馬永斌, 張建敏

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

經(jīng)典熱彈性理論認(rèn)為熱波的傳播速度是無限的，但后來的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這與物理事實(shí)不符，為解決這一問題，學(xué)者們發(fā)展了廣義的熱彈性理論.目前廣泛應(yīng)用的是Lord-Shulman[1](L-S)廣義熱彈性理論和Green-Lindsay[2](G-L)廣義熱彈性理論.基于廣義熱彈性理論，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究工作.自從Abel開始運(yùn)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)求解等時(shí)曲線問題中積分方程的解之后，分?jǐn)?shù)階微積分便被用來修正很多現(xiàn)有的物理模型，尤其是在粘彈性、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域.對于許多材料及物理過程，例如生物材料、低溫過程等，在此情形下經(jīng)典理論和廣義熱彈性難以準(zhǔn)確描述其熱彈性行為.因此將分?jǐn)?shù)階微積分引入廣義熱彈性理論十分必要.Sherief等[3]在L-S理論的基礎(chǔ)上加入Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，提出一種新的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論，建立一種新的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性耦合理論.何天虎等[4]基于Sherief等提出的分?jǐn)?shù)階熱彈性理論對無限長圓柱導(dǎo)體模型研究了其廣義電磁熱彈耦合問題的動態(tài)響應(yīng).Sherief等[5]在廣義熱彈性擴(kuò)散理論的基礎(chǔ)上，采用拉氏變換和傅里葉變換研究了厚板受到熱沖擊和化學(xué)擴(kuò)散的邊界問題.劉澤權(quán)[6]基于該理論研究了二維纖維增強(qiáng)彈性體受熱沖擊載荷的電磁熱彈耦合問題.馬永斌等[7]基于分?jǐn)?shù)階熱彈性理論，研究了含有球型空腔無限大體的熱沖擊動態(tài)響應(yīng).

Youssef等[8]將Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子引入廣義熱傳導(dǎo)方程，得到新的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性耦合理論.Sarkar等[9]基于Youssef等提出的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性耦合理論研究了各向同性旋轉(zhuǎn)彈性介質(zhì)熱彈性耦合問題，運(yùn)用正則模態(tài)法分析了不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下介質(zhì)內(nèi)場的變化.Youssef等[10]建立具有分?jǐn)?shù)階應(yīng)變的三維廣義熱彈性模型，分析了不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下介質(zhì)內(nèi)各物理場的變化.Sunita等[11]基于Youssef等提出的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性耦合理論，研究了均勻各向同性彈性介質(zhì)在雙溫及磁場作用下的物理場分布，得到位移、應(yīng)力、溫度、應(yīng)變的表達(dá)式.

Ezzat等[12]在考慮分?jǐn)?shù)階雙相滯后熱傳導(dǎo)規(guī)律的基礎(chǔ)上，建立了一種新的雙溫磁熱彈性數(shù)學(xué)模型，建立另一種分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性耦合理論.Ezzat等[13]在熱傳導(dǎo)的背景下考慮記憶依賴效應(yīng)，建立了電熱彈性耦合的數(shù)學(xué)模型，并將計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典耦合理論的結(jié)果進(jìn)行了比較.Kumar等[14]基于該分?jǐn)?shù)階熱彈性理論，研究了雙溫條件下平面波在熱彈性介質(zhì)邊界的反射，得到入射角度不同情況下反射波的振幅變化.Magdy等[15]在上述分?jǐn)?shù)階理論基礎(chǔ)上，考慮熱傳導(dǎo)與記憶依賴效應(yīng)，建立新的磁熱彈性理論模型，并與經(jīng)典耦合理論進(jìn)行比較.

學(xué)者們對于熱彈性材料的研究多是基于各向同性的材料進(jìn)行的，然而隨著壓電材料的廣泛應(yīng)用以及其不同于各向同性材料的材料特性，學(xué)者們大量研究了壓電材料的熱彈性行為.Chandrasekharaiah[16]首次提出了壓電介質(zhì)的熱彈性理論，并且得出能量方程中解的唯一性.Noda等[17]提出了壓電復(fù)合材料板的彎曲行為理論，并且基于壓電效應(yīng)和熱電效應(yīng)的經(jīng)典疊層理論，給出了求解方法.El-karamany等[18]提出了壓電介質(zhì)的廣義線性熱彈性模型.Singh[19]基于G-L理論建立了廣義熱彈性壓電材料的控制方程，研究了壓電介質(zhì)中的波傳播問題.

然而，目前對于壓電材料的研究大多忽略材料的重力作用，對于壓電材料，考慮重力的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論的研究尚不多見.本文基于Ezzat等[12]建立的分?jǐn)?shù)階熱彈性耦合理論，考慮電場，研究壓電材料特性參數(shù)與溫度相關(guān)的空間半無限大體同時(shí)受應(yīng)力沖擊和熱沖擊作用的熱彈響應(yīng)問題，彌補(bǔ)壓電材料對考慮重力方面研究的不足.

1 基本方程

本文采用均勻各向異性熱彈性壓電介質(zhì)，建立半無限大體模型，z軸方向與介質(zhì)平面垂直.介質(zhì)中所有的場量都用坐標(biāo)x，z和時(shí)間t表示.各向異性熱彈性介質(zhì)的基本方程在下面給出.

1) 運(yùn)動方程[20]

(1)

式中：σij表示應(yīng)力；ui表示位移分量；ρ表示物質(zhì)密度；Fi表示體力分量.

2) 靜電方程(高斯方程)

Di,i=0

(2)

3) 熱傳導(dǎo)方程[12]

(3)

式中：Kij是熱傳導(dǎo)系數(shù)；θ=T-T0為溫度增量；T為溫度；T0為初始溫度；Ce為恒應(yīng)變比熱；γij為熱模量；τ0為熱松弛時(shí)間.

4) 本構(gòu)方程

壓電材料的本構(gòu)方程表示為

σij=cijklεkl-eijkEk-γijθ

Di=eijkεjk+υijEi+piθ

(4)

式中：cijkl為彈性常數(shù)；eijk為壓電系數(shù)；Ei表示電場強(qiáng)度；υij表示介電常數(shù)；Pi表示熱電常數(shù).

位移應(yīng)變關(guān)系及電場電勢函數(shù)關(guān)系

(5)

式(1～5)中，逗號后面加后綴表示對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，上面加點(diǎn)表示對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).

2 問題描述

對于半無限大空間模型，上述本構(gòu)方程轉(zhuǎn)化如下：

對于半空間問題，所有的變量都依賴于時(shí)間t和坐標(biāo)x,z.對于二維問題，假設(shè)位移向量的分量形式如下：

u1=u(x,z,t),u2=0,u3=w(x,z,t)

(8)

則由運(yùn)動方程(1)可以得到

(9)

式中:g為重力加速度，由式(2)和式(7)得

(10)

定義如下的無量綱變量

(11)

式中

將方程(3,9,10)根據(jù)方程(11)進(jìn)行無量綱化.除特別說明外，以下討論均采用無量綱量，并略去“′”.

(12)

(13)

(14)

(15)

式中

(16)

本構(gòu)方程(6,7)無量綱表達(dá)形式如下：

(17)

(18)

3 正則模態(tài)法

計(jì)算中所涉及的物理變量的解可以按照正則模態(tài)法表示

{θ,u,w,φ}(x,z,t)={θ*,u*,w*,φ*}(z)e(iξx+ωt)

(19)

利用式(19)，式(12～15)可表示為

(D2+A1)u*+(A2D+A3)w*+

A4Dφ*+A5θ*=0

(20)

(A6D+A7)u*+(D2+A8)w*+

(A9D2+A10)φ*+A11Dθ*=0

(21)

A12Du*+(A13D2+A14)w*+

(D2+A15)φ*+A16Dθ*=0

(22)

A17u*+A18Dw*+(A19+D2)θ*=0

(23)

式中

(24)

式中

(25)

消去方程(20～23)中u*,w*,θ*,φ*的任意三個函數(shù)，得到

(26)

式(26)中的Bj(j=0,1,2,3)的取值如下：

B0=(A1A8A15A19-A1A10A14A19-

A3A7A15A19-A5A8A15A17+

A5A10A14A17)/(1-A9A13)

B1=(A1A8A15-A1A10A14-A3A7A15+

A1A8A19-A3A7A19-A5A8A17+

A1A15A19-A5A15A17+A8A15A19-

A10A14A19-A2A6A15A19-A1A9A14A19-

A1A10A13A19+A2A10A12A19+

A4A6A14A19-A4A8A12A19+A5A6A15A18+

A1A10A16A18-A1A11A15A18-

A2A10A16A17+A2A11A15A17+

A4A8A16A17+A5A9A14A17-A5A10A12A18+

A5A10A13A17-A4A11A14A17)/(1-A9A13)

B2=(A1A8-A3A7+A1A15+A1A19-A5A17+A8A15-A10A14+A8A19+A15A19-

A2A6A15-A1A9A14-A1A10A13+

A2A10A12+A4A6A14-A4A8A12-

A2A6A19+A5A6A18-A1A11A18+

A2A11A17-A4A12A19+A4A16A17-

A9A14A19-A10A13A19+A10A16A18-

A11A15A18-A1A9A13A19+A2A9A12A19+

A4A6A13A19+A1A9A16A18-A2A9A16A17-A4A6A16A18-A5A9A12A18+A5A9A13A17+A4A11A12A18-A4A11A13A17)/(1-A9A13)

B3=(A1+A8+A15+A19-A2A6-A4A12-

A9A14-A10A13-A11A18-A1A9A13+

A2A9A12+A4A6A13-A9A13A19+

A9A16A18)/(1-A9A13)

當(dāng)z→∞時(shí)，式(26)的解如下:

{u*(z),w*(z),θ*(z),φ*(z)}=

(27)

m8+B3m4+B2m4+B1m2+B0=0

(28)

將式(27)代入式(20～22)，得到以下關(guān)系

(29)

式中

(30)

可以得到

(31)

將式(31)代入式(17,18)得到的應(yīng)力和電位移的表達(dá)式

(32)

(33)

4 邊界條件

4.1 應(yīng)力邊界條件

假設(shè)只產(chǎn)生正應(yīng)力大小為σ0(不含切應(yīng)力)，則有

σ13(x,0,t)=0，σ33(x,0,t)=-σ0e(iξx+ωt)

(34)

4.2 熱力學(xué)邊界條件

在表面z=0，θ對z的一階導(dǎo)數(shù)為零.因此有

θ(x,0,t)=θ0e(iξx+ωt)

(35)

4.3 電場條件

在z=0時(shí)，電場強(qiáng)度為零，因此有

(36)

(41)

因此，所涉及的場變量，如溫度、位移、電勢、應(yīng)力和電位移的變化趨勢均可用圖形的形式反映出來.

5 數(shù)值結(jié)果及分析

計(jì)算中，半空間無限大壓電介質(zhì)采用材料特性參數(shù)如下：

c11=7.41×1010N/m2
c13=3.93×1010N/m2
c33=8.36×1010N/m2
c55=1.32×1010N/m2
ρ=5 504kg/m3,Ce=260J/(kg·K)
T0=298 K-1,K1=K3=9 W/(m·K)
γ1=6.21×105N/(m2·K)
γ3=5.51×105N/(m2·K)
e31=-0.160C/m2,e33=0.347C/m2
e15=-0.138C/m2
υ11=8.26×10-11C2/(N·m2)
υ33=9.03×10-11C2/(N·m2)
p3=-2.94×10-6C/(m2·K)

圖1～圖6給出了x=1,g=0，考慮三個不同的r(r=0.50,r=0.75，r=1.00)值，位移、溫度、應(yīng)力和電勢沿z軸的變化.

圖1顯示水平位移u始終為正值，在z≈0.1處取得峰值，隨著位置遠(yuǎn)離邊界水平位移也相應(yīng)減少，最終趨向于零.分?jǐn)?shù)階參數(shù)取不同值時(shí)，對位移u的影響不大.圖2顯示無量綱位移w沿z軸的分布情況.位移w在邊界處取得最大值，隨著位置遠(yuǎn)離邊界而減少，最終趨向于零.相對于位移u，分?jǐn)?shù)階參數(shù)取不同值對位移w的影響不大，這主要是熱彈性材料在兩個方向上的材料性質(zhì)不同造成的.

圖1 r取不同值,位移u在z軸上的分布(g=0) Fig.1 Distribution of dimensionless displacement u on z-axis at different r(g=0)

圖2 r取不同值,位移w在z軸上的分布(g=0) Fig.2 Distribution of dimensionless displacement w on z-axis at different r(g=0)

圖3顯示溫度θ在z≈0.5處達(dá)到峰值，然后隨著z軸遠(yuǎn)離熱源而降低，最終收斂于零.隨著分?jǐn)?shù)階參數(shù)的增加，計(jì)算得到的溫度的峰值也增加.圖4顯示應(yīng)力σ11滿足邊界條件，在z≈0.5的位置達(dá)到峰值(同時(shí)也靠近溫度最高的位置)，溫度對應(yīng)力σ11有較大影響.應(yīng)力σ11隨著z取值增加呈上升趨勢，最終收斂于零.分?jǐn)?shù)階參數(shù)增加，計(jì)算得到的應(yīng)力σ11峰值的絕對值增加.

圖3 r取不同值,溫度θ在z軸上的分布(g=0)

圖4 r取不同值,應(yīng)力σ11在z軸上的分布(g=0) Fig.4 Distribution of dimensionless stress σ11 on z-axis at different r (g=0)

圖5顯示無量綱應(yīng)力σ13滿足邊界條件，在z≈0.25處達(dá)到最小值，隨著z取值增加，應(yīng)力σ13的值增加，最終趨向于零.分?jǐn)?shù)階參數(shù)取不同值時(shí)，對應(yīng)力σ13的影響不大.圖6顯示無量綱電位移D1沿z軸分布情況，電位移D1在邊界處絕對值最大，隨著z取值遠(yuǎn)離邊界，電位移D1的值增加，最終趨向于零，不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)對應(yīng)的電位移D1的值相差不大.

圖5 r取不同值,應(yīng)力σ13在z軸上的分布(g=0) Fig.5 Distribution of dimensionless stress σ13 on z-axis at different r(g=0)

從圖1～圖6可以看出，物理量的變化不僅依賴于空間，還依賴于分?jǐn)?shù)階參數(shù)，隨著z值的增加，各物理量呈下降趨勢，最終收斂于零.這表明在該模型中，x方向坐標(biāo)值不變，z坐標(biāo)值越大的位置，熱沖擊對各物理量的影響越小.

圖6 r取不同值,電位移D1在z軸上的分布(g=0)Fig.6 Distribution of dimensionless electric displacement D1 on z-axis at different r(g=0)

圖7～圖12給出了x=1,g=9.8時(shí)，考慮三個不同的r(r=0.50,r=0.75，r=1.00)值，位移、溫度、應(yīng)力和電勢沿z軸的變化.

圖7～圖12繪制了在重力作用下，位移u和w、溫度θ、應(yīng)力σ11和σ13、電位移D1六個物理量沿z軸的分布情況.圖7顯示水平位移u始終為正值，并且在邊界處取得最大值，隨著z軸遠(yuǎn)離邊界，位移

圖7 r取不同值,位移u在z軸上的分布(g=9.8) Fig.7 Distribution of dimensionless displacement u on z-axis at different r(g=9.8)

u逐漸減小，最終趨向于零.在邊界處分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小預(yù)測的位移值結(jié)果越大.在遠(yuǎn)離邊界處，分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小預(yù)測的位移值結(jié)果越小.同時(shí)對比圖1發(fā)現(xiàn)，重力影響位移u的分布趨勢以及在邊界上的數(shù)值.圖8顯示位移w沿z軸的分布，其分布趨勢與位移u相似，在邊界處取得最大值，隨著z軸遠(yuǎn)離邊界，位移值逐漸減小，最終趨向于零，同樣在邊界處分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小預(yù)測的位移值越大，在遠(yuǎn)離邊界處，分?jǐn)?shù)階參數(shù)值越小，預(yù)測的位移值越小.位移w在邊界處的數(shù)值不同于位移u，原因是各向異性材料在兩個方向上的材料參數(shù)不同.對比圖2發(fā)現(xiàn)，重力影響位移w的分布趨勢以及在邊界上的數(shù)值.

圖8 r取不同值,位移w在z軸上的分布(g=9.8)

圖9顯示不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下，溫度θ沿z軸的分布情況.由圖可知隨著z軸遠(yuǎn)離邊界，溫度先逐漸升高后逐漸降低，最終趨向于零.在相同位置，分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小，預(yù)測的溫度數(shù)值越小.對比圖3發(fā)現(xiàn)重力對溫度的影響較小.圖10顯示不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下，應(yīng)力σ11沿z軸的分布.由圖可知，應(yīng)力σ11的分布先逐漸減小，后逐漸增大，最終趨向于零；分?jǐn)?shù)階參數(shù)越大，預(yù)測的σ11的最小值越小.對比圖4，可知重力影響其大小及走勢.

圖9 r取不同值,溫度θ在z軸上的分布(g=9.8)Fig.9 Distribution of dimensionless temperature θ on z-axis at different r(g=9.8)

圖10 r取不同值,應(yīng)力σ11在z軸上的分布(g=9.8)Fig.10 Distribution of dimensionless stress σ11 on z-axis at different r(g=9.8)

圖11顯示不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下，應(yīng)力σ13沿z軸的分布.由圖可知，在邊界上應(yīng)力σ13為零，表明在邊界處不存在切應(yīng)力，隨著z軸遠(yuǎn)離邊界，σ13呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，最終趨向于零.分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小，預(yù)測的最小值也越小，對比圖5可知，重力影響應(yīng)力σ13的分布，但最終都趨向于零.圖12顯示不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)下，電位移D1沿z軸的分布.由圖可知電位移D1在邊界處取得最小值，隨著z軸遠(yuǎn)離邊界，D1逐漸增加，最終趨向于零.在z軸的相同位置，分?jǐn)?shù)階參數(shù)越小，預(yù)測的電位移D1的值越大，與圖6對比發(fā)現(xiàn)，重力影響電位移D1的分布趨勢.

圖11 r取不同值,應(yīng)力σ13在z軸上的分布(g=9.8)Fig.11 Distribution of dimensionless stress σ13 on z-axis at different r(g=9.8)

從圖7～圖12可以看出，物理量的變化與空間位置和分?jǐn)?shù)階參數(shù)有關(guān)，同時(shí)還與重力參數(shù)有關(guān).結(jié)果表明，重力對熱彈性波的影響是不同的，重力影響各物理量的峰值，但是不影響其走勢，各物理量最終都收斂于零.表明在該模型中，x方向坐標(biāo)值不變，z坐標(biāo)值越大的位置，熱沖擊對各物理量的影響越小.

圖13～圖18給出了g=0,r=0.5時(shí),考慮三個不同的x值(x=1.0,x=1.2，x=1.4)，位移、溫度、應(yīng)力和電勢在z軸上的變化.

圖12 r取不同值,電位移D1在z軸上的分布(g=9.8)Fig.12 Distribution of dimensionless electric displacement D1 on z-axis at different r(g=9.8)

圖13 x取不同值,位移u在z軸上的分布(g=0)Fig.13 Distribution of dimensionless displacement u on z-axis at different x(g=0)

從圖13～圖18可以看出，隨著x的變化，各無量綱物理量發(fā)生變化.圖13顯示x取不同值，無量綱位移u沿z軸分布情況.當(dāng)x取不同值時(shí)，位移u都在邊界(z=0)上取得最大值.圖中顯示當(dāng)x=1.4，位移u的峰值最大，隨著z取值增加，位移u的值平穩(wěn)下降，最終趨向于零.圖14顯示無量綱位移w沿著z軸分布情況.在固定平面(z取值相同時(shí))，隨著x取值增加，位移w的值減小.在x取值不變，位移w隨著z的值增加逐漸下降，最終趨向于零.

圖14 x取不同值,位移w在z軸上的分布(g=0)Fig.14 Distribution of dimensionless displacement w on z-axis at different x(g=0)

圖15顯示x取不同值，無量綱溫度θ沿z軸分布情況.溫度在邊界z≈0.2處取得最大值，隨著z取值增加，逐漸減小，最終收斂到零.溫度場量在x方向存在波動，在x=1.4對應(yīng)的溫度θ小于x=1.0對應(yīng)的溫度.圖16顯示x取值增加，應(yīng)力σ11在0≤z≤2范圍內(nèi)的取值也隨之增加.應(yīng)力σ11在邊界處取得最大值，隨著豎向距離z的增加，逐漸減小，最終收斂到零.

圖15 x取不同值,溫度θ在z軸上的分布(g=0)

圖16 x取不同值,應(yīng)力σ11在z軸上的分布(g=0)Fig.16 Distribution of dimensionless stress σ11 on z-axis at different x(g=0)

圖17顯示應(yīng)力σ13在邊界處的值為零，滿足邊界條件，在z≈0.25處的絕對值達(dá)到最大.圖中顯示x取值增加，應(yīng)力σ13的峰值增加，隨著豎向距離z的增加，逐漸減小，最終收斂到零.圖18顯示電位移D1始終為負(fù)值，在z=0處絕對值取得最大值.圖中顯示在z取值靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處，x取值的變化對電位移有顯著影響.隨著z的增加，電位移逐漸增加，最終收斂于零.

圖17 x取不同值,應(yīng)力σ13在z軸上的分布(g=0)Fig.17 Distribution of dimensionless stress σ13 on z-axis at different x(g=0)

圖18 x取不同值,電位移D1在z軸上的分布(g=0)Fig.18 Distribution of dimensionless electric displacement D1 on z-axis at different x(g=0)

取g=0,r=0.5,z=1.0,對軸上的兩個固定位置(x=1.0和x=1.4)進(jìn)行了計(jì)算，得到了無量綱位移u，w和無量綱應(yīng)力σ11隨時(shí)間的分布規(guī)律，如圖19～圖21所示.

圖19 x取不同值,無量綱位移u隨時(shí)間t的變化Fig.19 Change of dimensionless displacement u with time t at different x

圖20 x取不同值,無量綱位移w隨t的變化

圖21 x取不同值，無量綱應(yīng)力σ11隨時(shí)間t的變化Fig.21 Change of dimensionless stress σ11 with time t at different x

圖19顯示兩個固定位置的水平位移從零開始，隨著時(shí)間的增加而平穩(wěn)增加.圖20顯示了兩個固定位置的豎直位移w隨時(shí)間的變化.圖中顯示每個固定位置的位移w從零開始，隨著時(shí)間的增加逐漸減小.位移u和w在同一位置的表現(xiàn)不同，是因?yàn)闊釓椥泽w在兩個方向上抵抗變形的能力不同.對于不同點(diǎn)達(dá)到相同位移所需的時(shí)間也是不同的，距離熱源越遠(yuǎn)，膨脹變形所需的時(shí)間越長.距離熱源越遠(yuǎn)，相應(yīng)位置的位移絕對值越小.這能夠反映出熱彈波是以有限速度傳播的.

圖21顯示應(yīng)力分量σ11隨時(shí)間的分布.結(jié)果表明在t≥2.5的范圍內(nèi)，x=1.0位置的應(yīng)力和梯度大于x=1.4位置的應(yīng)力和梯度，但是在時(shí)間上的分布趨勢是相同的.

6 結(jié)論

本文基于分?jǐn)?shù)階熱彈性理論，研究了半無限大體受到熱沖擊和應(yīng)力沖擊時(shí)的動態(tài)響應(yīng)，結(jié)果顯示，重力對各物理量的預(yù)測結(jié)果有顯著影響.由所得結(jié)果，可得出如下結(jié)論：

1) 在不考慮重力情況下，不同分?jǐn)?shù)階參數(shù)對應(yīng)的溫度、應(yīng)力、位移、電位移的峰值不同.這說明彈性體的位移、應(yīng)力、溫度、電位移不止與時(shí)間t、空間變量x,z有關(guān)，還與分?jǐn)?shù)階參數(shù)有關(guān).

2) 重力的存在增加了位移u、w，應(yīng)力σ11、σ13和電位移D1的波動性.重力對各物理量的峰值有影響，因此重力在該模型中的存在具有重要意義.

3) 計(jì)算結(jié)果表明，位移u,w的走勢不同，是因?yàn)樵摕釓椥泽w模型在兩個方向上的力學(xué)性質(zhì)不同.

4) 固定位置的位移u,w，應(yīng)力σ11隨時(shí)間t的不同，說明熱波的傳播速度是有限的.

5) 隨著豎向坐標(biāo)z的增加，各物理量都收斂于零，各物理量都是連續(xù)的.