知道黑板上的分?jǐn)?shù)中哪些是真分?jǐn)?shù)，哪些是假分?jǐn)?shù)嗎？和1相比，各有什么特點？

生14、24、34、13、23是真分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)。

生真分?jǐn)?shù)都比1小，假分?jǐn)?shù)大于1或者等于1。

[思考：分?jǐn)?shù)來源于生活并服務(wù)于生活，假分?jǐn)?shù)亦是如此。在運用假分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識解決實際問題的過程中，學(xué)生進(jìn)一步從單位累加的角度感悟和認(rèn)識分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的意義。接著，學(xué)生通過對分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，認(rèn)識了真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)并了解了其特征，從抽象形式的層次再次認(rèn)識了真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。]

（五）勾連舊知，突破分?jǐn)?shù)教學(xué)的難點

師（出示圖9）你能用分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分嗎？

（在學(xué)生獨立練習(xí)的基礎(chǔ)上，組織展示和交流。）

生第1題是把長方形看成單位“1”，平均分成8份，每份是18，7個18就是78。

生第2題是把這個圖形看成單位“1”，平均分成8份，每份是18，8個18就是88。

生第3題是把一個長方形看作單位“1”，將兩個長方形都平均分成4份，每份是14，7個14就是74。

生第4題是把一個三角形看成單位“1”，將兩個三角形都平均分成3份，每份是13，6個13就是63。

師仔細(xì)觀察第1題和第3題，為什么一個用78表示，一個用74表示呢？

生因為第1題是把一個大長方形看作單位“1”，平均分成8份，分?jǐn)?shù)單位是18，共有7個18，所以用78表示;第3題是把一個小長方形看作單位“1”，平均分成4份，每份是14，共有7個14，所以是74。

師（出示圖10）你能在數(shù)軸上描點表示出各個分?jǐn)?shù)嗎？

（在學(xué)生獨立表示、交流想法之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察和思考。）

師仔細(xì)觀察，表示真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的點分別落在直線的哪一段？

生真分?jǐn)?shù)在0到1之間，假分?jǐn)?shù)在1以及1以后的部分。

生真分?jǐn)?shù)不包括0這個點，假分?jǐn)?shù)包括1這個點。

生這說明，真分?jǐn)?shù)都比1小、比0大，而假分?jǐn)?shù)等于1或大于1。

師（出示圖11）同學(xué)們，現(xiàn)在讓我們回看一下以前學(xué)習(xí)的情景。（屏幕同步顯示）在描述這個分?jǐn)?shù)的意義時，原來大部分學(xué)生都這樣說：把一個圓看作單位“1”，平均分成5份，“取”其中的2份，就是它的25?？烧n本上要求大家這樣說：把一個圓看作單位“1”，平均分成5份，“表示”這樣的2份，就是它的25。通過今天的學(xué)習(xí)，你知道這是為什么嗎？

生今天我們學(xué)習(xí)了假分?jǐn)?shù)。如果這個分?jǐn)?shù)是65，我們就不能說“把一個圓看作單位‘1’，平均分成5份，取其中的6份”，只能說“表示這樣的6份”，就是它的65。

生以前學(xué)習(xí)的是真分?jǐn)?shù)，可以“取”出來，但是假分?jǐn)?shù)就“取”不出來了，書上的表達(dá)更加嚴(yán)謹(jǐn)。

生比如，我吃了1個再加14個蘋果。把一個蘋果看成單位“1”，我吃的蘋果數(shù)量根本沒辦法從中取出來。

師看來，今后我們描述分?jǐn)?shù)的意義時要提醒自己用語的簡潔和精準(zhǔn)。

[思考：對于“用分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分”的第3題，學(xué)生經(jīng)常會誤認(rèn)為是78。在弄清括線表示的意義后，學(xué)生知道比1大的分?jǐn)?shù)至少需要用2個單位“1”來表示，并借助分?jǐn)?shù)單位的累加得出正確的分?jǐn)?shù)，從而化解了學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的迷思和錯誤，建構(gòu)了正確的認(rèn)知。接著，讓學(xué)生在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)，了解真、假分?jǐn)?shù)與1的關(guān)系，感受真、假分?jǐn)?shù)的范圍，進(jìn)一步了解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的特征。在課的結(jié)尾，出示表示25的直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生比較他們的習(xí)慣表達(dá)和課本上的規(guī)范表達(dá)，幫助他們認(rèn)識到課本中給分?jǐn)?shù)所下定義，既包括先前認(rèn)識的真分?jǐn)?shù)，也包括新學(xué)的假分?jǐn)?shù)。至此，教學(xué)的難點得以攻破。]

二、教學(xué)評析

分?jǐn)?shù)概念是一個核心知識。真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的下位概念，認(rèn)識、理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)要回到分?jǐn)?shù)的意義，回到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景中去。教學(xué)中，教師從度量的視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)和理解假分?jǐn)?shù)的意義，再通過分類認(rèn)識真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。總體來看，這節(jié)課主要有以下幾個特點：

（一）立足整體，設(shè)計長程教學(xué)

數(shù)學(xué)知識之間是有邏輯關(guān)聯(lián)的。基于此，教師將“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”置于“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)加法和減法”甚至更大的知識體系之中，弄清它與相關(guān)內(nèi)容在知識本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想、核心素養(yǎng)等方面的一致性，按照知識發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)來長線設(shè)計教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生借助認(rèn)知遷移來建構(gòu)新知識，擴充和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本節(jié)課，教師將整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)看作一個整體進(jìn)行設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)先前學(xué)習(xí)獲得的經(jīng)驗，將分?jǐn)?shù)單位看成計數(shù)單位，通過分?jǐn)?shù)單位的累加獲得不同的分?jǐn)?shù)，包括真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，比如，1個14是14，2個14是24，3個14是34，4個14是44，5個14就是54;引導(dǎo)學(xué)生用面積模型、線段模型等多種方式表示真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，促進(jìn)學(xué)生全面地理解分?jǐn)?shù)概念，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較和分?jǐn)?shù)運算、解決與分?jǐn)?shù)有關(guān)的實際問題做好鋪墊。

（二）利用圖式，建構(gòu)兩個概念

概念的外延與內(nèi)涵是概念的兩個基本邏輯維度。學(xué)生要建立一個概念，既要知道這個概念的外延，也就是概念包含哪些對象;又要知道這個概念的內(nèi)涵，也就是這些對象具有哪些共同屬性。相應(yīng)地，劃分是明晰概念外延的常用方法，下定義是揭示概念內(nèi)涵的一般方法。另一方面，圖式是人們表征、組織和解釋經(jīng)驗的心理結(jié)構(gòu)。從這個意義上說，教師在教學(xué)時應(yīng)該激活學(xué)生頭腦中有關(guān)概念建構(gòu)的基本圖式，利用圖式強大的遷移功能，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新知。本節(jié)課中，教師呈現(xiàn)直觀的等分背景，引導(dǎo)學(xué)生通過等分得到分?jǐn)?shù)單位，再利用分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行度量，得到一系列新的分?jǐn)?shù)，并從分?jǐn)?shù)單位累加的角度去理解這些分?jǐn)?shù)的意義;引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“分子是不是比分母小”這一標(biāo)準(zhǔn)，對前面得到的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，將分?jǐn)?shù)這個屬概念劃分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)這兩個鄰近的種概念。這樣教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步完善了先前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)概念，并伴隨著分?jǐn)?shù)概念的分化，建構(gòu)并理解了真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)這兩個新的概念。

（三）基于學(xué)情，突破學(xué)習(xí)難點

直接經(jīng)驗的缺失、前概念的負(fù)遷移、語言表達(dá)的不規(guī)范以及數(shù)學(xué)模型的局限性，常常會造成學(xué)生在學(xué)習(xí)時產(chǎn)生迷思和錯誤。本節(jié)課，教師提前了解了學(xué)生在認(rèn)識真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)時可能出現(xiàn)的典型錯誤，有針對性地設(shè)計了教學(xué)活動，有效幫助學(xué)生突破了學(xué)習(xí)困境，實現(xiàn)了思維進(jìn)階。教師認(rèn)識到分?jǐn)?shù)從本源上說是數(shù)，于是，引導(dǎo)學(xué)生從本源上去認(rèn)識真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，通過分?jǐn)?shù)單位的累加理解這些分?jǐn)?shù)的意義，體會到假分?jǐn)?shù)存在的合理性;引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)進(jìn)行直觀表征，理解括線連接幾個圖形即表示幾個單位“1”，不同于集合模型只表示1個單位“1”，從而沖破在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時形成的分?jǐn)?shù)表示“部分與整體的關(guān)系”的局限，建立假分?jǐn)?shù)的正確表象;同時，引導(dǎo)學(xué)生比較他們的日常表達(dá)和課本上的規(guī)范表達(dá)，認(rèn)識到課本中給分?jǐn)?shù)所下定義的嚴(yán)謹(jǐn)性。

當(dāng)然，也可以放慢分?jǐn)?shù)分類環(huán)節(jié)的教學(xué)節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生按照不同的標(biāo)準(zhǔn)給分?jǐn)?shù)分類，比如，按照分子和分母是不是互質(zhì)或倍數(shù)關(guān)系，分?jǐn)?shù)可以劃分為可約分?jǐn)?shù)和最簡分?jǐn)?shù)兩類，或者分子是分母的倍數(shù)、分子不是分母的倍數(shù)兩類。即使按照“分子是不是比分母小”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，學(xué)生也可能將分?jǐn)?shù)劃分為分子小于分母、分子等于分母、分子大于分母三類。這些看似無用的分類，卻是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的化簡，假分?jǐn)?shù)與整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的互化等知識的重要資源。學(xué)生可以從中感悟假分?jǐn)?shù)“假”在何處，從而了解整數(shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別與聯(lián)系。