如何正確運(yùn)用方差分析
——拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029

拉丁方設(shè)計(jì)是考察一個(gè)試驗(yàn)因素和兩個(gè)非試驗(yàn)因素對(duì)定量觀測(cè)結(jié)果影響的一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。本文將介紹該設(shè)計(jì)類型的要點(diǎn)、定量資料一元方差分析的計(jì)算公式，以及基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的方法。

1 拉丁方設(shè)計(jì)的要點(diǎn)

1.1 概述

當(dāng)試驗(yàn)中涉及一個(gè)試驗(yàn)因素，還涉及兩個(gè)區(qū)組因素（通常包括個(gè)體因素和時(shí)期因素），若它們之間的交互作用不存在或可以忽略不計(jì)，一種節(jié)省樣本含量的設(shè)計(jì)方法為拉丁方設(shè)計(jì)。根據(jù)試驗(yàn)因素的個(gè)數(shù)和水平數(shù)，可將拉丁方設(shè)計(jì)分為一般拉丁方設(shè)計(jì)（簡(jiǎn)稱拉丁方設(shè)計(jì)）［1-2］和希臘拉丁方設(shè)計(jì)［3］或正交拉丁方設(shè)計(jì)［4］；還可以按“單個(gè)體型區(qū)組因素”與“多個(gè)體型區(qū)組因素”和有無(wú)重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)一步劃分拉丁方設(shè)計(jì)類型。這些細(xì)分的拉丁方設(shè)計(jì)的區(qū)別主要體現(xiàn)在“實(shí)用性（例如，單個(gè)體型區(qū)組因素且無(wú)重復(fù)試驗(yàn)，可以最大限度減少樣本含量，反之亦然）”與“分析結(jié)果的精確度（例如，當(dāng)不同時(shí)期測(cè)量結(jié)果存在攜帶效應(yīng)時(shí)［5］，基于常規(guī)方差分析模型計(jì)算得到的結(jié)果不夠精確）”兩方面。

1.2 單個(gè)體型無(wú)重復(fù)試驗(yàn)5×5拉丁方設(shè)計(jì)

【例1】為了比較五種防護(hù)服對(duì)脈搏數(shù)的影響，擬選擇五名受試者在五個(gè)不同日期進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)和定量觀測(cè)結(jié)果見(jiàn)表1［6］。試分析五種防護(hù)服對(duì)脈搏數(shù)影響之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表1 穿五種防護(hù)服測(cè)得的脈搏數(shù)（次/分）

防護(hù)服種類是一個(gè)試驗(yàn)因素，它有5個(gè)水平，即A、B、C、D、E；試驗(yàn)日期和受試者是兩個(gè)區(qū)組因素；試驗(yàn)因素的5個(gè)水平隨機(jī)排列成5×5的拉丁方陣（注：最初人們采用拉丁字母而不是英文字母）的形式，假定三個(gè)因素之間的交互作用可以忽略不計(jì)。這樣的試驗(yàn)安排被稱為拉丁方設(shè)計(jì)。

1.3 單個(gè)體型有重復(fù)試驗(yàn)3×3拉丁方設(shè)計(jì)

【例2】為了研究三種飼料對(duì)奶牛產(chǎn)奶量的影響，擬選擇6只奶牛進(jìn)行試驗(yàn)，每只奶牛在三個(gè)時(shí)期被隨機(jī)喂養(yǎng)三種飼料。試驗(yàn)設(shè)計(jì)和定量觀測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2［5］。試分析三種飼料喂養(yǎng)的奶牛產(chǎn)奶量之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

飼料種類是一個(gè)試驗(yàn)因素，它有A、B、C3個(gè)水平；觀測(cè)時(shí)期和奶牛編號(hào)是兩個(gè)區(qū)組因素；試驗(yàn)因素的3個(gè)水平隨機(jī)排列成3×3的拉丁方陣形式（見(jiàn)表2前3行），假定三個(gè)因素之間的交互作用可以忽略不計(jì)，這樣的試驗(yàn)安排被稱為拉丁方設(shè)計(jì)。為了提高試驗(yàn)結(jié)果的精確度，再選擇3只奶牛，采用類似的設(shè)計(jì)，但拉丁方陣需要重新排列，見(jiàn)表2的后3行。這就形成了單個(gè)體型且有兩次重復(fù)試驗(yàn)的3×3拉丁方設(shè)計(jì)。

表2 三種飼料喂養(yǎng)的奶牛產(chǎn)奶量的觀測(cè)結(jié)果

1.4 多個(gè)體型無(wú)重復(fù)試驗(yàn)7×7拉丁方設(shè)計(jì)

【例3】為比較7種藥液（分別為A、B、C、D、E、F、G）的作用強(qiáng)度，用7個(gè)離體腸管標(biāo)本進(jìn)行試驗(yàn)。將它們中的每一個(gè)視為一個(gè)區(qū)組，再將每個(gè)區(qū)組內(nèi)的腸管均分成7份，隨機(jī)接受7種藥液的處理，然后測(cè)定作用強(qiáng)度的大小。試驗(yàn)設(shè)計(jì)和結(jié)果見(jiàn)表3［7］。試分析7種藥液的平均作用強(qiáng)度之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表3 7種藥液作用強(qiáng)度的測(cè)定結(jié)果

2 拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式

拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式見(jiàn)表 3［3，5］。

表3 r×r拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析表

3 拉丁方設(shè)計(jì)一元定量資料的實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 對(duì)例1的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例1資料所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分輸出結(jié)果表明：方差分析的模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=6.80，P=0.001 1）。

以上第二部分輸出結(jié)果表明：僅受試者脈搏數(shù)的均值之間的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，這意味著個(gè)體之間的差別比較大；而不同防護(hù)服對(duì)受試者脈搏數(shù)影響之間的差別不明顯。

以上輸出的是各種防護(hù)服所對(duì)應(yīng)的脈搏數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。C、E、A三種防護(hù)服對(duì)應(yīng)的均值稍高一點(diǎn)。

因?yàn)檠芯空哧P(guān)心的是防護(hù)服對(duì)脈搏數(shù)的影響情況，故不必要將兩個(gè)無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的因素（因?yàn)槠渲邪嗽囼?yàn)因素：防護(hù)服種類）刪除掉，采用單因素5水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析來(lái)處理受試者因素。

3.2 對(duì)例2的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例2資料所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分輸出結(jié)果表明：方差分析的模型有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=21.07，P=0.000 1）。

以上第二部分輸出結(jié)果表明：飼料種類（diet）、奶牛個(gè)體（cow）和觀測(cè)時(shí)期（time）三個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

以上輸出的是三種飼料所對(duì)應(yīng)的奶牛產(chǎn)奶量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果顯示：飼料C所對(duì)應(yīng)的均值（72.67）最大，飼料B所對(duì)應(yīng)的均值（57.50）次之，飼料A所對(duì)應(yīng)的均值（45.17）最小。它們之間兩兩比較的結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 基于TUKEY法對(duì)飼料種類三個(gè)水平下均值進(jìn)行兩兩比較

由圖1可看出：飼料C與飼料B的均值差別無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，飼料B與飼料A的均值差別無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；但飼料C與飼料A的均值差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。由于TUKEY法控制的是最大試驗(yàn)誤差率［1，7］，所以，兩兩比較的結(jié)果顯得差別不夠明顯。若采用LSD法進(jìn)行兩兩比較，所得結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 基于LSD法對(duì)飼料種類三個(gè)水平下均值進(jìn)行兩兩比較

由圖2可看出：飼料C與飼料B、飼料A的均值之間差別都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因?yàn)長(zhǎng)SD法控制的是比較誤差率（要求放寬松了）［1，8］。

3.3 對(duì)例3的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例3資料所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分輸出結(jié)果表明：7種藥液對(duì)應(yīng)的作用強(qiáng)度均值之間的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=14.21，P＜0.000 1），而標(biāo)本的均值之間、測(cè)定次序的均值之間的差別均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

將7×7拉丁方設(shè)計(jì)視為單因素（特指“藥液種類”）7水平設(shè)計(jì)，重新對(duì)資料進(jìn)行方差分析（見(jiàn)前文SAS程序的第2個(gè)過(guò)程步）。以上第二部分輸出結(jié)果表明：7種藥液的作用強(qiáng)度的均值之間差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=12.60，P＜0.000 1），不同藥液的作用強(qiáng)度是不盡相同的，具體兩兩比較的結(jié)果見(jiàn)圖3。

由圖3可看出：藥液B的作用強(qiáng)度最強(qiáng)，其均值為17.43，此均值與其他6個(gè)均值之間的差別均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；藥液A的作用強(qiáng)度明顯低于藥液B，其均值為7.86，此均值與藥液C的均值之間差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而與其他均值差別均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

圖3 基于TUKEY法對(duì)藥液種類7個(gè)水平下均值進(jìn)行兩兩比較

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

在本文例3中，若每行上的試驗(yàn)是在同一離體腸管標(biāo)本上進(jìn)行7次重復(fù)試驗(yàn)，就屬于單個(gè)體型區(qū)組因素的7×7拉丁方設(shè)計(jì)，這樣從第2個(gè)時(shí)間點(diǎn)到第7個(gè)時(shí)間點(diǎn)上觀測(cè)的結(jié)果都會(huì)受到之前各時(shí)間點(diǎn)上所接受處理的影響，結(jié)果的準(zhǔn)確性就會(huì)降低。

在本文例2中，若第2個(gè)拉丁方設(shè)計(jì)不是“重復(fù)試驗(yàn)”，而是第2個(gè)試驗(yàn)因素3個(gè)水平（設(shè)為α、β、γ）的隨機(jī)排列出來(lái)的3×3方陣，被稱為“希臘拉丁方設(shè)計(jì)”［3］，其含義是兩個(gè)試驗(yàn)因素的水平分別用“拉丁字母”和“希臘字母”來(lái)表示。并且，用這兩種字母排列成的兩個(gè)3×3方陣彼此之間是互相正交的。因此，這種拉丁方設(shè)計(jì)又被稱為正交拉丁方設(shè)計(jì)［4］。

值得注意的是：在拉丁方設(shè)計(jì)（涉及1個(gè)試驗(yàn)因素2個(gè)區(qū)組因素）和希臘拉丁方設(shè)計(jì)（涉及2個(gè)試驗(yàn)因素2個(gè)區(qū)組因素）中，要求因素之間互相獨(dú)立。若實(shí)際問(wèn)題中的因素不滿足獨(dú)立性要求，在設(shè)計(jì)表格的行列交叉處應(yīng)盡可能進(jìn)行2次及以上獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。否則，結(jié)果的可信度很低。

4.2 小結(jié)

本文介紹了拉丁方設(shè)計(jì)的要點(diǎn)，以及拉丁方設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的計(jì)算公式；借助SAS軟件對(duì)兩個(gè)實(shí)例的拉丁方設(shè)計(jì)定量資料進(jìn)行一元方差分析。在討論中，提到了應(yīng)用拉丁方設(shè)計(jì)需要了解的幾個(gè)問(wèn)題。