朱建玲 朱小平
摘要:在分數(shù)知識中,“分數(shù)的意義”屬于數(shù)學核心知識,主要引導學生抽象出單位“1”的概念,概括分數(shù)的意義,認識分數(shù)單位?!斗謹?shù)的意義》一課教學,依照分數(shù)概念的要素確立認知序列,按照認知活動的側重精選學習素材,觀照學生的認知特點確定學習方式。
關鍵詞:《分數(shù)的意義》;知識本質;分數(shù)概念
本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學數(shù)學核心知識建構的教學研究”(編號:DHA200370)的階段性研究成果?!斗謹?shù)的意義》一課的教學內(nèi)容是蘇教版小學數(shù)學五年級下冊第52頁的例1及相應的練習,教學目標確定為:(1)初步理解單位“1”和分數(shù)單位的含義,從平均分和度量兩個角度,經(jīng)歷分數(shù)意義的抽象概括過程,進一步理解分數(shù)的意義和分數(shù)單位的含義;(2)在建構分數(shù)意義的過程中,進一步培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力,發(fā)展數(shù)學思考;(3)在解釋實際情境中分數(shù)所表示的意義等活動中,進一步體會分數(shù)的應用價值,感受分數(shù)與生活的聯(lián)系,增強學習數(shù)學的興趣。教學過程及評析如下:
一、教學過程
(一)揭示單位“1”,歸納分數(shù)的意義
1.認識單位“1”
師每到新的一年,中國郵政都會發(fā)行當年的生肖郵票。一起來看,這是今年發(fā)行的虎年郵票。(出示1枚郵票)1枚郵票可以用自然數(shù)幾來表示?
生1。
(教師板書:1。)
師(出示2枚郵票)現(xiàn)在是幾枚?也就是幾個1?
生2個1。
師2個1就是——
生2。
師(出示3枚郵票)現(xiàn)在呢?
生3,3個1是3。
師在集郵愛好者眼里,還有一種郵票特別珍貴。一起來看,(出示4枚郵票)它是由4枚同樣的郵票連在一起的四方聯(lián)。這時,你覺得可以用哪個自然數(shù)表示?
生可以用4表示。
生我覺得也可以用1表示,因為4枚郵票是連在一起的,是一個整體。
(教師板書:一個整體。)
師你思考的角度與眾不同,那么這時的1和以前我們所認識的1一樣嗎?
生不一樣,現(xiàn)在是一個整體,原來是一個物體。
師說得真好!
(板書:一個物體。)
師既然這樣,一起來看,(出示8枚郵票)把1張四方聯(lián)看作“1”,那么這些郵票用幾來表示呢?
生用2來表示。因為把4枚郵票看作“1”,現(xiàn)在有2個這樣的“1”,當然就是2了。
師(出示12枚郵票)現(xiàn)在呢?
生應該用3來表示。
師在這里,4枚郵票所看作的“1”,其實就成了計數(shù)的單位。我們把這樣的“1”又叫作單位“1”。
(補充板書:單位。)
師其實,除了可以把“4枚郵票”這樣由一些物體組成的一個整體看作單位“1”,(補充板書:一些物體)我們以前研究的一個物體、一個計量單位和一些物體也都可以看作一個整體,用自然數(shù)1來表示。通常,我們把它們都叫作單位“1”。
(補充板書:一個計量單位。)
[思考:在蘇教版小學數(shù)學教材中,學生是分三次認識分數(shù)的,分別安排在三年級上冊、三年級下冊和五年級下冊。在三年級兩次認識分數(shù)的教學中,學生需要理解分數(shù)既可以表示把一個物體或一個圖形平均分得到的結果,也可以表示把一些物體看作一個整體平均分得到的結果。這里,以單張郵票和四方聯(lián)郵票為學材,讓學生理解4枚郵票所看作的“1”,實際上相當于一個計數(shù)單位,由此引出單位“1”的概念。]
2.借助單位“1”理解分數(shù)的意義
師(出示圖1)一起來看大屏幕,認識嗎?它們能被看作單位“1”嗎?說一說這里分別把什么看作單位“1”。
生一塊月餅,1米,8個圓組成的整體。
師(出示圖2)把這些單位“1”平均分,會得到什么?
生分數(shù)。
(教師板書:分數(shù)。)
師那涂色部分分別是單位“1”的幾分之幾呢?在學習單上寫一寫。
(學生寫。)
師誰來說說第一幅圖?
生把一塊月餅平均分成8份,取其中的5份,就是58。
師沒錯。今天我們認識了單位“1”,那么在交流這個分數(shù)時,可以說“把一塊月餅看作單位‘1’,平均分成……”,誰來試試?
生把一塊月餅看作單位“1”,平均分成8份,涂色部分是5份,涂色部分是這塊月餅的58。
師同桌互相說一說。
(學生說。)
師剩下的兩幅圖呢?
生把1米看作單位“1”,平均分成8份,涂色部分是5份,涂色部分是1米的58。
生把8個圓組成的整體看作單位“1”,平均分成8份,涂色部分是5份,涂色部分是這些圓的58。
師同學們說得都非常準確!繼續(xù)觀察這幾幅圖和分數(shù),什么相同?什么不同?
生都表示58。
生物體不同。
師物體不同,也就是單位“1”——
生(齊)不同。
師單位“1”各不相同,為什么涂色部分都可以用58表示呢?
生因為它們都是把單位“1”平均分成8份,表示這樣的5份。
師是啊,不管單位“1”是什么,只要是把單位“1”平均分成8份,表示這樣的5份,就可以用58表示。
[思考:本環(huán)節(jié)特意創(chuàng)設了三幅圖的情境。這三幅圖的單位“1”不同,但都是把單位“1”平均分成8份,表示這樣的5份,所以都可以用分數(shù)58表示。這樣的設計可以讓學生在比較中進一步理解分數(shù)的產(chǎn)生與平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)密切相關。]
3.在比較中歸納分數(shù)的意義
(1)單位“1”不同,可以表示相同的分數(shù)
師剛才,同學們借助單位“1”深刻理解了58的意義。接著,(出示圖3)我們來看這幾幅圖,看看它們分別把什么看作單位“1”,涂色部分各是單位“1”的幾分之幾。在學習單上寫一寫,寫完后比一比,你有什么發(fā)現(xiàn)?
生第一幅圖的涂色部分用14表示,這里把這些圓看作單位“1”,平均分成4份,涂色部分表示這樣的1份,所以涂色的圓表示總數(shù)的14。
生第二幅圖的涂色部分也用14表示,這里把這些圓看作單位“1”,平均分成4份,涂色部分表示這樣的1份,所以涂色的圓表示總數(shù)的14。
生第三幅圖的涂色部分還是用14表示,這里把這些圓看作單位“1”,平均分成4份,涂色部分表示這樣的1份,所以涂色的圓表示總數(shù)的14。
生我發(fā)現(xiàn)這里都是用14表示涂色部分,但是每一幅圖中涂色的圓的個數(shù)不一樣。
師這是為什么呢?
生因為這里的單位“1”所包含的圓的個數(shù)不一樣。單位“1”越大,它的14就越大;單位“1”越小,它的14就越小。
師從同學們的交流中不難看出,理解分數(shù)時要關注單位“1”。
(2)單位“1”相同,可以表示不同的分數(shù)
師(出示圖4)這一回,單位“1”一樣嗎?
生一樣。
師涂色三角形又是單位“1”的幾分之幾呢?在學習單上寫一寫,然后比一比,把你的發(fā)現(xiàn)寫下來。
生第一幅圖的涂色部分用56表示,這里把這些三角形看作單位“1”,平均分成6份,涂色部分表示這樣的5份,所以涂色三角形表示總數(shù)的56。
生第二幅圖的涂色部分用23表示,這里把這些三角形看作單位“1”,平均分成3份,涂色部分表示這樣的2份,所以涂色三角形表示總數(shù)的23。
生第三幅圖的涂色部分用12表示,這里把這些三角形看作單位“1”,平均分成2份,涂色部分表示這樣的1份,所以涂色三角形表示總數(shù)的12。
生我發(fā)現(xiàn)這里的單位“1”都一樣,但是平均分的份數(shù)不同,涂色的份數(shù)不同,表示的分數(shù)就不同。
師這樣看來,要說清楚一個分數(shù)的意義,除了要思考單位“1”是什么,還要思考——
生(齊)單位“1”被平均分成了幾份,表示了這樣的幾份。
(教師補充板書:平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)。最終形成的板書如圖5所示。)
師弄清了這些,也就準確理解了分數(shù)的意義。
(教師板書課題:分數(shù)的意義。)
[思考:學習分數(shù)的意義,學生需要把握三個關鍵:單位“1”、平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)。基于此,本環(huán)節(jié)的第一道例題設計了單位“1”不同而平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)都相同的情境,啟發(fā)學生思考為什么表示的分數(shù)相同。第二道例題變換為單位“1”相同而表示的分數(shù)不同的情境。學生經(jīng)歷兩種情境的對比,能進一步把握分數(shù)的意義。]
(二)引入生活情境,多元表征分數(shù)的意義
師剛才同學們動手動腦,踴躍發(fā)言,非常精彩!在生活中,我們也經(jīng)常會用到分數(shù)。不過,有時單位“1”不像剛才那樣“看得見”。現(xiàn)在,你還能理解這些分數(shù)的意義嗎?
(出示:地球表面有71100被海洋覆蓋。指名讀一讀。)
師誰來說說這里的“71100”表示的意思?
生把地球表面積看作單位“1”,平均分成100份,被海洋覆蓋的面積是這樣的71份。
師說得非常準確!大家閉上眼睛想一想剛才的畫面。
(稍后PPT呈現(xiàn)地球海洋圖。隨后繼續(xù)出示:五年級一班學生中,會打乒乓球的占34。指名讀一讀。)
師這里的“34”是什么意思?
生把五一班學生的人數(shù)看作單位“1”,平均分成4份,會打乒乓球的人是這樣的3份。
師你能用畫圖的方式表示出34的含義嗎?試一試。
(學生嘗試畫圖表示,教師組織交流。)
生(展示作品,見圖6)我用一個圓表示五一班學生的總數(shù),那么涂色部分就表示會打乒乓球的人數(shù)。
生(展示作品,見圖7)我用8個圓組成了一個整體,表示五一班學生的總數(shù),那么涂色部分就表示會打乒乓球的人數(shù)。
生(展示作品,見圖8)我用一條線段表示五一班學生的總數(shù),把它平均分成4份,這樣的3份就表示會打乒乓球的人數(shù)。
師從同學們的作品中,我們更加清晰形象地理解了這里的“34”的含義。雖然大家表示的單位“1”形式不同,但都表示出了會打乒乓球的人數(shù)與全班人數(shù)的關系。
[思考:本環(huán)節(jié),用生活中的情境進一步幫助學生具體理解分數(shù)的意義。同時,學生用畫圖的方式直觀地表示出對分數(shù)的理解,展示了思維的多元性。]
(三)基于動手操作,理解分數(shù)單位的度量屬性
師說到分數(shù),它發(fā)展到現(xiàn)在我們書寫的樣子,經(jīng)歷了漫長的時間。(出示圖9)3000多年前,古埃及人在分物體時不能得到整數(shù)的結果,于是就用這樣特殊的符號表示分數(shù)。猜猜這個分數(shù)是多少?
(學生猜測。教師揭示“14”,隨后出示圖10。)
師2000多年前,我國古代最初用算籌表示分數(shù)??匆豢矗@個分數(shù)是什么?
生25。
(教師揭示“25”,接著出示圖11。)
師后來,印度人發(fā)明了數(shù)字,他們這樣來表示分數(shù)。這個是——
生23。
(教師揭示“23”,隨后出示圖12。)
師公元12世紀,阿拉伯人發(fā)明了分數(shù)線,就把分數(shù)表示成現(xiàn)在這樣了。從分數(shù)的發(fā)展史中我們不難看出,埃及是世界上最早使用分數(shù)的國家,但古埃及人在進行分數(shù)運算時,只使用分子為1的分數(shù),因此這種分數(shù)也叫作埃及分數(shù)。
(出示圖13。)
13、15、19、116……——埃及分數(shù)
師(出示圖14)老師這里有一根彩色紙條,從中你發(fā)現(xiàn)埃及分數(shù)了嗎?
生17。
師是的,紅色部分是這根彩色紙條的17。這個17是怎么得到的呢?
生把彩色紙條看作單位“1”,平均分成7份,紅色部分表示這樣的1份。
師那黃色部分占整張彩色紙條的幾分之幾呢?估一估。
(學生估。許多學生說是47。)
師你是怎么估的?
生我參考了旁邊的紅色部分,覺得黃色部分的長大約是紅色部分寬的4倍。
師我聽明白了,你是用17為參照來估的。打開信封,拿出老師為你們準備的材料,用你喜歡的方法驗證是不是47,可以留下你驗證的痕跡。
(學生嘗試操作后,教師組織交流互動,同步投影展示。)
生我用表示17的紅色小紙片量,1個17,2個17,3個17,4個17,黃色部分有4個17,所以是47。
生我是以紅色部分為標準折的,發(fā)現(xiàn)黃色部分包含了4個17。
師比一比,這些方法有什么相同之處?
生都是以17為標準去數(shù)的。
師和自然數(shù)一樣,分數(shù)也有它的計數(shù)單位,就是分數(shù)單位。
(板書:分數(shù)單位。)
師在數(shù)學上,我們把單位“1”平均分成若干份,表示這樣一份的數(shù)叫作分數(shù)單位。其實,剛才我們認識的埃及分數(shù)就是分數(shù)單位。
師47的分數(shù)單位是什么?它里面有幾個分數(shù)單位?
生47的分數(shù)單位是17,它里面有4個17。
師17呢?
生17的分數(shù)單位是17,它里面有1個17。
師你能再說幾個分數(shù)單位是17的分數(shù)嗎?
生67的分數(shù)單位是17,它里面有6個17。
……
[思考:前面的環(huán)節(jié),側重從平均分的角度讓學生理解分數(shù)的意義。其實,分數(shù)是在分物、度量等情況下產(chǎn)生的。我們還應從度量的視角設計教學,拓寬學生對分數(shù)意義的理解。因此,本環(huán)節(jié)突出分數(shù)單位的意義和價值,強調(diào)通過度量或比較得到幾個幾分之一就是幾分之幾,也就是突出分數(shù)單位的計數(shù)單位屬性,幫助學生體會分數(shù)單位的累加可以形成不同的分數(shù)。這里,用一根沒有平均分痕跡的紙條制造認知沖突,讓學生無法數(shù)出“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”,激發(fā)探究的欲望。學生用“量”和“折”的方法得出分數(shù),感受分數(shù)的“度量”含義,感悟分數(shù)單位是分數(shù)的計數(shù)單位。]
(四)借助數(shù)軸,感受分數(shù)單位的累加價值
師(出示數(shù)軸,標0、1、2)認識了分數(shù)的意義和分數(shù)單位,應該說我們對分數(shù)的認識又深了一步。老師記得我們在學習整數(shù)和小數(shù)的時候,可以用直線上的點表示這些數(shù),那分數(shù)也能用直線上的點表示嗎?
生能。
師通常我們把0到1這一段看作單位“1”,如果把它平均分成7份,這個點就表示17。那表示27的點在哪里呢?
生27里有2個17,所以只要往后再加一段17,那個點就表示27了。
師你是從分數(shù)單位的角度來理解的。那如果再增加一個17,現(xiàn)在是幾個17?是多少?
生3個17,所以是37。
師這樣接著數(shù)下去呢?
生47,57,67。
師觀察這里的分數(shù),它們有沒有相同的地方?
生分數(shù)單位都是17。
師不同的地方呢?
生分子不同。
師也就是包含的分數(shù)單位的個數(shù)不同。剛才,我們從17數(shù)到了67,如果再接著數(shù)下去,是多少?
生1。
生77。
師77在哪里?
生和1重合。
師那按照這樣的思考,再增加一個17,8個17用哪個分數(shù)表示呢?
生87。
師像77、87這樣的分數(shù),后面我們會進一步研究,不過今天我們已經(jīng)從中體會到了分數(shù)單位的作用。
[思考:通過用數(shù)軸上的點來表示分數(shù),進一步從度量的視角強化學生對分數(shù)單位的認識,使其理解通過分數(shù)單位的累加可以得到不同的分數(shù)。除此之外,在學生找到了表示67的點以后,不就此停步,而是引導學生接著數(shù)下去,認識到7個17是77,77和1在同一個位置,進而認識到8個17是87。此時,學生對分數(shù)的認識已經(jīng)突破了已有的平均分觀念,對大于1的分數(shù)也有了認知的基礎。]
二、教學評析
在分數(shù)知識中,“分數(shù)的意義”屬于數(shù)學核心知識。這部分內(nèi)容是在學生初步認識分數(shù)的基礎上教學的,主要引導學生抽象出單位“1”的概念,概括分數(shù)的意義,認識分數(shù)單位?!斗謹?shù)的意義》一課教學,在確立認知序列、精選學習素材、確定學習方式三個方面具有鮮明的特點和一定的新意。
(一)依照分數(shù)概念的要素確立認知序列
分數(shù)的產(chǎn)生有兩個背景,一個是測量,一個是整數(shù)除法計算(也就是平均分)。第一種背景可以理解為:用一個作為標準的量n(度量單位)來度量另一個量,如果量了若干次不能恰好量完,而將n分成若干等份,用其中的一份作為新的度量單位來度量,恰好可以量完,在這種情況下,用分數(shù)來表示度量的結果。第二種背景則是將若干數(shù)量平均分,如果每一份的計算結果,也就是除法的商無法用整數(shù)表示,則可以用分數(shù)表示。顯然,教材對應第一種背景定義了分數(shù)的基本意義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù),叫作分數(shù)。因此,教師科學地確立本節(jié)課的認知序列:先認識單位“1”,后借助單位“1”理解具體情境中某個分數(shù)的意義,再歸納出分數(shù)的意義;在此基礎上,認識分數(shù)單位并體驗其度量屬性和累加價值。
(二)按照認知活動的側重精選學習素材
在認識單位“1”時,教師用虎年生肖郵票作為學習素材。郵票類型從單枚到四方聯(lián),巧妙地將單位“1”的意指對象從單個完整的物體過渡到了由多個物體組成的一個整體?!霸诒容^中歸納分數(shù)的意義”這個環(huán)節(jié),教師先后呈現(xiàn)兩組圖片,旨在讓學生直觀地感受到“單位‘1’不同,可以表示相同的分數(shù)”和“單位‘1’相同,可以表示不同的分數(shù)”,從而形成清晰的數(shù)學認識——要準確描述一個分數(shù)的意義,既要關注單位“1”是什么,還要關注單位“1”被平均分成了幾份以及表示這樣的幾份。如此,學生對分數(shù)的意義的歸納也就順理成章、水到渠成了。此外,有關分數(shù)的數(shù)學史的適時介紹,尤其是“埃及分數(shù)”的補充介紹,可謂神來之筆,既調(diào)節(jié)了本節(jié)課的學習節(jié)奏,又讓學生對分數(shù)單位有了一個先行的且深刻的認知。
(三)觀照學生的認知特點確定學習方式
小學生喜歡聽故事、畫圖畫,喜歡動手操作,對世界充滿好奇和向往。他們受思維水平的限制,認識概念時需要有直觀的感受為支撐。教師充分考慮到學生的認知特點,采用恰當?shù)膶W習方式組織學生開展學習活動。例如,在理解生活情境“五年級一班學生中,會打乒乓球的占34”中的分數(shù)時,讓學生用畫圖的形式多元表征“34”,可以幫助他們清晰地解釋其所表示的意義。又如,學生僅憑觀察就可以輕易地發(fā)現(xiàn)分數(shù)單位的外在特征是“幾分之一”,但對其作為“計數(shù)單位”的內(nèi)在特征,則需要從度量的視角體驗和感悟。為此,教師特地為學生準備了裝有學習材料的信封,讓他們通過量一量或折一折的方法驗證黃色部分是不是47。這樣的學習方式深受學生喜愛,并且效果非常好。
參考文獻:
[1] 劉正松.小學數(shù)學核心知識“慢教學”與“長教學”課例研究[J].新課程研究(上旬刊),2018(1).