王曉文

（比亞迪汽車工業(yè)有限公司，廣東深圳 518118）

0 引言

超聲波焊接以高效率、低損耗和清潔的特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于塑膠、紡織材料、輕金屬的焊接中。超聲波模頭直接與焊接材料相接觸是超聲波焊接中最易損壞的零件，所以模頭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)至關(guān)重要。頻率是超聲波模頭最重要的參數(shù)，模頭頻率與機(jī)箱頻率是否匹配直接決定了焊接效果[1]，生產(chǎn)中經(jīng)常出現(xiàn)因模頭頻率與機(jī)箱頻率不匹配而導(dǎo)致的虛焊、脫焊。而實(shí)際生產(chǎn)中模頭的頻率往往會(huì)隨著溫度的變化而變化，因此研究模頭頻率隨溫度變化的具體規(guī)律對(duì)超聲波焊接的設(shè)計(jì)生產(chǎn)意義重大。隨著新冠疫情的發(fā)展，口罩成為急缺的醫(yī)療物質(zhì)，為了滿足口罩的生產(chǎn)，比亞迪在短時(shí)間內(nèi)，在設(shè)備制造沒有任何經(jīng)驗(yàn)的情況下，通過夜以繼日的不懈努力，從零起步造出口罩。而超聲波振子機(jī)是口罩機(jī)的關(guān)鍵零部件，也是易損件，每條口罩機(jī)生產(chǎn)線都使用了至少8個(gè)超聲波振子，使得超聲波振子成為了這場(chǎng)戰(zhàn)役的關(guān)鍵。因此超聲波振子的品質(zhì)直接影響了口罩線的產(chǎn)能。而模頭又是超聲波振子上最易損壞的零件，所以模頭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)至關(guān)重要。

有關(guān)溫度對(duì)物體固有頻率的影響，大多集中在土木建筑領(lǐng)域[2-9}，對(duì)超聲波模頭并不適用。本文以超聲波模頭為研究對(duì)象，歸納出了溫度對(duì)超聲波模頭頻率的影響公式。

1 超聲波振子

最常用的超聲波振子為夾心式壓電超聲波振子，如圖1所示。夾心式結(jié)構(gòu)代表了換能器最經(jīng)典的結(jié)構(gòu)。換能器的工作原理[10]如下：通過壓電晶片的逆壓電效應(yīng)，使得超聲波發(fā)生器輸出的高頻電信號(hào)引起換能器內(nèi)部的高頻機(jī)械振動(dòng)，單個(gè)換能器超聲振動(dòng)可達(dá)到十幾微米的較小振幅。而在實(shí)際應(yīng)用中往往需要較大的超聲振幅，故而設(shè)計(jì)變幅桿，變幅桿與換能器前端相連，通過特殊結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)聚能作用，將換能器產(chǎn)生的質(zhì)點(diǎn)位移或振動(dòng)速度放大，變幅桿通常能將換能器前端較小的超聲振幅放大到幾十微米甚至幾百微米，放大后的振幅經(jīng)由變幅桿傳遞到其前端連接的工具頭，最終通過工具頭作用到工件上[11-12]。

圖1 夾心式超聲波振子結(jié)構(gòu)

2 超聲波模頭的設(shè)計(jì)

2.1 一維模型下超聲波模頭的高度計(jì)算

2.1.1 第一種推導(dǎo)方式

由經(jīng)典力學(xué)理論可知，物體的動(dòng)力學(xué)通用方程[11]為：

式中：[M]為質(zhì)量矩陣；[c]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣；{x}為位移矢量；{F(t)}為力矢量；{X'}為速度矢量；{X''}為加速度矢量。

其無阻尼固有頻率（在小阻尼情況下可以用無阻尼固有頻率近似代替阻尼固有頻率）為：

將超聲波模頭簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體，如圖2所示，則由材料力學(xué)可知超聲波模頭的縱向振動(dòng)剛度為：

圖2 超聲波模頭

式中：A為超聲波模頭的截面積；L為高度；E為彈性模量。

又有：

式中：ρ為超聲波模頭的密度。

合并式（2）、（3）、（4）得：

因超聲波模頭的高度L為工作頻率的半波長(zhǎng)，可得：

誤差分析：由于式（6）是按照無阻尼固有頻率計(jì)算得出，而實(shí)際超聲波模頭是存在阻尼（超聲波模頭為金屬材質(zhì)屬于結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)，阻尼較?。?，所以實(shí)際超聲波模頭的高度要低于式（6）的計(jì)算值，即超聲波模頭的阻尼越小越接近式（6）的計(jì)算值。

2.1.2 第二種推導(dǎo)方式

超聲波模頭的工作原理是利用與換能器共振來傳動(dòng)能量，只有當(dāng)模頭的高度為工作頻率半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)共振。

式中：c為一維縱向振動(dòng)的傳播速度；E為彈性模量；ρ為密度。

又由于：

式中：λ為波長(zhǎng)；H為振動(dòng)頻率。

綜合式（7）和（8）得：

因超聲波模頭的高度L為工作頻率的半波長(zhǎng)，則有：

式（10）為一維模型下超聲波模頭高度的計(jì)算公式。

2.1.3 模頭高度

超聲波模頭的常用材料為SKD11，下面以SKD11為例，計(jì)算工作頻率H=20 000 Hz時(shí)模頭高度L。

SKD11的材料參數(shù)：在20°時(shí)的彈性模量E20=210 GPa，密度ρ20=7 850 kg/m3。將上述參數(shù)代入式（10）得：

所以SKD11材質(zhì)超聲波模頭在工作頻率H=20 000 Hz，溫度為20℃時(shí)的高度為0.129 3 m。

2.2 一維模型下模頭升溫后的頻率計(jì)算

由于超聲波振子在工作時(shí)會(huì)有一部分能量轉(zhuǎn)換為熱量導(dǎo)致系統(tǒng)的溫度逐步升高，而溫度的升高會(huì)導(dǎo)致模頭頻率的變化，對(duì)升溫后的頻率進(jìn)行計(jì)算：

由式（6）得模頭升溫后的頻率：

分別計(jì)算模頭升溫后的高度L、密度ρ、彈性模量E。

式中：L為模頭升溫后的高度；α為熱膨脹系數(shù)；T為絕對(duì)溫度。

根據(jù)唯象理論，金屬材料彈性模量E隨溫度變化的關(guān)系如下：

式中：E0為金屬材料在絕對(duì)溫度T=0時(shí)的彈性模量。

由式（14）可知彈性模量E隨溫度線性變化（在低溫范圍內(nèi)）。

由于大部分材料的彈性模量是在室溫時(shí)測(cè)量的，所以把材料在20℃時(shí)的彈性模量E20代入式（14）得：

密度ρ隨溫度變化的關(guān)系如下：

式中：ρ20為材料在20℃（即313 K）時(shí)的密度。

將升溫后的高度L、密度ρ、彈性模量E代入公式（12）得：

上式為模頭的頻率隨溫度變化的公式，由公式得出模頭的頻率隨著溫度的升高而降低。圖3所示為模頭頻率變化曲線。熱膨脹系數(shù)α是影響其變化速度的關(guān)鍵因素，熱膨脹系數(shù)α越大，模頭的頻率隨溫度變化越大。表2所示為常用金屬材料的熱膨脹系數(shù)。表2所示為常用金屬材料的熱膨脹系數(shù)。

表2 常用金屬材料的熱膨脹系數(shù)

圖3 模頭頻率變化曲線

以SKD11，工作頻率在20000Hz為例進(jìn)行計(jì)算，則有：

SKD11的熱膨脹系數(shù)α=1.1×10-5/C°。

由上述公式計(jì)算得出模頭在不同溫度下的頻率變化，如表1所示。

表1 模頭頻率的公式計(jì)算值

由上述計(jì)算可知當(dāng)材質(zhì)為SKD11的模頭溫度由常溫20℃升溫到50℃時(shí)模頭的固有頻率會(huì)降低87.2 Hz，而超聲波振子系統(tǒng)的頻率主要由模頭來決定。所以如果此時(shí)機(jī)箱不及時(shí)追頻，會(huì)導(dǎo)致激勵(lì)頻率嚴(yán)重偏離模頭固有頻率，進(jìn)而導(dǎo)致模頭的振幅指數(shù)倍下降，繼而出現(xiàn)虛焊、脫焊等各種焊接不良現(xiàn)象。

3 Ansys軟件分析驗(yàn)證

用Ansys軟件計(jì)算不同溫度時(shí)模頭的頻率繼而驗(yàn)證式（22）的正確性。

3.1 初始三維模型求解

由于模頭的工作頻率為20 000 Hz，所以先在ANSYS中解出20℃時(shí)頻率為20 000 Hz的振子三維模型。如圖4所示。

圖4 20 000 Hz模頭振形

（1）在PROE中建立模頭的三維模型。

（2）將以下初始條件輸入有限元模型。模頭材質(zhì)以SKD11為例進(jìn)行計(jì)算，20℃時(shí)的材料屬性：彈性模量為2.10×1011Pa，泊松比為0.30，密度為7 850 kg/m3。

（3）在Ansys軟件中求解處模頭在工作方向的頻率，并調(diào)整模頭的高度使之在工作方向的頻率為20 000 Hz。求得模頭的高度為124.2 mm與式（6）計(jì)算出的129.3 mm相差5.1 mm，誤差率為4.1%。

3.2 計(jì)算模頭在升溫到50℃后的頻率

（1）在Proe中對(duì)模頭按照線膨脹率進(jìn)行三維縮放，模頭50℃時(shí)的膨脹率P=α( )T-313=3.3×10-4，如圖5所示。

圖5 Proe等比例縮放

（2）利用公式計(jì)算出SKD11在升溫到50℃后的彈性模量E50和密度ρ50，如下：

（3）將SKD11在升溫到50℃后的彈性模量E50和密度ρ50輸入Ansys軟件，并將縮放后的模頭三維模型導(dǎo)入Ansys。

（4）在Ansys中求解升溫后的模頭頻率如圖6所示。如圖所示，模頭在升溫到50℃后其頻率下降為19 913 Hz，降低了87 Hz這與一維模型中計(jì)算的數(shù)值相符合。

圖6 升溫后模頭頻率

用同樣的方法在Ansys中計(jì)算出其他溫度的頻率變化，如表4所示。表中，在Ansys中分析出的頻率變化值與一維模型中計(jì)算出的值基本相符。誤差分析：由于本模型中，模頭升溫后的形狀是按照等熱膨脹系數(shù)等比例放大，而實(shí)際模頭升溫后的形狀并不是等比例放大。但由于模頭形狀簡(jiǎn)單且升溫幅度較小，所以等比例放大與實(shí)際形狀的差別并不大，對(duì)計(jì)算的影響也較小。

表4 不同溫度的模頭頻率值

4 結(jié)束語

本文通過理論推導(dǎo)計(jì)算出了超聲波模頭頻率隨溫度變化公式，并用有限元方法進(jìn)行了驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：（1）模頭的頻率隨著溫度的升高而降低，隨溫度的降低而升高；（2）材料的熱膨脹系數(shù)α是影響其變化速度的關(guān)鍵因素，熱膨脹系數(shù)α越大，模頭的頻率隨溫度變化越大。

而超聲波振子工作時(shí)發(fā)出的熱量及環(huán)境溫度的變化都會(huì)引起模頭溫度的變化，超聲波模頭的頻率是隨著溫度的變化而在動(dòng)態(tài)變化中。所以超聲波控制箱的輸出頻率一定要隨著模頭頻率的變化而不斷調(diào)整，始終和模頭頻率保持一致，即具有追頻功能。