趙志偉, 楊 柳, 謝立典, 葛 超

(1.華北理工大學 電氣工程學院, 河北 唐山063210; 2.唐山學院 人工智能學院, 河北 唐山063000; 3.石家莊海山實業(yè)發(fā)展總公司, 河北 石家莊 050200)

1 引 言

T-S模糊模型已經(jīng)成為研究非線性系統(tǒng)的一個基礎(chǔ)性工具,由于非線性系統(tǒng)建模困難,使其無法結(jié)合成熟的線性系統(tǒng)理論知識,但是通過T-S模糊模型的應(yīng)用,可以將非線性系統(tǒng)表示成局部線性的形式,再通過隸屬度函數(shù)將局部線性模型平滑的連接起來[1～3],可以達到任意精度的近似。另一方面,模型不可避免的會出現(xiàn)由于外部環(huán)境的意外擾動和模型執(zhí)行過程中網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的隨機故障所導致的不確定性。這些都促使對帶有不確定性的模糊系統(tǒng)的相關(guān)問題進行研究[4,5]。得益于數(shù)字技術(shù)的深入發(fā)展,以及它安裝成本節(jié)約,實現(xiàn)簡單,導致了抽樣控制的快速發(fā)展[2,3,6],抽樣控制只需要抽樣時刻的值,如果獲得更大的抽樣間隔,則意味更少的數(shù)據(jù)總量。同時,也加入了狀態(tài)量化。它優(yōu)點在于可以提升帶寬的使用效率,提高抗干擾性能,因此量化也被廣泛地應(yīng)用在T-S模糊系統(tǒng)當中[7,8]。在上述的量化工作中,多維LKFs都有涉及,并且將隸屬度函數(shù)加入到LKF當中,確實可以降低結(jié)果的保守性[9～11]。因此,如果隸屬度函數(shù)和實際的抽樣間隔的信息使用的更為充分的話,保守性會進一步降低。

本文主要完成工作如下:1)設(shè)計了一個新型的依賴于FMFs的環(huán)形LKF,并且泛函并不嚴格要求所有項的正定性。此外,還添加了采樣間隔兩側(cè)的狀態(tài)信息。2)對LKF進行求導時,對FMFs的導數(shù)的正負性進行了討論寫出了限制條件,保證了導數(shù)中出現(xiàn)的隸屬度函數(shù)和系數(shù)的乘積項的負定性,并且將約束條件寫入到穩(wěn)定性判據(jù)當中。3)相比較杰森不等式,使用引理1中的放縮交叉項時可以取得更為接近的上界取值。以及利用基于松弛自由矩陣積分不等式和凸組合方法等數(shù)學處理技巧,建立了以LMI形式表達的穩(wěn)定性判據(jù)。

2 模糊模型與問題陳述

假設(shè)利用T-S模糊模型來表示非線性系統(tǒng),得到的系統(tǒng)的表達。

模糊規(guī)則i:ifζi(t)isμi1…, andζg(t)isμigthen

(1)

式中:i∈Rn,即x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量;u(t)∈Rm,即u(t)=[u1(t),u2(t),…,um(t)]T為系統(tǒng)的控制輸入,Rn、Rm為n、m維歐幾里德空間;常數(shù)矩陣Ai,Bi∈Rn×n,Rn×m為n×m空間;ζ(t)=[ζ1(t),ζ2(t),...,ζg(t)]代表前件變量;μif(i=1,2,...,r,f=1,2,...,g)代表模糊集；i代表第i條模糊規(guī)則;r為模糊規(guī)則的個數(shù)。ΔAi和ΔBi為減少模型誤差，引入的不確定系數(shù),且:

[ΔAiΔBi]=HiFi[EaiEbi]

(2)

通過進行單點模糊化，乘積推理機以及中心平均模糊處理，是歸一化后的隸屬度函數(shù)為:

系數(shù)歸一化后的系統(tǒng)模型的表達式為:

(Bi+ΔBi)u(t)]

(3)

控制器規(guī)則j:ifζ(t)isμj1,…,andζg(t)isμjgthen

u(t)=Kjq(x(tk))

(4)

量化器的表達式為:q(·)=[q1(·),q2(·),…,qm(·)]T, 用v表示某一級量化器,每一級量化器都滿足對稱性?？杀硎?qv(xv(tk))=-qv(-(xv(tk))),v∈{1,2,...,n}。

qv(x(tk))=

q(x(tk))=x(tk)+f(x(tk))

式中:f(x(tk))=[f1(x1(tk)),…,fn(xn(tk))]，且-lv[xv(t_k)]2≤xv(tk)fv(xv(tk))≤lv[xv(tk)]2。

整體的模糊抽樣狀態(tài)反饋控制器模型為:

(5)

假定2個抽樣間隔之間的關(guān)系滿足：

tk+1-tk=hk≤h

(6)

式中:hk為2個相鄰采樣時刻的間隔;h為最大采樣間隔的大小。hk、h均為常數(shù)。

將(5)代入到(1)當中,可以得到閉環(huán)模糊系統(tǒng)的表達式:

(Bi+ΔBi)Kj(x(tk)+f(x(tk))]}

(7)

約定1:已知λj(t),λj(tk)∈[0,1]，那么可以推導出|λj(t)-λj(tk)|≤γj,0≤γj≤1。

引理1[12]定義x(t)為可導函數(shù)：[t1,t2]→Ra對于一個向量ξ∈Rb>0,對稱矩陣R(∈Rb×b)>0和N1,N2∈Rn×m,建立不等式：

引理2[13]對于α∈(0,1),G∈Ra×a>0,M1,M2∈Ra×b,以及ζ∈Rb,定義函數(shù)：

引理3[14]對于給定的b1>0,b2>0,如果存在模糊化隸屬度函數(shù)相關(guān)的Lyapunov函數(shù)w(t,x(t)),滿足下面3個約束條件,那么對于任意的?t∈[tk,tk+1),則可以式(7)所示判定模糊系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的。

3 定理1

為T-S模糊系統(tǒng)建立了穩(wěn)定性定理條件,為了簡化表達,引入了下面的符號:

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：i=1,…,r-1;

Γ2ij=[EAi,EBiKj,0,EB,iKj,0,0,0]。

證明：建立如下的Lyapunov 函數(shù):

V1(t,x(t))=xT(t)P(t)x(t)

(12)

(13)

(14)

(15)

沿式(7)所示軌跡對w(t,x(t))對時間求導可以得到：

(16)

(17)

(18)

(19)

利用引理2,可得到:

(20)

(21)

(22)

另外,對于任意適當維度的 ,有:

(23)

綜合式(16)～式(23),得到:

(24)

使用文獻[10]的方法,可以得到:

(25)

(26)

(27)

結(jié)合shur補和引理4,式(26)和式(27)可以由式(10)和式(11)表示。當式(8)～式(11)成立,引理3條件滿足,可以判定式(7)所示系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性成立。

4 定理2 控制器設(shè)計

(28)

(29)

(30)

(31)

式中:

證明:設(shè)置w=ε1e1TG+ε2e2TG+e6T,ε1,ε2為標量參數(shù),

5 推 論

(32)

(33)

(34)

其他符號都與定理2中定義的符號一致,控制器的參數(shù)可由下面的式子得到：

6 數(shù)字例子

圖1顯示的是倒立擺系統(tǒng)的模型。倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

圖1 倒立擺系統(tǒng)模型

用T-S模糊模型表示倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

倒立擺系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)為:

λ2(x1(t))=1-λ1(x1(t))

表1是文獻[15]等與推論中最大抽樣間隔對比結(jié)果。可以看出,推論抽樣間隔上界是提升的,從這個層面來看,保守性是降低了的。得到控制器參數(shù)后,再借助MATLAB可以得到圖2和圖3的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制器的響應(yīng)曲線。由圖2和圖3看出,這種控制方法可以實現(xiàn)系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性。對比文獻[11]的Example2的狀態(tài)響應(yīng)曲線,文獻[11]收斂時間為17 ms,而本文的收斂時間約為12 ms,因此本方法具有較低的保守性。

表1 不同方法得到的最大抽樣間隔的對比

圖2 系統(tǒng)的控制器響應(yīng)曲線

圖3 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

7 總 結(jié)

通過建立一個依賴隸屬度函數(shù)的李雅普諾夫泛數(shù)，研究了帶有參數(shù)不確定和量化的T-S 模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題。在求導過程中，對隸屬度函數(shù)的時間導數(shù)的正負性進行了討論，得到了穩(wěn)定性約束，寫入穩(wěn)定性定理當中，同時采用了保守性更低的數(shù)學處理手段，這些都減小了在控制器設(shè)計時引入的誤差。從結(jié)果來看，在泛函中加入隸屬度函數(shù)的設(shè)計，在提升最大抽樣間隔的作用是比較明顯的。在未來的工作中，可以在系統(tǒng)中加入耗散性的思考，以及更多的最優(yōu)控制方法來降低保守性，減少能量損耗，提升系統(tǒng)性能。