何宗友

(深圳市京田精密科技有限公司,廣東 深圳 518118)

設(shè)a,b是正整數(shù)且不是平方數(shù).求Pell方程組

x2-ay2=1,y2-bz2=1

(1)

的正整數(shù)解(x,y,z)是一個(gè)基本而重要的數(shù)論問(wèn)題.從Siegel[1]關(guān)于超橢圓曲線上整點(diǎn)個(gè)數(shù)的結(jié)果可知,Pell方程組(1)只有有限組正整數(shù)解(x,y,z).Baker和Davenport[2]運(yùn)用Baker關(guān)于對(duì)數(shù)線性型的下界估計(jì),給出了對(duì)于給定的a,b求解Pell方程組(1)的方法.本文作者在文獻(xiàn)[3]中給出了Pell方程組(1)的正整數(shù)解的上界.設(shè)N(a,b)表示Pell方程組(1)的正整數(shù)解(x,y,z)的個(gè)數(shù).近年來(lái),N(a,b)的研究結(jié)果如下：

若a,b是正整數(shù)且不是平方數(shù),則N(a,b)≤3(Bennet[4]).

若a>3.31×1035,則N(a,b)≤2(袁平之[5]).

若a,b是正整數(shù)且不是平方數(shù),則N(a,b)≤2(何波[6]).

若a=4m(m+1),則N(a,b)≤1(袁平之[7]).

若a=4m2-1,則N(a,b)≤1(Mihai Cipu[8]).

若a=2,則N(a,b)≤1(何波,吳文權(quán),楊仕椿[9]).

袁平之在文獻(xiàn)[7]中提出如下猜想:

若a,b是正整數(shù)且不是平方數(shù),則N(a,b)≤1.

1 定理及其推論

在定理中,取r=1和r=3時(shí),可得到以下兩個(gè)推論：

2 定理1的證明

(2)

(3)

當(dāng)n>2時(shí),設(shè)n=±2+2·2cl,c≥2,2?l,則由文獻(xiàn)[10]得um+2·2cl≡(-1)lum(modu2c),故由式(3)得

(4)

故由式(4)得