內(nèi)凹六邊形蜂窩力學(xué)性能研究

曾毅翀 曹中豪

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063）

蜂窩是典型的多孔材料，具有平面內(nèi)的二維單元陣列和平面外的平行堆疊，具有周期性拓?fù)浞植嫉奶卣?。蜂窩結(jié)構(gòu)比其基體材料具有更高的孔隙率和更低的質(zhì)量密度，因此具有很高的比吸能、比剛度、比強(qiáng)度等特性。重復(fù)單胞的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以顯著影響這些超輕材料的機(jī)械性能。因此，可以通過合理設(shè)計(jì)單胞結(jié)構(gòu)使蜂窩具有前所未有的特性，如負(fù)泊松比、壓縮扭轉(zhuǎn)和負(fù)剛度等。這些違反直覺的性能都源于它們的微觀結(jié)構(gòu)特征，而不是它們的基體材料。由于其在斷裂韌性、抗沖擊性、散熱、減振和降噪等方面的優(yōu)異性能，蜂窩材料已廣泛應(yīng)用于建筑、汽車、船舶、航空航天、軌道交通、電子通信、生物醫(yī)療等領(lǐng)域[1]。

過去的幾十年，針對(duì)蜂窩材料在拉伸、壓縮、剪切和疲勞載荷作用下的基本力學(xué)響應(yīng)已經(jīng)開展了大量的研究，蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)可分為彈性和塑性響應(yīng)、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)、面內(nèi)和面外響應(yīng)等。其中，負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)是研究的熱點(diǎn)。與傳統(tǒng)的六邊形蜂窩相比，內(nèi)凹六邊形蜂窩的優(yōu)勢(shì)在于增強(qiáng)了許多物理性能，例如能量吸收能力、面內(nèi)斷裂韌性以及在面外下形成向合曲率的能力[2]。

本文主要通過有限元數(shù)值仿真分析不同參數(shù)對(duì)內(nèi)凹六邊形蜂窩力學(xué)性能的影響，以獲得優(yōu)異的力學(xué)性能。

1 理論分析

根據(jù)Evans[3]和Masters[4]等人研究提出的六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)平面內(nèi)特性的解析表達(dá)式。在大多數(shù)情況下，這些表達(dá)式是基于將蜂窩胞壁符合歐拉—伯努利梁理論。

設(shè)想蜂窩在平面中加載時(shí)通過蜂窩胞壁的彎曲和拉伸以及通過在蜂窩胞壁連接處鉸接而變形。因此需要考慮彎曲、拉伸、鉸接三種機(jī)制結(jié)合在一起，Masters[4]等人提出了三個(gè)有關(guān)的常數(shù)Kf（彎曲常數(shù)），Ks（拉伸常數(shù)），Kh（鉸接常數(shù)）。假設(shè)圖1 中橫斜胞壁長度分別為l 和h、厚度t 和深度b 的蜂窩的常規(guī)參數(shù)，而且組成蜂窩材料的彈性常數(shù)是已知的，包括泊松比vs、楊氏模量Es、剪切模量Gs。

圖1 常規(guī)六邊形蜂窩（a）和內(nèi)凹六邊形蜂窩（b）

通過圖2、圖3 來展示不同的參數(shù)（h/l、θ）對(duì)于蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）的影響，進(jìn)而通過調(diào)整參數(shù)可以達(dá)到改善蜂窩的性能。

在 圖 2 中 已 知 定 值 b=4mm、t=2mm、s=0.3、Es=210GPa，變量h?（2，60）,l?（2，50）,取四個(gè)不同的角度θ（-30°、-20°、20°、30°），研究蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）關(guān)于h/l 的函數(shù)關(guān)系。

由圖2 可知，蜂窩的泊松比隨h/l 的增加而增加，當(dāng)h/l 相同時(shí)，角度θ 的絕對(duì)值越大，泊松比也越大；蜂窩的彈性模量隨h/l 的增加而減小，h/l 越大，彈性模量越趨近于0，h/l 越接近于1，彈性模量越大。

圖2 蜂窩的泊松比和彈性模量關(guān)于h/l 的分布曲線

在圖3 中已知定值b=4mm、h=30mm、t=2mm、s=0.3、Es=210GPa，變量θ?（-60°，60°）, 取三個(gè)不同的l（10、20、30），研究蜂窩的泊松比（vxy、vyx）和彈性模量（Ex、Ey）關(guān)于θ 的函數(shù)關(guān)系。

圖3 蜂窩的泊松比和彈性模量關(guān)于θ 的分布曲線

由圖3 可知，蜂窩的泊松比vxy和彈性模量Ex都隨θ 絕對(duì)值的增加而增加；泊松比vyx隨θ 的增加而先增加后減小，趨近于0；彈性模量Ey關(guān)于θ=0°類似于正態(tài)分布，角度越接近0°，彈性模量越大。

A陰性空白對(duì)照——25 μl去離子水+25 μl底物（37 ℃孵育 10 min）+50 μl去離子水（37 ℃下孵育60 min）+100 μl醋酸-醋酸鈉緩沖溶液。

2 模型仿真與分析

根據(jù)上面的理論分析，可以選取合適的蜂窩幾何參數(shù)進(jìn)行參數(shù)化建模、有限元分析，進(jìn)而完成蜂窩結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析。

2.1 幾何參數(shù)對(duì)單胞結(jié)構(gòu)的影響

2.1.1 長度h 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)的影響

以長度h 為變量，其余幾何參數(shù)為不變量，研究長度h 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。

b=6mm,t=3mm,l=10mm,θ=60°,h=20,30,40,50mm。

由圖4 圖5 可知，隨著h 增加，泊松比vxy的絕對(duì)值增加，彈性模量Ex增加，泊松比vyx的絕對(duì)值減少，彈性模量Ey減少。在合理誤差范圍內(nèi)，理論值和仿真值趨于吻合。

圖4 泊松比隨h 的變化圖

圖5 彈性模量隨h 的變化圖

2.1.2 長度l 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)的影響

以長度l 為變量，其余幾何參數(shù)為不變量，研究長度l 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。b=6mm,t=3mm,h=50mm,θ=60°,l=10,20,30, 40mm。

圖6 泊松比隨l 的變化圖

圖7 彈性模量隨l 的變化圖

2.1.3 角度θ 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)的影響

以角度θ 為變量，其余幾何參數(shù)為不變量，研究角度θ 對(duì)單胞結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。

b=6mm,t=3mm,h=50mm,l=20mm,θ=50°,60°,70°,80°。

由圖8 圖9 可知，隨著θ 增加，泊松比vxy的絕對(duì)值減少，彈性模量Ex減少，泊松比vyx的絕對(duì)值增加，彈性模量Ey增加。在合理誤差范圍內(nèi)，理論值和仿真值趨于吻合。

圖8 泊松比隨的變化圖

圖9 彈性模量隨的變化

2.2 蜂窩結(jié)構(gòu)的有限元分析

為了有限元仿真結(jié)果可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，故采用ZIED K[5]等人所提供的尺寸參數(shù)，b=8mm、t=2.86mm、h=42mm、l=42mm、θ=67°、vs=0.3、Es=210GPa。

在有限元軟件ANSYS APDL 中建立參數(shù)化模型，采用梁單元Beam188,并進(jìn)行靜力學(xué)仿真，提取結(jié)構(gòu)的位移變化量，并計(jì)算出泊松比和彈性模量。仿真效果見圖10，其力學(xué)性能結(jié)果見表1 所示。

圖10 仿真變形效果圖

表1 內(nèi)凹六邊形蜂窩力學(xué)性能結(jié)果

由表1 可知，本論文的有限元分析結(jié)果比論文[5]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果略高一些，在合理誤差范圍內(nèi)比較吻合，驗(yàn)證了理論公式的正確性。產(chǎn)生誤差的原因是有限元分析時(shí)，采用的梁單元在蜂窩的橫胞壁和斜胞壁交接處有重合現(xiàn)象，導(dǎo)致結(jié)果偏大，此外，在有限元后處理中的取值存在一定的誤差，也會(huì)導(dǎo)致結(jié)果偏大。

3 結(jié)論

通過理論值和有限元仿真值得對(duì)比分析，可以看出X 方向的等效彈性模量Ex受長度h、l 的影響較大，Y 方向的等效彈性模量Ey受長度h、角度θ 的影響較大，泊松比受這三種的幾何參數(shù)的影響都較大。這些規(guī)律可為負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)提供一定的參考依據(jù)。