孟良，許同樂，馬金英，蔡道勇

摘要：在軸承的故障診斷中，為了解決核函數(shù)在最小二乘支持向量機(jī)中參數(shù)選擇困難及稀疏性差的問題，提出了局部均值分解（LMD）形態(tài)濾波的最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）方法。該方法首先利用LMD對信號進(jìn)行分解得到PF分量，并對信號做相關(guān)分析去除虛假分量，形態(tài)濾波降噪后再進(jìn)行LMD分解得到新PF分量，提取能量特征;其次，對LSSVM的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，解決核參數(shù)選擇的問題;應(yīng)用特征加權(quán)法對拉格朗日參數(shù)進(jìn)行特征加權(quán)，取其加權(quán)平均值作為剪枝方法的閾值，降低稀疏性;最后將能量特征信號輸入LSSVM中，對信息進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測。實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用該方法能快速有效地對軸承故障信號進(jìn)行自適應(yīng)的分類及軸承故障的判斷。

關(guān)鍵詞：局部均值分解; 形態(tài)濾波; 剪枝方法; 最小二乘支持向量機(jī); 故障診斷

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.012

中圖分類號： TH707? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? ? ? ?文章編號： 1007-2683（2022）01-0092-08

There Search of LSSVM Based on LMD Morphology Filter

MENG Liang1，XU Tongle1，MA Jinying2，CAI Daoyong3

（1.School Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China;

2.School of Agriculture Engineering and Food Science， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China;

3.Shandong Keda M&E Technology Co.，Ltd.， Jining 272000， China）

Abstract：In the diagnosis of bearing， the LSSVM method research with LMD morphological filtering was put out in order to solve the problem about the kernel function parameter selection and the bad sparsity of least squares vector machine （LSSVM）. First， the LMD was used to decompose the measured signal and PF components were obtained. The correlation analysis was carried out to remove the false components， and the noise of PF components was reduced by morphological filtering. The LMD decomposed the recombinational signal and obtained new PF components， and energy characteristics were got from the new PF component. Secondly， the kernel function of LSSVM is improved to solve the problem of kernel parameter selection. Lagrange parameters were weighted by feature weighting method， and their weighted average value was taken as the threshold of pruning method to reduce the sparsity. Finally， energy characteristics were put into LSSVM to train and predict. Experiments showed that this new method could fulfil adaptive classification of bearing fault signals and definite fault conclusion quickly and effectively.

Keywords：local mean decomposition; morphological filtering; pruning method; least squares support vector machine; fault diagnosis

0前言

Suykens等[1]于1999年提出了最小二乘支持向量機(jī)（least squares support vector machine， LSSVM）方法。將最小二乘線性系統(tǒng)引入到傳統(tǒng)支持向量機(jī)（support vector machine， SVM）中得到LSSVM方法，傳統(tǒng)SVM中的約束條件為不等式約束，LSSVM方法中則轉(zhuǎn)換成等式約束條件，其訓(xùn)練過程就變成了對線性方程組的求解，提高了傳統(tǒng)SVM的求解效率，降低了學(xué)習(xí)難度，性能在很大程度上得到改進(jìn)[2-3]。但是，LSSVM喪失SVM稀疏性的同時(shí)仍存在核參數(shù)選擇困難問題，成為制約LSSVM應(yīng)用的障礙[4-5]。

針對LSSVM出現(xiàn)的上述問題，本文提出了基于局部均值分解（local mean decomposition， LMD）形態(tài)濾波的LSSVM方法，并應(yīng)用于軸承的故障診斷中。該方法為了得到PF分量首先應(yīng)用LMD算法[6]對故障信號進(jìn)行自適應(yīng)的分解，使用形態(tài)濾波[7]對乘積函數(shù)（product function， PF）分量進(jìn)行降噪，去除虛假分量使用相關(guān)分析方法，之后重組信號，對重組后的故障信號再次利用LMD進(jìn)行分解[8-9]，提取能量特征，并進(jìn)行歸一化處理;其次，為了解決LSSVM存在的核參數(shù)選擇困難以及稀疏性差的問題，采用適應(yīng)數(shù)據(jù)特點(diǎn)的核函數(shù)與自適應(yīng)的剪枝閾值的方法;最后，在改進(jìn)的最小二乘支持向量機(jī)中輸入歸一化處理后的能量特征，對信號特征進(jìn)行訓(xùn)練、預(yù)測，從而對故障信息進(jìn)行判斷。

1LMD形態(tài)濾波以及特征提取

LMD方法[10-13]是一種自適應(yīng)信號分解方法，把故障信號分解得到若干個(gè)瞬時(shí)幅值的乘積函數(shù)PF分量和一個(gè)殘余分量r（t），即

x（t）=∑ni=1PFi+r（t）（1）

LMD分解可完整地保留原始信號信息，將信號的時(shí)頻分布體現(xiàn)在所有的PF分量的瞬時(shí)幅值與瞬時(shí)頻率中。形態(tài)濾波通過開運(yùn)算和閉運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對故障信號的濾波降噪[14-15]。

本文故障信號降噪采用組合濾波器的方式。LMD形態(tài)濾波信號處理及特征提取步驟如下：

步驟1：分析測量物體的結(jié)構(gòu)特征;

步驟2：對測量的信號x（t）進(jìn)行LMD分解，得到i個(gè)單分量調(diào)幅調(diào)頻PF1i分量，通過相關(guān)分析，去除虛假分量，得到PF2i分量;

步驟3：對PF2i分量采用組合濾波的方式進(jìn)行降噪處理，采用正弦型結(jié)構(gòu)元素，得到PF3i分量;

步驟4：對得到的PF3i進(jìn)行信號重構(gòu)得到信號x′（t），對x′（t）再次LMD分解，得到分量PF4i;

步驟5：根據(jù)步驟1的結(jié)構(gòu)分析，對PF4i進(jìn)行分類：PF′4i含有主要信息的高頻分量，PF″4i含次要信息的低頻分量。提取PF′4i的能量特征為E，并對其進(jìn)行歸一化處理，如式（3），并將E′作為輸入LSSVM的特征向量。

E=[e1，e2，…，em]（2）

E′=E∑mi=1ei=[e′1，e′2，…，e′m]（3）

本文采用的故障信號處理過程為：LMD分解—相關(guān)分析—形態(tài)濾波降噪—信號重組—LMD再分解。因?yàn)樵肼晻MD分解的效果產(chǎn)生影響，所以該方法有效提高了故障信號的降噪效果以及特征提取的準(zhǔn)確度。為了減少輸入LSSVM中的向量維度，步驟5中的信號特征提取方法從源頭上進(jìn)行了改進(jìn)，保證數(shù)據(jù)輸入時(shí)的可信度。

2最小二乘支持向量機(jī)

LSSVM在目標(biāo)函數(shù)中，將松弛變量用誤差平方和來代替，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求解線性方程組的問題，能夠解析參數(shù)[16-17]，提高了求解效率。但是在改進(jìn)SVM時(shí)，會降低LSSVM的稀疏性，輸入信號維度過于龐大，且存在SVM在參數(shù)以及核函數(shù)選擇上的受限問題。

2.1最小二乘支持向量機(jī)

對于LSSVM可采用下式描述未知函數(shù)：

yi=ωTφ（xi）+b+ξi（4）

其中：yi為目標(biāo)值;ω為權(quán)矢量;φ（·）為核函數(shù);xi為輸入量;ξi為誤差變量;b偏差量。核函數(shù)能將輸入的特征信號映射到高維特征空間中。

LSSVM函數(shù)優(yōu)化問題的描述如下：

minJ（ω，ξi）=12||ω||2+12γ∑li=1ξ2i（5）

其中：J為結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化函數(shù);γ為可調(diào)參數(shù);l為輸入量個(gè)數(shù)。樣本錯(cuò)分的懲罰力度用可調(diào)參數(shù)γ表示，其值大小與錯(cuò)分樣本的懲罰力度成正比。當(dāng)核函數(shù)參數(shù)一定，γ增大到一定程度時(shí)，LSSVM的分類效果則逐漸趨于穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)特征空間的線性可分。

最優(yōu)解可以通過對偶形式得出，根據(jù)對偶形式引入拉格朗日函數(shù)，如下式：

L=12||ω||2+12γ∑li=1ξ2i-∑li=1αi（ωTφ（xi）+b+ξi-yi）（6）

式中：αi為拉格朗日乘子。進(jìn)一步得式（7），如下：

Lω=ω-∑li=1αiφ（xi）=0

Lb=∑li=1αi=0

Lξi=αi-γξi=0

Lα=yi-（ωTφ（xi）+b+ξi）=0（7）

分別消去ω和ξ，得到求解結(jié)果，并根據(jù)Mercer定理進(jìn)一步處理，可使用核函數(shù)K（x，xi），則LSSVM的回歸函數(shù)為：

f（x）=∑li=1αiK（x，xi）+b（8）

式（8）中的αi、b可由式（7）求出，核函數(shù)為滿足Mercer條件的任意半正定函數(shù)。

2.2核函數(shù)及核參數(shù)的選擇

核函數(shù)的作用是將數(shù)據(jù)映射到高維空間，增加線性學(xué)習(xí)器的計(jì)算能力，克服維數(shù)災(zāi)難。本文將4種軸承故障信號特征向量按能量大小進(jìn)行排序，如圖1，以此選擇LSSVM的核函數(shù)。

由圖1可得，4種故障信號的特征向量能量分布無規(guī)則，且是非線性的。從能量分布的總體走勢上來看，表現(xiàn)為第一區(qū)間是反比例函數(shù)。根據(jù)該特點(diǎn)，提出了一種平移不變的核函數(shù)，如式（9）所示：

K（x，y）=ke||x-y||2/z+1（9）

式中：k（k>0）為待分類的數(shù)據(jù)種類數(shù)。z可由式（10）表示：

z=∑||x-y||/n（10）

其中n為該類特征向量個(gè)數(shù)。

核函數(shù)中的參數(shù)均由數(shù)據(jù)種類以及特征向量的能量決定，解決了核函數(shù)參數(shù)確定困難的問題。式（9）所采用的反比例函數(shù)結(jié)構(gòu)的核函數(shù)，滿足平移不變核函數(shù)判定定理，證明如下：

F[K（w）]=（2π）-n/2∫Rne-jω·xK（x）dx=

（2π）-n/2∫Rne-jω·x·ke||x||2/z+1dx≥0（11）

2.3加權(quán)LSSVM算法

針對LSSVM稀疏性降低的問題，本文采用剪枝的方法[18-19]。在剪枝方法中，其閾值設(shè)置影響剪枝效果[20]，為此提出了一種自適應(yīng)閾值的方法，來代替主觀的閾值設(shè)定。其方法如下：

1）計(jì)算ai的權(quán)值Pi=|ai|∑|ai|;

2）求解ai的加權(quán)算術(shù)平均值η=∑Ni=1Pi|ai|N，并將η作為剪枝方法的閾值。

3基于LMD形態(tài)濾波的LSSVM方法

將LMD算法與形態(tài)濾波相結(jié)合，使故障信號預(yù)處理與特征提取一步完成，并將該方法與改進(jìn)的LSSVM算法結(jié)合，提出LMD形態(tài)濾波LSSVM方法，該方法結(jié)構(gòu)緊湊、計(jì)算簡單。

如圖2為LMD形態(tài)濾波LSSVM的總體流程圖。所提方法的包含3個(gè)步驟：

步驟1：將原始故障信號進(jìn)行LMD分解，對分解的PF分量進(jìn)行形態(tài)濾波降噪，降噪后將PF分量進(jìn)行重組得到重組故障信號;

步驟2：將重組信號作為新LSSVM的輸入，根據(jù)重組故障信號的特征向量能量分布，提出了一種平移不變的核函數(shù)，解決了核函數(shù)參數(shù)確定困難的問題，通過比較拉格朗日乘子及其加權(quán)算術(shù)平均值，判斷新LSSVM的分類效果;

步驟3：當(dāng)η≤|ai|時(shí)，去掉小于η的|ai|及相關(guān)特征向量，其余保留;當(dāng)η≥|ai|時(shí)，將|ai|帶入式（9）中，并輸出故障分類結(jié)果。

4實(shí)驗(yàn)研究

采用美國西儲大學(xué)的驅(qū)動(dòng)端軸承數(shù)據(jù)為研究對象，其型號為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承，采樣頻率為12000Hz。軸承外圈故障信號x（t）的時(shí)域圖如圖3所示。

對軸承故障信號進(jìn)行LMD形態(tài)濾波處理。第一次LMD分解獲得PF1分量進(jìn)行相關(guān)分析，其相關(guān)系數(shù)如圖4所示。

由圖4知，第5～12個(gè)PF分量與源信號的相關(guān)系數(shù)過低，不再進(jìn)行處理并刪除;對前4個(gè)PF分量進(jìn)行形態(tài)濾波處理，其降噪效果如圖5所示。

對圖5（b）中的信號進(jìn)行重組得到信號x′（t），其時(shí)域圖如圖6所示。以信噪比（SNR）作為降噪精度的評判標(biāo)準(zhǔn)，得到對x（t）的降噪效果，通過公式（12）可以計(jì)算出SNR=5.4352。由此可得該方法能對振動(dòng)信號進(jìn)行有效地降噪，且簡單實(shí)用。對重組信號進(jìn)行LMD分解得到PF2分量。

SNR=10lg[∑Ni=1x2（t）/（∑Ni=1（x（t）-（t））2）]（12）

由于軸承結(jié)構(gòu)的特殊性，LMD分解后的故障信息主要集中在前4個(gè)高頻分量中，提取前4個(gè)高頻分量作為提取特征向量的原始數(shù)據(jù)。根據(jù)軸承故障類型，將測量數(shù)據(jù)分成4類，每類故障包含30組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)6000點(diǎn)。其中測試數(shù)據(jù)從每類中隨機(jī)抽取10組，共240000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn);訓(xùn)練數(shù)據(jù)從每類中隨機(jī)抽取5組，共120000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。隨機(jī)抽取的外圈故障的訓(xùn)練數(shù)據(jù)如表1所示。

將抽取的訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入到改進(jìn)的LSSVM中進(jìn)行分類訓(xùn)練，其分類效果與使用徑向基核函數(shù)的LSSVM進(jìn)行對比，如圖7所示。2種LSSVM分類方法的參數(shù)γ=10、δ=0.4。

從圖7（a）中可以看出，基于徑向基核函數(shù)的LSSVM成功將正常與外圈故障進(jìn)行分類，但滾珠故障與內(nèi)圈故障沒有完成分類;圖7（b）中表明新的核函數(shù)成功將4種類型的故障進(jìn)行分類，說明新的核函數(shù)相較于徑向基核函數(shù)在進(jìn)行故障分類時(shí)更具有優(yōu)越性。表2為在使用新核函數(shù)進(jìn)行第一次訓(xùn)練時(shí)得到的拉格朗日參數(shù)。

從表2和新的閾值計(jì)算方法可得到4種故障數(shù)據(jù)的拉格朗日參數(shù)的加權(quán)平均值，分別為0.02017、0.00803、0.01907、0.02336。將新得到數(shù)據(jù)重新帶入改進(jìn)的LSSVM中重新訓(xùn)練，數(shù)據(jù)經(jīng)過第二次訓(xùn)練即滿足要求。由此表明，新的閾值確定方法在一定程度上滿足了自適應(yīng)的LSSVM算法的稀疏性。圖8為第二次訓(xùn)練的結(jié)果。

主觀閾值設(shè)定對LSSVM算法的稀疏性降低有限，圖9為新閾值與不同取值時(shí)的傳統(tǒng)閾值2種確定方法的比較。傳統(tǒng)閾值的取值為0.01、0.05和0.1。圖9中，橫坐標(biāo)1～4分別代表軸承正常、外圈、內(nèi)圈和滾珠故障?？梢钥闯?，傳統(tǒng)閾值在取值0.05和0.1時(shí)，在處理外圈、內(nèi)圈和滾珠故障時(shí)刪除的數(shù)據(jù)過多，其中外圈故障的刪除量超過一半;在取值0.01時(shí)，處理結(jié)果和新閾值的處理結(jié)果相同。4種不同閾值取值時(shí)的循環(huán)次數(shù)均較少。由此可知，傳統(tǒng)閾值在取值時(shí)的隨機(jī)性太大，造成刪除數(shù)據(jù)鏈過多，分類可信度降低，而新閾值則不存在這種問題，因其閾值由數(shù)據(jù)自身確定，LSSVM稀疏性降低的問題得到解決。

為了驗(yàn)證改進(jìn)的LSSVM方法的準(zhǔn)確性，引入受試者工作特征（receiver operating characteristic， ROC）曲線。圖10為基于徑向基核函數(shù)的LSSVM和改進(jìn)的LSSVM方法的ROC曲線。由此可以看出改進(jìn)的LSSVM方法對原LSSVM方法進(jìn)行了優(yōu)化，且效果明顯。表3表示LSSVM測試數(shù)據(jù)訓(xùn)練結(jié)果。對于輸入樣本1，在經(jīng)過正常的滾動(dòng)軸承訓(xùn)練后，實(shí)際輸出中只有第1個(gè)是正數(shù)，其輸出結(jié)果為表3中的目標(biāo)輸出結(jié)果，因此判定軸承故障為正常。同理，另外3種測試樣本的輸出結(jié)果依次只有第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)值為正數(shù)，則判定這3種軸承故障依次為外圈故障、內(nèi)圈故障和滾珠故障。其輸出結(jié)果符合實(shí)際，故改進(jìn)的LSSVM方法可以應(yīng)用于實(shí)際的軸承故障診斷中，且輸出結(jié)果可信。

5結(jié)論

針對最小二乘支持向量機(jī)在核參數(shù)選擇上的盲目性、LSSVM方法的稀疏性欠缺的問題，提出了LMD形態(tài)濾波的LSSVM方法。該方法具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1）本文信號降噪、特征提取方式采用：LMD分解—相關(guān)分析—形態(tài)濾波降噪—信號重組—LMD再分解—特征提取，該方法能有效地去除噪聲，提高特征向量的精確度;

2）通過研究特征向量走勢和數(shù)據(jù)特點(diǎn)，提出新的核函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的自適應(yīng)確定，解決了LSSVM參數(shù)難以選擇的問題;

3）通過分析測量目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定PF分量選取，降低了特征向量維度，減少了計(jì)算量以及在一定程度上降低了LSSVM的稀疏性;采用剪枝方法，提出了一種閾值確定方法，降低了LSSVM稀疏性差的問題;

4）LMD形態(tài)濾波LSSVM方法結(jié)構(gòu)緊湊、算法簡單，能有效解決軸承故障診斷問題。

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（編輯：溫澤宇）