高考數(shù)學“一題兩空”試題命制的探究與思考

安徽 張 剛

高考數(shù)學填空題一直以來都是高考命題的重要“試驗區(qū)”，特別是近五年(2017年至2021年)，高考招生錄取制度的不斷深化改革，也引發(fā)高考數(shù)學填空題的命題結(jié)構(gòu)、考點內(nèi)容等方面都處在不斷變化和完善當中，“一題兩空”試題就是考查命制技術(shù)創(chuàng)新的形式之一.本文以近五年(2017年至2021年)高考數(shù)學部分填空題為例，探究高考數(shù)學“一題兩空”試題的命制特征、規(guī)律，以便引發(fā)廣大師生的關(guān)注與分析，從而提高高考數(shù)學備考的準確性和實效性.

1.“一題兩空”試題題型功能及考查分析

“一題兩空”試題通過題干給出一個不完整的敘述，讓考生根據(jù)題干要求填寫空缺部分(定量值或者定性條件等)，形成一個正確的命題，填寫的內(nèi)容可以是條件、結(jié)論，也可以是數(shù)值符號、數(shù)量關(guān)系等，考查形式靈活多變，重點考查基本概念、公式定理、基本技能、思想方法等.

“一題兩空”試題與選擇題(包含多選題)同為客觀題，題型的特征與功能都非常突出，比如，試題結(jié)構(gòu)形式簡潔明了，考查知識點針對性強，題干立意特色鮮明；評分客觀、快捷，定量化試題可以采用計算機輔助閱卷系統(tǒng)完成；單個試題知識點總量實行有效控制，適當照顧考查的知識點覆蓋面等.

相比選擇題，“一題兩空”試題既沒有備選項，又沒有運算結(jié)果提示，這樣就避免了信息干擾，也更真實地反映考生數(shù)學解題能力的客觀水平，更顯示出這種題型在考查“四基”方面的優(yōu)勢.相對于解答題而言，由于無法顯示考生解題的具體過程，沒有過程分，一招不慎，滿盤皆輸，會與不會無法區(qū)別，從而也造成考生心理負擔較重，得分率相對較低，區(qū)分度受到影響.因此，填空題，特別是“一題兩空”試題在設置考點數(shù)量和考查知識點深度必須適當控制.比如,解題過程不宜超過3步，解題方法力求通法通解與“秒殺大招”的多樣化，盡可能發(fā)揮“一題兩空”的優(yōu)勢，設立解題“中間過渡區(qū)”，體現(xiàn)局部結(jié)果，彌補部分單空題的不足；還可以增加知識考查的覆蓋面，即一個主題下設立多個答題點，考查更多地基本技能和方法，讓更多地考生能夠“入手較易，分層上岸”；對于難度較大的試題，考生可以實施分步得分，實現(xiàn)考生思維之間的差異，在“送分”的基礎(chǔ)上，提高試題考查的深度，從而豐富命題形式，提高試卷區(qū)分度，更好地實現(xiàn)高考選拔人才的功能.

2.“一題兩空”試題數(shù)量分布及評分標準

縱觀2017至2021年全國各地高考數(shù)學試卷，在試卷整體布局上重在立意，由于沒有選項提示，在試題解法上，填空題直接求解的較多，很多問題的解法不如選擇題有效、準確，解題速度也大大降低.試題設計充分考查考生思維發(fā)生的全過程，同時更加注重解題結(jié)果，但無法顯示考生推理運算等思維的中間過程，實屬遺憾.因此在一張試卷中，填空題的數(shù)量特別是“一題兩空”試題更要充分考慮考生實際，合理安排順序，既不能增加考生過重的心理負擔，也要能顯示合理的區(qū)分度，體現(xiàn)高考選拔的功能.

續(xù)表

從表中可以看出：各省市使用“一題兩空”試題的數(shù)量各不一樣，同一省份不同年份的高考試卷中使用“一題兩空”試題的數(shù)量也有區(qū)別；從試題位置上來看，同樣也是不固定的，根據(jù)題目選材，內(nèi)容等特點靈活設置其位置，命題人一般根據(jù)其素材類型和題目難度預設評估，按照難度的先后順序進行排列，有時與“一題一空”試題交叉出現(xiàn)，有時集中出現(xiàn)，試卷模式打破“八股”模式，年年翻新變化.

雖然，各省市使用“一題兩空”試題在不斷變化，但從上表中還是可以得出一些有價值的信息提示：比如，①近五年北京卷和浙江卷每年“一題兩空”試題的分值設置都是不變的(北京卷每題5分，浙江卷每題6分)；②近五年浙江卷“一題兩空”試題的數(shù)量保持穩(wěn)定(4小題)；③特別值得關(guān)注的是，北京卷“一題兩空”試題的數(shù)量在近兩年有增加的趨勢，甚至在2021年新高考Ⅰ卷和2019年全國卷Ⅱ中出現(xiàn).因此，今后全國高考數(shù)學“一題兩空”試題出現(xiàn)，將是新高考試題改革的一種發(fā)展趨勢，要引起廣大師生的高度重視.

另外，從評分標準設計的角度來看，“一題兩空”試題豐富了試卷的評分模式，各省份根據(jù)“一題兩空”試題的難度區(qū)分、考查目的、功能定位等，每題5分，可以設置前空2分，后空3分，也可以是兩空只對一空得2分，全對得5分.每題6分，可以是兩空只對一空得3分，全對得6分，從而更加客觀全面地考查學生思維水平，充分體現(xiàn)“按勞分配，多勞多得，注重績效”的考查原則.

3.“一題兩空”試題的題型設計示例

在原有“一題一空”試題的基礎(chǔ)上，增加部分“一題兩空”試題，是為了更好地豐富試題考查形式，根據(jù)不同試題的考查標準就會有不同的試題類型設計，當然任何分類都沒有絕對的標準、尺度等.

3.1 考查方向和內(nèi)容

從近五年高考數(shù)學試卷“一題兩空”試題考查的方向和內(nèi)容來看，可以分為概念理解型、公式計算型、圖表分析型等，一般是通過數(shù)學實例或?qū)嶋H生活問題為背景，考查學生對數(shù)學概念公式，原理性質(zhì)的理解與運用是否正確，“一題兩空”試題可以在高考數(shù)學考查的主干知識背景下對考生一個或多個知識點進行考查，突出核心知識的覆蓋面.比如,函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、圓錐曲線與方程、概率與統(tǒng)計等都是“一題兩空”試題考查的重點內(nèi)容，避免考查的知識點單一，覆蓋面小.當然，“一題兩空”試題考查的方向與內(nèi)容也可能更加靈活多樣，總體可以看出，“一題兩空”試題的設計就是為了更好地實現(xiàn)對考生數(shù)學思維水平的有效考查和區(qū)分.從近五年全國各地的高考數(shù)學“一題兩空”試題的考查來看,試題基本立足于重點知識板塊的基礎(chǔ)考查，難度中下等居多，主要檢測考生是否具備一定水平的理解和計算能力，是否具備數(shù)學的基本原理、性質(zhì).“一題兩空”試題一般都是前后考查知識點類似，思維方向水平一致，相互聯(lián)系考查，從而實現(xiàn)題干條件的全部利用，實現(xiàn)考查方向和內(nèi)容的最大化.“一題兩空”試題可以更真實地反映考生的理解水平和思維層次水平.

3.1.1 概念理解型

【例1】(2021·北京卷·2)已知拋物線C:y2=4x，C焦點為F，點M在C上，且|MF|=6,則點M的橫坐標是；作MN⊥x軸于N,則S△FMN=.

分析：本題屬于概念理解型問題，重點考查拋物線的定義及其幾何性質(zhì)等基本概念，計算量比較小，難度不大，突出數(shù)學基本概念的掌握情況，體現(xiàn)出“會即對”的特征.

本題主要根據(jù)拋物線的標準方程可得出C的焦點坐標，并利用拋物線的定義建立方程，最后利用兩點間的距離公式及三角形面積公式求得△FMN的面積.

3.1.2 公式計算型

【例2】(2021·浙江卷·13)已知多項式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，則a1=；a2+a3+a4=.

分析：本題屬于公式計算型問題，學生只要能夠牢記并熟練運用相關(guān)公式，就可以解決問題.

3.1.3 圖表分析型

【例3】(2019·全國卷Ⅱ理·16)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.

圖1

圖2

分析：本題屬于圖表分析型問題，這類問題要求考生有一定的文字閱讀基礎(chǔ)，能夠根據(jù)題目所給的圖形圖表條件，結(jié)合自身已有的知識加以理解，特別是閱讀題中文字量較多，信息量較大，圖表關(guān)系又復雜的新情境問題，試題考查形式也更加靈活多樣，既考查學生通過閱讀提取有效數(shù)據(jù)信息的能力，又考查學生遷移新情境的創(chuàng)新解題能力.如果“一題一空”設計就容易造成題干太大，缺乏應有的“題干擔當”，同時題干信息的利用率也較低.本題主要以數(shù)學金石文化為背景，以新概念“半正多面體”為載體，考查學生的空間想象、推理論證能力.第一問可以按題目所給圖形數(shù)出來，第二問則需在正方體中簡單還原出實體模型的位置，利用對稱性以及平面幾何知識解決．

圖3

類題再現(xiàn)：(2017·北京卷理·14)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i=1,2,3.

①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是；

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是.

參考答案：Q1;p2

3.2 設計結(jié)構(gòu)和層次

從近五年高考數(shù)學試卷“一題兩空”試題設計的結(jié)構(gòu)和層次來看，可以分為并列型、遞進型、綜合型等填空題，一般是通過實例考查學生對數(shù)學概念公式，原理性質(zhì)的理解與綜合運用是否正確，“一題兩空”試題可以在一個主干知識條件下考查學生多個知識點的交匯，使主干知識的考查更加突出，避免考查的知識點淺嘗輒止，流于表面形式.同樣，推理計算、邏輯思維水平，數(shù)學思想方法的檢測也可以通過“一題兩空”試題實現(xiàn)有效區(qū)分和考查.“一題兩空”試題,既有簡單的數(shù)據(jù)計算，也有一定程度的推理，推理型填空題主要通過推理能力的訓練與考查，檢測學生是否具備一定層次水平的推理能力，是否具備掌握相關(guān)數(shù)學基本原理、性質(zhì).“一題兩空”試題一般都是前基礎(chǔ)后延伸，前特殊后一般，前后關(guān)聯(lián)，從而步步推進，通過所給的“材料作文”，進行現(xiàn)場定時完成，“一題兩空”試題可以更真實地反映考生的閱讀理解水平以及思維層次水平的劃分.

3.2.1 并列型

【例4】(2020·浙江卷·13)已知tanθ=2，則cos2θ=

分析：本題屬于并列型問題，2個問題屬于同一題干，但解決時并沒有因果關(guān)系，可以獨立完成，互不影響，試題難度也是同一水平.主要考查三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，落實數(shù)學運算核心素養(yǎng).

因為tanθ=2，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ

類題再現(xiàn)：(2017·浙江卷·12)已知a，b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)，則a2+b2=，ab=.

參考答案：5；2

3.2.2 遞進型

分析：本題屬于遞進型問題，主要考查平面向量的線性運算，落實直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).其中，第2空的解決要深入挖掘題目所給的隱含條件，有時還會依賴第1空的解題思路或結(jié)果來處理.

由題意得AD∥BC，∠BAD=120,由得因此取MN的中點E，連接DE,則

3.2.3 綜合型

【例6】(2019·北京卷理·13)設函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

分析：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及導函數(shù)中含參數(shù)的恒成立問題，本題屬于綜合性考查學生的基本概念.雖然兩個問題沒有因果關(guān)系，可以獨立求解，但是難度上卻依次遞增，且綜合性強.

因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，借助奇函數(shù)的性質(zhì)可知，所以f(0)=0，即e0+ae0=0，解得a=-1；由f(x)=ex+ae-x是R上的增函數(shù)知f′(x)=ex-ae-x≥0，通過分離參變量可得，即a≤e2x對?x∈R恒成立，因為e2x>0，所以a≤0.

參考答案：(1,4)；(1,3]∪(4，+∞)

4.結(jié)語