剖析立體幾何中的“動態(tài)”問題

■沈建良

所謂動態(tài)立體幾何問題,是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中,探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算。立體幾何中常求解一些固定不變的點、線、面的關系,若給靜態(tài)的立體幾何問題賦予“活力”,滲透了“動態(tài)”的點、線、面元素,立意會更新穎、更靈活,能培養(yǎng)同學們的空間想象能力。下面是對破解立體幾何“動態(tài)”問題的一些思考,以期拋磚引玉。

一、“動態(tài)”問題之軌跡問題

例1 如圖1,在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分別是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中點,M在四邊形EFGH邊上及其內部運動,若MN//面A1BD,則點M軌跡的長度是( )。

圖1

解：因為在邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別是CC1,C1D1,DD1,CD的中點,N是BC的中點,則GH//BA1,HN//BD。又GH?面A1BD,BA1?面A1BD,所以GH//面A1BD。同理可得,NH//面A1BD。又GH∩HN=H,所以面A1BD//面GHN。

二、“動態(tài)”問題之定值問題

例2 如圖2,在單位正方體ABCDA1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動。

圖2

給出以下四個命題:①異面直線A1P與BC1間的距離為定值;②三棱錐D-BPC1的體積為定值;③異面直線C1P與CB1所成的角為定值;④二面角P-BC1-D的大小為定值。其中真命題的序號是( )。

A.①② B.③④

C.①②③ D.①②③④

解：對于①,異面直線A1P與BC1間的距離即為兩平行平面ADD1A1和平面BCC1B1間的距離,即為正方體的棱長,為定值,①正確。對于②,VD-BPC1=VP-DBC1,因為S△DBC1為定值,點P∈AD1,AD1//平面BDC1,所以點P到平面BDC1的距離即為正方體的棱長,所以三棱錐D-BPC1的體積為定值,②正確。對于③,在正方體ABCDA1B1C1D1中,因為B1C⊥平面ABC1D1,而C1P?平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,即這兩條異面直線所成的角為90°,③正確。對于④,因為二面角P-BC1-D的大小即為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角的大小,而這兩個平面位置固定不變,所以二面角P-BC1-D的大小為定值,④正確。應選D。

動態(tài)立體幾何問題,在變化過程中總蘊含著某些不變的因素,因此要認真分析其變化特點,尋找不變的靜態(tài)因素,從靜態(tài)因素中,找到解決問題的突破口。

三、“動態(tài)”問題之翻折問題

例3 如圖3,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點,F為線段EC(端點除外)上一動點。現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF,得到如圖4 所示的四棱錐D-ABCF。在平面ABD內過點D作DK⊥AB,垂足為K。設AK=t,則t的取值范圍是。

圖3

圖4

解：過點F作FM⊥AB交AB于點M(作法略)。

設FC=x,0＜x＜1,則MF=BC=1,MB=FC=x。易知AK＜AD=1,AB=2,所以點K一定在點M的左邊,則MK=2-t-x。

在Rt △ADK中,DK2=1-t2,在Rt△FMK中,FK2=1+(2-t-x)2。

因為平面ABD⊥平面ABCF,平面ABD∩平面ABCF=AB,DK⊥AB,DK?平面ABD,所以DK⊥平面ABCF,所以DK⊥FK。

本題是一個動態(tài)的翻折問題,通過發(fā)現(xiàn)不變的垂直關系,從而得到相關變量間的關系,最終轉化成函數的值域問題。解決折疊問題的關鍵是分清折疊前后圖形的位置和數量關系的變與不變的量。

四、“動態(tài)”問題之展開問題

例4 已知某圓錐的母線長為3,底面半徑為1,則該圓錐的體積為_____。

設線段AB為該圓錐底面圓的一條直徑,一質點從A出發(fā),沿著該圓錐的側面運動,到達B點后再沿側面回到A點,則該質點運動路徑的最短長度為____。

將該圓錐側面沿母線SA展開,如圖5所示。

圖5

空間動態(tài)問題常轉化為平面的動態(tài)問題求解。化曲為直是求解曲面上路徑長度最短問題的關鍵。本題是求解圓錐側面上質點運動路徑的最短長度問題,可將圓錐側面沿一條母線展開成扇形,從而在平面圖形中解決問題。