雷怡琴, 孫兆龍, 洪澤宏, 劉琪, 鐘佩娜

(1.海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033; 2.中國船舶重工集團(tuán)公司第七一五研究所, 浙江 杭州 310012)

磁強(qiáng)計自身具有一定的物理局限性，在許多較大的工程應(yīng)用場景中單個磁強(qiáng)計并不能滿足測量要求[1]，尤其在需要大平面陣列進(jìn)行測量的情況中，單個磁強(qiáng)計受到技術(shù)原理以及加工工藝水平限制，短期內(nèi)并不能依托于提高性能實現(xiàn)工程要求[2-5]，因此對磁強(qiáng)計陣列技術(shù)的準(zhǔn)確性研究尤為重要。磁強(qiáng)計陣列技術(shù)指的是在待測磁場空間或者待測磁源周圍布放多個磁強(qiáng)計，同時進(jìn)行磁場測量[6]。影響陣列系統(tǒng)測量準(zhǔn)確性的主要原因有磁強(qiáng)計自身的非正交、刻度因子、零偏等系統(tǒng)誤差因素[7-8]，以及在磁強(qiáng)計陣列的搭建安裝過程中由于安裝工藝水平的限制，使各磁強(qiáng)計之間軸向姿態(tài)不一致引起的旋轉(zhuǎn)誤差因素。

研究表明，當(dāng)磁強(qiáng)計的坐標(biāo)軸有1°偏差時，測量誤差將達(dá)到0.87%[9-10]。目前，針對磁強(qiáng)計陣列校正的研究較少，朱興樂[11]采用DE算法對磁強(qiáng)計的水平誤差角進(jìn)行校正，但是該校正方法的前提是各磁強(qiáng)計垂直分量軸需保持一致，屬于二維平面校正。磁強(qiáng)計三維校正方法可借鑒磁梯度儀的誤差校正，現(xiàn)有磁梯度儀的非對準(zhǔn)誤差的主要解決方法有2種：①基于機(jī)械結(jié)構(gòu)的磁強(qiáng)計姿態(tài)調(diào)整；②通過軟件的手段進(jìn)行校正。基于機(jī)械結(jié)構(gòu)的非對準(zhǔn)誤差校正方法不僅對機(jī)械結(jié)構(gòu)要求高，且陣列中磁強(qiáng)計數(shù)量較多時，校正不易實現(xiàn)。關(guān)于軟件校對方法，于振濤等對梯度儀系統(tǒng)誤差采用兩步法進(jìn)行補(bǔ)償校準(zhǔn)，張光等對張量系統(tǒng)進(jìn)行線性化校準(zhǔn)，具有一定的校正效果，但是兩者均忽略了實際測量輸出的高階小量，影響了測量精度[12-15]。

本文提出了一種針對磁強(qiáng)計陣列的一致性校正模型，在不忽略高階小量的基礎(chǔ)上構(gòu)建九參數(shù)磁通門磁強(qiáng)計系統(tǒng)誤差校正模型，對構(gòu)成測磁陣列的磁強(qiáng)計的非正交、刻度因子、零偏誤差進(jìn)行校正得到理想正交三分量磁場測量值。在此基礎(chǔ)上，以陣列中一個磁強(qiáng)計的軸向為參考，構(gòu)建三維九參數(shù)歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣校正模型，對其他磁強(qiáng)計進(jìn)行俯仰、橫傾、方位3種姿態(tài)轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)了對磁強(qiáng)計陣列的軸向一致性校正。

1 磁通門磁強(qiáng)計系統(tǒng)誤差校正

磁通門磁強(qiáng)計陣列校正是對磁強(qiáng)計之間坐標(biāo)軸的一致性進(jìn)行校正，單個磁通門磁強(qiáng)計的測量精度直接影響了磁強(qiáng)計陣列的測量精度[16-18]。為了保證陣列一致性校正的精確性首先需要對磁強(qiáng)計的系統(tǒng)誤差進(jìn)行校正，保證每個磁強(qiáng)計均是理想正交磁強(qiáng)計。

建立磁場測量實際空間坐標(biāo)O-X1Y1Z1與理想坐標(biāo)O-XYZ，如圖1所示。設(shè)磁場空間坐標(biāo)系的原點與理想坐標(biāo)系的原點重合,再令實際坐標(biāo)系垂向軸OZ1與理想坐標(biāo)系的垂向軸OZ同軸,Z1OY1與ZOY共面。設(shè)OY與OY1之間的夾角為ψ,OX1與XOY的夾角為φ;OX1在XOY面上的投影與OX的夾角為θ。

圖1 磁通門三軸示意圖

三軸磁通門的測量誤差來源主要有非正交誤差、零位誤差及刻度因子誤差，這些誤差的具體表達(dá)式如下所示:

1) 非正交誤差

在不考慮其他誤差的情況下對圖1進(jìn)行矢量分解,得到實際測量磁場值B1與理想測量磁場值B之間的關(guān)系為

(1)

2) 刻度因子誤差

刻度因子誤差是不同通道的采集電路無法做到完全一致導(dǎo)致的,設(shè)刻度因子誤差矩陣為K,表示為

(2)

3) 零偏誤差

零偏誤差是由磁強(qiáng)計內(nèi)部剩磁引起的,表達(dá)式為

(3)

綜上,可構(gòu)建實際輸出B1與理想輸出B之間的關(guān)系為

(4)

對(4)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換,可將三軸磁通門磁強(qiáng)計存在誤差干擾時測量得到的校正值當(dāng)做測量磁場的真實值,得到輸出校正值為

(5)

令

磁強(qiáng)計的誤差參數(shù)校正模型為

(6)

利用最小二乘法可對kx,ky,kz,θ,φ,ψ,bx,by,bz進(jìn)行求解,則可完成對磁強(qiáng)計測量值的補(bǔ)償校正。

2 測磁陣列一致性校正

勻強(qiáng)靜磁場環(huán)境中,測磁陣列中的各磁強(qiáng)計經(jīng)過系統(tǒng)誤差校正后,不同位置上的磁強(qiáng)計測量輸出值均收斂于環(huán)境磁場值。由于安裝具有一定偏差,經(jīng)過校正后的磁強(qiáng)計各理想正交軸朝向錯亂,導(dǎo)致不同位置上的磁強(qiáng)計存在旋轉(zhuǎn)非對準(zhǔn)誤差。如圖2所示,本文選定測磁陣列中磁強(qiáng)計1的坐標(biāo)軸作為參考坐標(biāo)系,將測磁系統(tǒng)中的其他磁強(qiáng)計轉(zhuǎn)化到磁強(qiáng)計1的坐標(biāo)軸下。

圖2 磁強(qiáng)計陣列布放模擬

三維一致性校正在空間上進(jìn)行,空間中任意2個正交坐標(biāo)系可通過包含3個非對準(zhǔn)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。在均勻場環(huán)境中,將一個坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換到參考坐標(biāo)系中,雖然有不同的旋轉(zhuǎn)方法,但是旋轉(zhuǎn)后得到的磁場測量值是固定的,故通過建立歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣可對磁強(qiáng)計進(jìn)行一致性校正。

2.1 橫傾轉(zhuǎn)換模型

本文分別從x,y,z3個坐標(biāo)系建立轉(zhuǎn)換模型,對測磁陣列進(jìn)行一致性校正。設(shè)待校正磁強(qiáng)計的實際坐標(biāo)軸為O-X2Y2Z2,實際磁場測量值為(Bx,By,Bz),本文采用模擬旋轉(zhuǎn)磁強(qiáng)計坐標(biāo)軸的方法,對磁強(qiáng)計進(jìn)行一致性校正。建立橫傾正交轉(zhuǎn)換模型,如圖3所示,令待校正磁強(qiáng)計與基準(zhǔn)磁強(qiáng)計的x軸重合,再繞x軸旋轉(zhuǎn),使By與XOY共面。

圖3 橫傾轉(zhuǎn)換模型

(7)

2.2 俯仰轉(zhuǎn)換模型

圖4 俯仰轉(zhuǎn)換模型

(8)

2.3 方位轉(zhuǎn)換模型

圖5 方位轉(zhuǎn)換模型

(9)

2.4 三維一致性轉(zhuǎn)換模型

磁強(qiáng)計安裝完畢后的角度固定,因此旋轉(zhuǎn)角度λ,θ,δ為固定值,不會隨著時間變化。磁強(qiáng)計三軸變換的歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)式為

(10)

式中:Tλ為待校正磁強(qiáng)計的橫傾旋轉(zhuǎn)矩陣;Tθ為待校正磁強(qiáng)計的俯仰旋轉(zhuǎn)矩陣;Tδ為待校正磁強(qiáng)計的俯仰旋轉(zhuǎn)矩陣。綜合上述3次旋轉(zhuǎn)變換,空間上任意姿態(tài)的2個正交坐標(biāo)系,都可以通過橫傾、俯仰、方位的三維變換轉(zhuǎn)化到同一坐標(biāo)系下。由(10)式可以看出,矩陣的乘積順序與繞軸旋轉(zhuǎn)的順序相匹配,本文采取橫傾、俯仰、方位的旋轉(zhuǎn)順序進(jìn)行一致性校正,待校正磁強(qiáng)計與參考磁強(qiáng)計的轉(zhuǎn)換關(guān)系表示為

(11)

(12)

向量形式的表達(dá)方式如(13)式所示。

(13)

(12)式可以看出,每一種旋轉(zhuǎn)次序?qū)?yīng)一種旋轉(zhuǎn)矩陣,λ,θ,δ互相匹配。將(13)式用增廣矩陣表示成3個線性方程組

(14)

(15)

由(11)式可以看出,每一次旋轉(zhuǎn)校正是在上一次旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,當(dāng)旋轉(zhuǎn)順序固定時,可計算出一致性校正的唯一角度,聯(lián)立方程(12)～(15)可以求解得到待校正磁強(qiáng)計的非對準(zhǔn)誤差唯一角度,此時磁強(qiáng)計陣列的非線性誤差校正完成。

3 仿真分析

3.1 磁通門磁強(qiáng)計校正仿真分析

利用MATLAB對上述校正方法進(jìn)行性能分析,設(shè)待校正磁強(qiáng)計所處的環(huán)境磁場大小為48 750 nT。為了得到單個磁通門磁強(qiáng)計的校正參數(shù),需要得到磁強(qiáng)計在空間上任意方位的磁場測量數(shù)據(jù)。把磁強(qiáng)計陣列中的每個磁強(qiáng)計置于如圖6所示的三維旋轉(zhuǎn)臺上,從初始位置開始繞三維空間軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn),進(jìn)而獲得全空間方位上的磁場測量矢量,在x軸方向上進(jìn)行以60°為采樣間隔的旋轉(zhuǎn),y軸方向上進(jìn)行以90°為采樣間隔的旋轉(zhuǎn),z軸方向上進(jìn)行以60°為采樣間隔的旋轉(zhuǎn),并記錄數(shù)據(jù)。

圖6 三維轉(zhuǎn)臺

為了方便觀察,對磁場測量數(shù)據(jù)進(jìn)行插值,圖7中紅色圓點為補(bǔ)償前的實測點,藍(lán)色點為插值擬合點。

圖7 空間磁場測量值三維示意圖

由圖7可以看出,在未對磁強(qiáng)計進(jìn)行補(bǔ)償校正的前提下,磁強(qiáng)計的實際空間輸出為橢球形磁場,通過對方程(6)的求解,得到每個磁強(qiáng)計校正的參數(shù)矩陣,把校正參數(shù)代入到實際測量結(jié)果中,得到磁強(qiáng)計的理想測量值。

對4個磁通門磁強(qiáng)計分別進(jìn)行仿真校正,計算4個磁強(qiáng)計的誤差矩陣,分別為磁強(qiáng)計系統(tǒng)誤差矩陣M,以及零偏噪聲誤差矩陣b計算結(jié)果如表1所示。

表1 磁強(qiáng)計補(bǔ)償校正系數(shù)矩陣

把表1中的校正參數(shù)系數(shù)矩陣代入到磁強(qiáng)計的測量結(jié)果中,利用最小二乘法對磁場測量數(shù)據(jù)進(jìn)行后處理,對陣列中所有磁強(qiáng)計的測量誤差進(jìn)行補(bǔ)償,消除單個磁強(qiáng)計的橢球化影響。補(bǔ)償校正后的磁強(qiáng)計矢量三維空間磁場測量結(jié)果如圖8所示,圖中藍(lán)色球體是以空間磁場圓點為圓心,背景磁場為半徑的理想球體,橙色點為補(bǔ)償后的磁場測量值。

圖8 空間磁場校正結(jié)果三維示意圖

由圖8可以看出,對磁強(qiáng)計進(jìn)行校正之后,測量值均落在了理想球面上,磁場測量橢球化得到了很好消除。通過第一節(jié)中的校正方法對陣列中的磁通門磁強(qiáng)計測量結(jié)果進(jìn)行校正,反映到陣列磁場測量總場值中的校正效果如圖9所示。結(jié)果表明,進(jìn)行非正交補(bǔ)償后的磁場測量值收斂于空間磁場值,達(dá)到了理想效果。

圖9 磁場總場值校正結(jié)果

利用磁強(qiáng)計校正前后的輸出相對方差值對磁場測量校正效果進(jìn)行表征,以此來定量反映磁強(qiáng)計的系統(tǒng)誤差以及非正交誤差的校正效果。由于地磁環(huán)境時刻變化,因此磁強(qiáng)計進(jìn)行測量時總會存在波動,為了更明顯地展示校正效果,本文利用每次磁場測量最大值進(jìn)行精度表征,輸出相對方差值計算公式為

(16)

式中：N為測量姿態(tài)數(shù)；|Bi|max為第i個磁強(qiáng)計最大測量絕對值；Br為磁場測量標(biāo)準(zhǔn)值。

表2 測量相對方差值

校正前后每個磁強(qiáng)計的相對方差誤差對比結(jié)果列于表2。由實驗結(jié)果可以看出,磁強(qiáng)計校正前的相對方差誤差在百級以上,校正后磁強(qiáng)計的均方根誤差在10 nT以內(nèi),校正效果明顯。

3.2 磁強(qiáng)計陣列一致性校正仿真分析

對磁強(qiáng)計測量結(jié)果進(jìn)行校正是對磁強(qiáng)計陣列進(jìn)行一致性校正的前提,在對磁強(qiáng)計測量結(jié)果校正的基礎(chǔ)上,對磁強(qiáng)計陣列進(jìn)行一致性校正。當(dāng)磁強(qiáng)計陣列位于勻強(qiáng)磁場的環(huán)境中時,磁強(qiáng)計陣列中每個磁強(qiáng)計的磁場測量軌跡應(yīng)該重合,利用上述磁強(qiáng)計姿態(tài)校正方法對各磁強(qiáng)計進(jìn)行校正,將1號磁強(qiáng)計作為參考對其他磁強(qiáng)計依次進(jìn)行一致性校正,計算得到各磁強(qiáng)計的一致性校正系數(shù)如表3所示。

表3 一致性校正系數(shù)

將表3中的一致性校正系數(shù)代入每個磁強(qiáng)計的磁場測量結(jié)果中,得到各個磁強(qiáng)計相對誤差校正結(jié)果如圖10所示。

圖10 補(bǔ)償校正前后磁場測量結(jié)果對比

由仿真結(jié)果可以看出,本文提出的磁強(qiáng)計陣列一致性校正方法可以有效補(bǔ)償磁強(qiáng)計陣列輸出,補(bǔ)償后磁強(qiáng)計陣列磁場測量輸出誤差小于±20nT,校正效果良好。

4 實驗結(jié)果分析

把參考磁強(qiáng)計與待校正磁強(qiáng)計置于轉(zhuǎn)臺上進(jìn)行實驗驗證,保證各磁強(qiáng)計到轉(zhuǎn)臺中心位置的距離相同,使測磁系統(tǒng)繞磁中心旋轉(zhuǎn)一周。本文主要針對由4個磁強(qiáng)計構(gòu)成的磁強(qiáng)計陣列進(jìn)行一致性校正,搭建一致性校正實驗平臺如圖11所示,由于實驗條件有限,將磁強(qiáng)計兩兩一組置于無磁轉(zhuǎn)臺上,通過無磁轉(zhuǎn)臺改變測磁系統(tǒng)姿態(tài)。磁強(qiáng)計間距離為0.5m,工作溫度范圍是-40～70℃,環(huán)境溫度為12℃。實驗在外界磁場穩(wěn)定且干擾較小的環(huán)境中進(jìn)行,根據(jù)世界地磁模型WMM2020查詢得知,實驗地點的地磁場總量Br約為48 500nT,以此作為磁強(qiáng)計陣列測量的標(biāo)準(zhǔn)磁場輸出值。

圖11 無磁轉(zhuǎn)臺

令無磁轉(zhuǎn)臺繞z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn),以此改變磁強(qiáng)計的空間姿態(tài),保持磁強(qiáng)計的初始姿態(tài)水平,此時x軸與y軸的旋轉(zhuǎn)角度均為0°,轉(zhuǎn)臺每轉(zhuǎn)10°記錄1次磁場測量值,共旋轉(zhuǎn)1周,每個磁強(qiáng)計有36組姿態(tài)數(shù)據(jù),該磁強(qiáng)計陣列共有4×36組姿態(tài)數(shù)據(jù)。

4.1 磁通門磁強(qiáng)計非正交補(bǔ)償實驗結(jié)果分析

以Br作為參考輸出值,利用上述方法對磁強(qiáng)計陣列中的4個磁強(qiáng)計進(jìn)行校正,得到磁強(qiáng)計的測量輸出校正結(jié)果如圖12所示。用各個磁強(qiáng)計的測量輸出標(biāo)準(zhǔn)差表征磁強(qiáng)計的補(bǔ)償校正性能,校正結(jié)果如表4所示。

圖12 測量輸出校正結(jié)果

表4 測量輸出標(biāo)準(zhǔn)差

由圖12中對磁強(qiáng)計補(bǔ)償校正的實驗結(jié)果可知,經(jīng)過補(bǔ)償校正后磁強(qiáng)計的磁場測量輸出值穩(wěn)定在48 500nT左右,與標(biāo)準(zhǔn)輸出值擬合程度較高。由表4可知,經(jīng)過補(bǔ)償校正后的各磁強(qiáng)計測量輸出的誤差均方根值在10nT以內(nèi),磁強(qiáng)計的輸出達(dá)到了較高的精度。

4.2 磁強(qiáng)計陣列一致性校正結(jié)果分析

以磁強(qiáng)計陣列中選定的磁強(qiáng)計坐標(biāo)軸為參考,對待校正磁強(qiáng)計進(jìn)行一致性校正,采用最小二乘法進(jìn)行匹配估計求解,收斂速度如圖13所示,可以看出該方法收斂速度快,計算精度高。

圖13 計算精度

圖14以磁場值的三維形式直觀地顯示了校正結(jié)果。當(dāng)各磁強(qiáng)計坐標(biāo)軸之間具有較高的一致性時,在三維圖中表現(xiàn)為磁場測量結(jié)果重合度較高。其中圖14a)為三維轉(zhuǎn)臺上實際磁場測量值,圖14b)為對磁強(qiáng)計進(jìn)行系統(tǒng)誤差校正后的磁場測量值,圖14c)為經(jīng)過一致性校正后的磁場測量值。實驗結(jié)果表明,若對磁強(qiáng)計陣列只進(jìn)行系統(tǒng)誤差校正而不進(jìn)行一致性校正時,磁強(qiáng)計陣列測量不僅重合度未得到改善,反而使非重合度增加,進(jìn)行一致性校正之后,各個磁強(qiáng)計在均勻的磁場環(huán)境中測量得到的磁場值重合度達(dá)到了理想水平。

圖14 三維轉(zhuǎn)臺實驗結(jié)果

為了更精確地顯示一致性校正效果,表5列出了一致性校正前后陣列中的各待校正磁強(qiáng)計與標(biāo)準(zhǔn)參考磁強(qiáng)計之間的角度差。一致性校正前待校正磁強(qiáng)計與參考磁強(qiáng)計各坐標(biāo)軸之間的角度差在1°左右,甚至高達(dá)2°,這對弱磁測量結(jié)果會產(chǎn)生很大影響。由實驗結(jié)果可以看出,經(jīng)過一致性校正之后各坐標(biāo)軸之間的誤差減小到了0.01°以下,大大提高了磁強(qiáng)計陣列的測量精度。

表5 待校正磁強(qiáng)計與標(biāo)準(zhǔn)參考磁強(qiáng)計的角度差

5 結(jié) 論

與單個磁強(qiáng)計相比，磁強(qiáng)計陣列能夠直接獲得多個位置的磁場信息，同時獲得不同位置的磁場變化規(guī)律，具有更高的可靠性。

隨著磁強(qiáng)計陣列的廣泛使用，本文針對其存在的姿態(tài)不一致問題進(jìn)行了建模校正，首先針對磁通門磁強(qiáng)計構(gòu)建了非正交、刻度因子系統(tǒng)誤差校正模型。在不忽略高階小量的情況下，得到九參數(shù)測量補(bǔ)償校正系數(shù)矩陣。在對磁強(qiáng)計進(jìn)行測量補(bǔ)償校正的基礎(chǔ)上，通過歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣搭建三維磁強(qiáng)計陣列一致性校正模型，分別進(jìn)行俯仰、橫傾、方位3種姿態(tài)變換。利用最小二乘法進(jìn)行求解，收斂速度快，計算精度高。實驗結(jié)果表明，經(jīng)過磁強(qiáng)計系統(tǒng)誤差校正后，磁場測量均方根誤差在10nT以內(nèi)，有效降低了磁通門磁強(qiáng)計的測量誤差。經(jīng)過一致性校正后，各軸測量角度誤差在0.01°以下，換算到磁場中為4.22nT以下，說明經(jīng)過校正后的磁強(qiáng)計陣列具有良好的一致性，有效解決了磁強(qiáng)計陣列姿態(tài)不一致導(dǎo)致的測量誤差。

本文建立的磁強(qiáng)計陣列的校正模型為大平面測磁陣列的一致性校準(zhǔn)提供了思路和方法，有利于提高磁強(qiáng)計陣列的測量精度。該模型對測磁陣列系統(tǒng)無特殊要求，誤差校正模型基于單磁通門磁強(qiáng)計而建立，因此適用于任何由三軸磁通門磁強(qiáng)計或加速度計構(gòu)成的陣列，具有很高的實用性。