■張文偉

立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數(shù)學分支,在解決實際問題中有著廣泛的應用。立體幾何中的概念、公理、定理是同學們需要掌握的核心知識。下面就空間幾何體的結構特征、立體圖形的直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積、空間點線面的位置關系以及直線、平面的平行和垂直關系,進行舉例分析,幫助同學們更好地學好這部分知識。

題型1：空間幾何體的結構特征與直觀圖

例1 (多選題)下列命題中正確的是( )。

A.棱柱的側棱都相等,側面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中,若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱

C.存在每個面都是直角三角形的四面體

D.棱臺的上、下底面可以不相似,但側棱長一定相等

解：根據(jù)棱柱的定義可知,棱柱的各個側面都是平行四邊形,但不一定全等,A 不正確。在直四棱柱中,兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱,又垂直于底面,B 正確。正方體ABCD-A1B1C1D1(圖略)中的三棱錐C1-ABC,其四個面都是直角三角形,C 正確。棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形,各側棱的延長線交于一點,但側棱長不一定相等,D 不正確。應選B,C。

跟蹤訓練1：如圖1所示,在平面直角坐標系xOy中,水平放置的正方形ABCO,點B的坐標為(4,4),則由斜二測畫法畫出的該正方形的直觀圖中,頂點B＇到x＇軸的距離為____。

圖1

提示：由斜二測畫法畫出的直觀圖,如圖2所示。

圖2

作B＇E⊥x＇軸于點E。在Rt△B＇EC＇中,B＇C＇=2,∠B＇C＇E=45°,所以B＇E=

題型2：空間幾何體的表面積問題

求多面體的表面積:只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積。求旋轉體的表面積:可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系。求不規(guī)則幾何體的表面積:通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積。

圖3

圖4

跟蹤訓練3：如圖5 所示,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為36,E為棱CC1上的點,且CE=2EC1,則三棱錐E-BCD的體積是( )。

圖5

題型4：與球有關的切、接問題

一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是這個多面體的內切球。一個多面體的各頂點都在一個球的球面上,則稱這個多面體是這個球的內接多面體,這個球是這個多面體的外接球。內切球的球心到多面體各面的距離均相等,外接球的球心到多面體各頂點的距離均相等。

例4 在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC= 3,則該三棱錐的外接球的表面積為( )。

解：如圖6,已知PA=PB=PC=2,過P作PG⊥平面ABC,垂足為G,則G為三角形ABC的外心。

圖6

題型5：空間點線面之間的位置關系

判斷兩條直線異面的常用方法(反證法):假設兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設出發(fā),經(jīng)過嚴格的推理,導出矛盾,從而否定假設,肯定兩條直線異面。直線與平面位置關系的判斷:借助模型(如正方體、長方體)是解決這類問題的有效方法,證明直線在平面內,只要證明直線上兩點在平面內;證明直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個公共點;要證明直線與平面平行,必須說明直線與平面沒有公共點。判斷平面與平面相交,只要找到一個交點即可;判斷平面與平面平行,只要說明兩個平面沒有公共點。

例 5 如圖 7 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點。

圖7

現(xiàn)有以下四個結論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線。

其中正確的結論為_____。(把你認為正確的結論序號都填上)。

解：因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內,直線CC1在平面CDD1C1內,CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,①錯誤。取DD1的中點E,則BN//AE,但AE與AM相交,②錯誤。因為點B1與BN都在平面BCC1B1內,M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,③正確。同理知④正確。答案為③④。

跟蹤訓練5：現(xiàn)有以下四個命題,其中正確的命題是( )。

①在平面α內有兩條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行;②在平面α內有無數(shù)條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行;③平面α內的△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行;④平面α內有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交。

A.③④ B.②③④

C.②④ D.①④

提示：當兩個平面相交時,一個平面內有無數(shù)條直線平行于它們的交線,即平行另一個平面,①②錯誤。應選A。

題型6：直線與平面的平行問題

證明直線與平面平行的關鍵是尋找線線平行,證明中常構造三角形中位線或平行四邊形。證明直線與平面平行的五種常用方法:(1)利用線面平行的定義(無公共點)。(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a//b?a//α)。(3)利用面面平行的性質定理(α//β,a?α?a//β)。(4)利用面面平行的性質(α//β,a?β,a//α?a//β)。(5)向量法,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直。

例6 在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB//CD,∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E

為PC的中點。

(1)證明:BE//平面PAD。

(2)求三棱錐E-PBD的體積。

解：(1)如圖8,取PD的中點F。

圖8

圖9

(1)求證:BC//EF。

(2)求三棱錐B-DEF的體積。

提示：(1)由AD//BC,AD?平面ADEF,BC?平面ADEF,可得BC//平面ADEF。因為BC?平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC//EF。

題型7：平面與平面的平行問題

證明兩個平面平行的六種常用方法:(1)利用面面平行的定義。(2)利用面面平行的判定定理。(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行。(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化。(6)向量法,證明兩平面的法向量平行。

例7 如圖 10 所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點。

圖10

求證:(1)B,C,H,G四點共面。

(2)平面EFA1//平面BCHG。

證明：(1)因為G,H分別是A1B1,A1C1的中點,所以GH//B1C1。又B1C1//BC,所以GH//BC,所以B,C,H,G四點共面。

(2)在△ABC中,E,F分別為AB,AC的中點,所以EF//BC。因為EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF//平面BCHG。因為G,E分別為A1B1,AB的中點,所以A1GEB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E//GB。因為A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E//平面BCHG。又A1E∩EF=E,所以平面EFA1//平面BCHG。

跟蹤訓練7：如圖11,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC= ∠ACD= 90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1。設M,N分別為PD,AD的中點。

圖11

(1)求證:平面CMN//平面PAB。

(2)求三棱錐P-ABM的體積。

提示：(1)由M,N分別為PD,AD的中點,可得MN//PA。

因為MN?平面PAB,PA?平面PAB,所以MN//平面PAB。

在Rt△ACD中,由∠CAD=60°,CN=AN,可得∠ACN=60°。由∠BAC=60°,可得CN//AB。由CN?平面PAB,AB?平面PAB,可得CN//平面PAB。因為CN∩MN=N,CN、MN?平面CMN,所以平面CMN//平面PAB。

(2)由(1)知,平面CMN//平面PAB,所以點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離。

題型8：直線與平面的垂直問題

證明直線與平面垂直的四種常用方法:(1)利用線面垂直的判定定理。(2)利用兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直。(3)利用一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,則與另一個平面也垂直。(4)利用面面垂直的性質定理。

例8 如圖12,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E,F分別是點A在PB,PC上的射影。

圖12

給出下列四個結論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC。其中正確結論的序號是____。

解：由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,可得PA⊥BC。因為AB是圓O的直徑,C是圓O上一點,所以BC⊥AC。因為PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC。又AF?平面PAC,所以BC⊥AF,③正確。因為AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC。又PB?平面PBC,所以AF⊥PB,①正確。因為AE⊥PB,AF⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF。又EF?平面AEF,所以PB⊥EF,②正確。因為AF⊥平面PBC,AF∩AE=A,所以AE不與平面PBC垂直,④錯誤。答案為①②③

跟蹤訓練8：如圖13,S是Rt△ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點。

圖13

(1)求證:SD⊥平面ABC。

(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC。

提示：(1)取AB的中點E。 在Rt△ABC中,由D,E分別為AC,AB的中點,可得DE//BC,所以DE⊥AB。

由SA=SB,可得SE⊥AB。因為SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE。又因為SD?平面SDE,所以AB⊥SD。

在△SAC中,由SA=SC,D為AC的中點,可得SD⊥AC。又AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC。

(2)由AB=BC,可得BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC。因為BD?平面ABC,所以SD⊥BD。又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC。

題型9：平面與平面的垂直問題

證明兩個平面垂直,關鍵是尋找其中一個平面內的一條直線與另一個平面垂直,也就是利用線面垂直,得到面面垂直。已知兩個平面垂直,一般要在一個平面內作交線的垂線,轉化為線面垂直,然后進一步轉化為線線垂直。求作空間一點向平面引垂線(段)或求幾何體的高,可利用面面垂直的性質。

例9 如圖14,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則( )。

圖14

A.BM=EN,

且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

解：取CD的中點F,DF的中點G(作法略)。由△ECD是正三角形,可得EF⊥CD。由平面ECD⊥平面ABCD,可得EF⊥平面ABCD,所以EF⊥FN。

提示：如圖15,過點P作PO⊥平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離。

圖15

過O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,則PE⊥AC,PF⊥BC。

題型10：立體幾何中的探索性問題

探索性問題一般可以分為判斷存在型、條件探索型、結論探索型、類比推理型、知識重組型等。立體幾何中的探索性問題一般以判斷存在型為主。這類問題一般的設問方式是“是否存在…,若存在…,若不存在…”。由于沒有一個明確的結論,在沒有經(jīng)過深入分析、嚴格計算和推理論證前其存在性是未知的。

例10 如圖16 所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足____時,平面MBD⊥ 平面PCD。(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)

圖16

解：由四邊形ABCD的各邊都相等,可得AC⊥BD。由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD。因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC。

當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,則PC⊥平面MBD。而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD。

答案為DM⊥PC(或BM⊥PC)。

跟蹤訓練10：如圖17

圖17

所示,一張A4紙的長、寬分別為2 2a、2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點?，F(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體。下列關于該多面體的命題,正確的是____。(寫出所有正確命題的序號)

①該多面體是三棱錐;②平面BAD⊥平面BCD;③平面BAC⊥平面ACD;④該多面體外接球的表面積為5πa2。