例談直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

山東 崔 文

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)和《中國高考評(píng)價(jià)體系》兩個(gè)綱領(lǐng)性文件的發(fā)布，新高考命題逐漸強(qiáng)化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向.《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出六大核心素養(yǎng)，其中直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).史寧中教授認(rèn)為“很多數(shù)學(xué)問題是看出來的，而不是做出來的”，可見直觀想象核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性.直觀想象核心素養(yǎng)得到提升的表現(xiàn)：學(xué)生能夠借助幾何直觀理解問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.本文對(duì)課堂教學(xué)中如何提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)進(jìn)行思考，期待產(chǎn)生共鳴.

一、透過幾何直觀研究題目規(guī)律

借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這是直觀想象核心素養(yǎng)的基本要求.要通過幾何體的結(jié)構(gòu)特征，來確定點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及能夠求出長(zhǎng)度、夾角、距離、面積、體積等幾何量，或者探究軌跡問題等.

【例1】已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

( )

分析：解題時(shí)通常要根據(jù)題目中的描述畫出幾何圖形，但是球與它的內(nèi)接三棱錐幾何作圖相對(duì)復(fù)雜，并且圖形中過多的點(diǎn)與線不利于對(duì)幾何問題的分析.不妨先對(duì)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，辨清數(shù)量關(guān)系，再深入研究組合體的結(jié)構(gòu)特征.

解析：畫出三棱錐如圖，

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)學(xué)生的平面幾何思維和立體幾何思維的綜合考查，是對(duì)解三角形和立體幾何兩大模塊的整合，綜合性較強(qiáng).

分析：根據(jù)已知條件，問題的本質(zhì)是找到平面BCC1B1上的球心D1所對(duì)應(yīng)的圓面，然后分析出截得的圓面在矩形BCC1B1上的弧長(zhǎng)，即為球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是要分析出D1E⊥側(cè)面BCC1B1，從而鎖定截面圓的圓心，逆向利用“球心和小圓圓心的連線垂直于圓面”這個(gè)非常重要的性質(zhì)解答，對(duì)幾何直觀能力要求較高.

在日常教學(xué)中培養(yǎng)幾何思維，最關(guān)鍵的是養(yǎng)成作圖、觀圖、識(shí)圖、用圖的習(xí)慣，注意立體向平面的轉(zhuǎn)化，動(dòng)態(tài)向靜態(tài)的轉(zhuǎn)化，組合體向簡(jiǎn)單幾何體的轉(zhuǎn)化，感性思維向理性思維的轉(zhuǎn)化.要掌握一些常見的數(shù)學(xué)思想方法，如例1中用到模型化的方法，構(gòu)造正方體模型解題，化難為易；例2用到平面化的方法，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.特別注意，有時(shí)需要整合各章知識(shí)，如例1用到解三角形的知識(shí)，考查了勾股定理和余弦定理.知識(shí)交匯是高考命題的趨勢(shì)，考查學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.

二、利用幾何直觀表達(dá)數(shù)學(xué)問題

利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，這是直觀想象核心素養(yǎng)較高層次的要求.我們可以借助幾何圖形來表達(dá)一些代數(shù)問題，賦予其幾何意義，然后通過對(duì)幾何問題的研究使得原來的問題得以解決.這種解題思維在復(fù)數(shù)、向量、函數(shù)等問題中都有廣泛的應(yīng)用.

分析：利用復(fù)數(shù)的向量表示，即從幾何意義的角度考慮，問題會(huì)變得很簡(jiǎn)單.

解析：如圖所示，

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的模可以確定構(gòu)造的三角形的形狀，為解題提供思路.觀察圖形的形狀對(duì)解題幫助很大.

【例4】已知向量a,b的夾角60°，|a|=2， |b|=1，則|a+2b|=________.

點(diǎn)評(píng)：平行四邊形法則和三角形法則使得向量的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，實(shí)現(xiàn)問題的幾何化.

【例5】若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A.eb

B.ea

C.0

D.0

分析：畫出函數(shù)的圖象，對(duì)點(diǎn)(a，b)的位置進(jìn)行分情況討論，即可得到選項(xiàng).

解析：函數(shù)的圖象如圖，分析可知，若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)的圖象的上方，沒有切線；若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)的圖象上，只有一條切線；若點(diǎn)(a，b)在x軸上或者x軸下方，只有一條切線；故點(diǎn)(a，b)在函數(shù)的圖象下方，并且在x軸上方時(shí)，有兩條切線，可知0

點(diǎn)評(píng)：本題采用位置分析的方法，基于對(duì)點(diǎn)(a，b)位置進(jìn)行完全歸納，最后得到點(diǎn)(a，b)位置的不等關(guān)系.

很多數(shù)學(xué)問題本身具備二維性，比如前面舉例的復(fù)數(shù)具有幾何意義，向量可用有向線段表示，函數(shù)可用圖象表示等.這就為問題的解決提供思維發(fā)散的空間，基于圖形分析問題使得解答更加簡(jiǎn)潔.再如解不等式|x-1|+|x-3|>6，或解不等式|x+1|-|x-3|>3，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解出解集，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題向幾何問題的轉(zhuǎn)化.

三、把代數(shù)問題建構(gòu)為幾何模型

建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路，這是直觀想象核心素養(yǎng)的高階思維要求.難點(diǎn)在于合理轉(zhuǎn)化，代數(shù)問題與幾何問題思維相互關(guān)聯(lián)，互為補(bǔ)充，以代數(shù)問題為藍(lán)本創(chuàng)建幾何圖形，以幾何圖形為依托進(jìn)行代數(shù)分析，使得題目得到解答.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)圖象變換和函數(shù)圖象的作圖有較高要求，需要平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練.

【例7】關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：

①f(x)是偶函數(shù);

③f(x)在[-π,π]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn);

④f(x)的最大值為2.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

( )

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

分析：函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|是由基本初等函數(shù)y=sinx復(fù)合而成的函數(shù)，其圖象不能簡(jiǎn)單畫出，但是我們根據(jù)函數(shù)y=sinx的對(duì)稱性，可以把函數(shù)y=sin|x|，y=|sinx|圖象疊加，得到函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|的圖象.

點(diǎn)評(píng)：要注意到正弦的波峰、波谷疊加時(shí)，圖象處于平衡位置.

以上兩題為函數(shù)問題，其思維的產(chǎn)生需要扎實(shí)的能力，豐富的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想的融合.構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，能夠使得很多復(fù)雜的問題思維量降低，解題過程優(yōu)化，進(jìn)而快速得出答案.

四、直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)建議

1.利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，提升數(shù)形結(jié)合的能力.對(duì)平面幾何、立體幾何、函數(shù)、向量、圓錐曲線等的教學(xué)要多用幾何畫板或者GeoGebra輔助，建構(gòu)圖形或者圖象，研究位置關(guān)系，或者探究定點(diǎn)、定值、定長(zhǎng)、定角等問題，拓展學(xué)生思維.也可以采用折紙、實(shí)物演示等方法，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、總結(jié)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

2.積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，助力深度思維的發(fā)生.很多問題有固定的解題模式，如構(gòu)造模型法、圖象變換法、利用幾何意義等，典型的問題要對(duì)其認(rèn)真探究，深入本質(zhì)，歸納題型，在大腦里形成完整的數(shù)學(xué)解題模型.