智洪欣， 趙鵬， 李中， 彭祥新， 魯旭陽， 王琛

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院鄭州校區(qū)， 河南 鄭州 450052)

0 引言

火力分配(WTA)作為防空作戰(zhàn)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，能夠依據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)、戰(zhàn)場實(shí)時(shí)態(tài)勢及武器裝備性能等因素，將空中來襲目標(biāo)合理地分配給各防空火力單元，實(shí)現(xiàn)作戰(zhàn)效益最大化。因此，WTA問題是關(guān)系到作戰(zhàn)效能的決定性因素之一。

WTA問題主要涉及兩個(gè)步驟：一是綜合各種戰(zhàn)場因素進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建合理的目標(biāo)函數(shù)和約束條件；二是根據(jù)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，采用合適的最優(yōu)化方法進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算。其中，數(shù)學(xué)建模是核心，最優(yōu)化計(jì)算是關(guān)鍵。針對這兩個(gè)步驟，已有大量研究，取得了豐碩成果。

文獻(xiàn)[2-5]提出了以聯(lián)合毀傷概率最大為目標(biāo)的WTA模型，但是該模型忽視了火力資源消耗情況，在追求聯(lián)合毀傷概率最大的同時(shí)易造成火力資源浪費(fèi)，致使防空系統(tǒng)無法提供持續(xù)有效的防空作戰(zhàn)能力。針對這一問題，文獻(xiàn)[6]在傳統(tǒng)模型中引入了聯(lián)合毀傷概率均值，即將聯(lián)合毀傷概率除以分配的火力單元總數(shù)，以盡可能少的火力資源消耗取得滿足閾值的聯(lián)合毀傷概率。文獻(xiàn)[7]構(gòu)建了一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化模型，同時(shí)將最大聯(lián)合毀傷概率和最小分配火力單元數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[8-10]通過設(shè)置約束條件限制攔截同一目標(biāo)的火力單元數(shù)，盡可能減少火力資源消耗。文獻(xiàn)[6-10]單純從數(shù)量上限制火力資源消耗，未考慮目標(biāo)距離所分配火力單元射擊區(qū)的距離，即未考慮目標(biāo)到火力單元的飛臨時(shí)間，生成的分配方案易貽誤戰(zhàn)機(jī)。針對該問題，文獻(xiàn)[11]提出一種基于先期毀傷準(zhǔn)則的WTA模型，在保證聯(lián)合毀傷概率的前提下，以盡量少的火力資源消耗優(yōu)先攔截飛臨時(shí)間短的目標(biāo)。文獻(xiàn)[2-11]分別提出了基于不同約束條件最大化聯(lián)合毀傷概率的WTA模型，然而這些模型都忽略了一個(gè)事實(shí)：只有在防空武器對來襲空中目標(biāo)可以射擊的前提下，計(jì)算聯(lián)合毀傷概率、約束火力資源消耗、約束目標(biāo)飛臨時(shí)間等才有實(shí)際意義。

另外，WTA問題本質(zhì)上是整數(shù)型非線性組合優(yōu)化問題，屬于一種NP難問題，目前常用群智能優(yōu)化算法求解。文獻(xiàn)[2]采用遺傳算法求解WTA問題。文獻(xiàn)[11]提出了一種混沌和粒子群混合優(yōu)化算法，以提高算法的全局搜索能力。文獻(xiàn)[12]改進(jìn)了布谷鳥算法，引入了移民算子和柯西變異算子等，采用貪婪方式逐維更新，以提高算法的局部和全局搜索能力。綜合分析這些算法，都不同程度地存在易陷入局部最優(yōu)值、收斂速度慢或者算法設(shè)計(jì)復(fù)雜、實(shí)現(xiàn)困難等問題，不能滿足戰(zhàn)場實(shí)際要求，有待進(jìn)一步提升。Faramarzi等受控制容積質(zhì)量平衡物理現(xiàn)象的啟發(fā)，提出了一種新的智能優(yōu)化算法，平衡優(yōu)化器(EO)算法。該算法控制參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)，在多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試中表現(xiàn)出較高的優(yōu)化性能。然而，該算法未能有效平衡全局搜索與局部搜索能力，在一定程度上限制了算法的收斂速度，且增大了尋得全局最優(yōu)值的難度。

針對以上問題，本文提出一種基于可射擊概率約束的WTA模型，該模型在基于先期毀傷準(zhǔn)則模型的基礎(chǔ)上，引入了基于空襲強(qiáng)度和火力單元轉(zhuǎn)火時(shí)間的可射擊概率約束，從而使模型更貼近戰(zhàn)場實(shí)際。在此基礎(chǔ)上，提出一種非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)EO算法。該算法首先采用Tent映射方法代替原算法中的隨機(jī)方法初始化種群，實(shí)現(xiàn)種群多樣性；其次，在位置更新公式中引入非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重，來平衡算法的全局搜索和局部搜索能力，加快收斂速度、提高求解精度。

1 基于可射擊概率約束的WTA模型

假設(shè)在某次防空戰(zhàn)斗中有批來襲空中目標(biāo)，編號(hào)為(=1,2,…,)，進(jìn)入個(gè)火力單元的責(zé)任防區(qū)，編號(hào)為(=1,2,…,)。令表示決策變量，其含義為：若分配火力單元攔截來襲空中目標(biāo)，則=1，否則=0；令表示火力單元攔截來襲空中目標(biāo)的毀傷概率，為火力分配方案對目標(biāo)的聯(lián)合毀傷概率，則

(1)

(2)

該模型在確保滿足聯(lián)合毀傷概率閾值的前提下，以盡量少的火力資源消耗，優(yōu)先分配威脅度大、飛臨時(shí)間短的目標(biāo)。但是，該模型忽略了聯(lián)合毀傷概率只有在火力單元對來襲空中目標(biāo)可以射擊的前提下才有實(shí)際意義的事實(shí)。因此，本文提出一種基于可射擊概率約束的WTA模型。

(3)

令表示空襲強(qiáng)度，根據(jù)排隊(duì)論中的愛爾蘭公式可得分配方案的可射擊概率為

(4)

則基于可射擊概率約束的WTA模型為

(5)

式中：為可射擊概率閾值，可由指揮員根據(jù)戰(zhàn)場態(tài)勢確定。

從(5)式中可以看出，該模型保存了原基于先期毀傷準(zhǔn)則模型的優(yōu)勢，即在滿足聯(lián)合毀傷概率閾值的前提下，以盡量少的火力資源消耗，優(yōu)先分配威脅度大、飛臨時(shí)間短的目標(biāo)。同時(shí)也引入了基于空襲強(qiáng)度和火力單元轉(zhuǎn)火時(shí)間的可射擊概率，使聯(lián)合毀傷概率計(jì)算具有實(shí)際意義，使模型更貼近戰(zhàn)場實(shí)際。

由于(5)式帶有非線性約束，在最優(yōu)化計(jì)算過程中屬于求解有約束的優(yōu)化問題，本文采用罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解無約束優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)罰函數(shù)如下：

(6)

式中：為罰參數(shù)，表示懲罰的力度，開始為一個(gè)較小的正數(shù)，隨著迭代次數(shù)逐漸增加到一個(gè)很大的值。

因此，把求有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下求解無約束優(yōu)化問題：

(7)

(7)式是一個(gè)無約束優(yōu)化問題，求得的最優(yōu)解會(huì)使、和為0，因此(7)式的最優(yōu)解是(5)式的最優(yōu)解。

2 基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的EO算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)EO算法

EO算法是一種模擬環(huán)境工程中控制容積完全混合(流入和流出控制體積的體積流量相同)的質(zhì)量動(dòng)態(tài)平衡物理現(xiàn)象(質(zhì)量衡算)的智能優(yōu)化算法，將控制容積內(nèi)的濃度作為問題的解。

完全混合的質(zhì)量動(dòng)態(tài)平衡常用質(zhì)量平衡方程描述為

(8)

式中：為控制容積；為控制容積內(nèi)的濃度；為流入、流出控制容積的流體體積；為平衡狀態(tài)(控制容積內(nèi)無質(zhì)量生成)下的濃度；為控制容積內(nèi)的質(zhì)量生成速率。

(8)式描述了控制容積中質(zhì)量流入、流出和生成過程中動(dòng)態(tài)平衡的內(nèi)在機(jī)理，對該1階微分方程求解，可得

(9)

式中：為控制容積在時(shí)刻的濃度，即初始濃度；為指數(shù)項(xiàng)；′為流動(dòng)率。

EO算法將(9)式進(jìn)行優(yōu)化改造后作為解向量更新公式，改造后的公式為

(10)

式中：為迭代次數(shù)；為當(dāng)前解；為全局最優(yōu)解；+1為更新后的解；′表示取值范圍為[0，1]的隨機(jī)數(shù)向量。

算法將當(dāng)前4個(gè)最優(yōu)解(,,,)以及它們的均值()組成平衡池：={,,,,}，在迭代計(jì)算中，(10)式中的全局最優(yōu)解以相同概率從平衡池中選擇，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力。

為加強(qiáng)算法的局部搜索能力，算法將質(zhì)量生成速率設(shè)計(jì)為

(11)

式中：為生成速率控制參數(shù)；為取值范圍為(0，1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)向量；為(0，1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

同時(shí)為了平衡算法的局部搜索和全局搜索能力，改造為

(12)

式中：為控制全局搜索能力的常系數(shù)，設(shè)置為2；sign(·)為符號(hào)函數(shù)；為取值范圍為[0，1]的隨機(jī)數(shù)向量；為最大迭代次數(shù)；為控制局部搜索能力的常系數(shù)，設(shè)置為1，EO算法通過和平衡全局搜索和局部搜索能力。

2.2 基于混沌序列的初始方法

有研究表明，初始種群對智能優(yōu)化算法的優(yōu)化效率有較大影響，分布均勻、多樣性好的初始種群可以提高算法的收斂速度乃至提高算法的求解精度。然而，EO算法采用在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成的方式產(chǎn)生初始種群。這種隨機(jī)生成的方式容易導(dǎo)致初始種群分布不均勻、多樣性差。針對這一不足，本文提出使用Tent混沌映射產(chǎn)生初始種群，增強(qiáng)種群的多樣性，從而提高算法效率。

Tent混沌映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(13)

式中：為生成的混沌序列；為種群數(shù)量；為解的維度。

利用Tent混沌映射產(chǎn)生初始種群的主要思路是：首先根據(jù)(13)式生成混沌序列，然后將生成的混沌序列線性映射到解空間作為算法的初始種群。Tent混沌映射具有較好的遍歷均勻性和隨機(jī)性，因此使用Tent混沌映射產(chǎn)生的初始種群可以提高優(yōu)化算法性能。

2.3 非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重

通常，智能優(yōu)化算法在初期側(cè)重于全局搜索，以便快速到達(dá)最優(yōu)解附近；在后期則側(cè)重于局部搜索，在最優(yōu)解附近進(jìn)行精確搜索。因此，算法性能在很大程度上取決于平衡全局搜索和局部搜索的能力。EO算法主要通過指數(shù)項(xiàng)來平衡，然而從解更新公式(10)式中可以看到，只作用于后兩項(xiàng)，算法完全繼承了最優(yōu)解，僅依靠并不能有效平衡算法的局部搜索能力和全局能力。因此，本文提出在解更新公式(10)式中引入非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重，作用于最優(yōu)解，與指數(shù)項(xiàng)配合共同協(xié)調(diào)算法的局部搜索和全局搜索能力，從而提高算法的性能。

基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的解更新公式為

(14)

(15)

式中：和分別為慣性權(quán)重的初值和終值，本文設(shè)置為09和04，則隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖1所示。

圖1 慣性權(quán)重變化曲線Fig.1 Change curve of inertia weight

從圖1中可以看出，慣性權(quán)重是迭代次數(shù)的非線性遞減函數(shù)，在迭代初期和迭代末期遞減速度相對較慢，從而使算法在迭代初期的一段時(shí)間能夠保持較大的慣性權(quán)重，增強(qiáng)了算法全局搜索能力；在迭代后期的一段時(shí)間保持了較小的權(quán)重，增強(qiáng)了算法的局部搜索能力。由此可見，非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重提高了算法平衡局部搜索和全局搜索的能力，進(jìn)而提高了算法的性能。

本文提出的改進(jìn)EO算法流程圖(見圖2)主要步驟如下：

種群數(shù)量，迭代次數(shù)，解的維度；

全局最優(yōu)解以及相應(yīng)的適應(yīng)度值。

初始化參數(shù)，=2，=1，=09，=04，=1，=-inf，=-inf，=-inf，=-inf

圖2 基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的EO算法流程圖Fig.2 Flow chart of EO algorithm based on nonlinear adaptive inertia weight

使用Tent映射在解空間內(nèi)產(chǎn)生初始種群。

計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

比較適應(yīng)度值，計(jì)算并更新平衡池：

={,,,,}。

以02的概率從平衡池中隨機(jī)選出全局最優(yōu)解

分別生成隨機(jī)數(shù)向量′、、和隨機(jī)數(shù)

依據(jù)(11)式計(jì)算質(zhì)量生成速率，依據(jù)(12)式計(jì)算指數(shù)項(xiàng)，依據(jù)(15)式計(jì)算慣性權(quán)重

依據(jù)(14)式更新種群。

=+1

判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到則停止計(jì)算，輸出最優(yōu)解以及相應(yīng)的適應(yīng)度值；否則，轉(zhuǎn)步驟3。

3 算例仿真計(jì)算及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文基于可射擊概率的WTA模型的優(yōu)點(diǎn)，以及所提基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重EO算法的有效性，進(jìn)行算例仿真計(jì)算。

3.1 仿真設(shè)置

仿真配置為Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU，8 GB內(nèi)存，Windows 7操作系統(tǒng)，利用MATLAB 2019b軟件進(jìn)行仿真計(jì)算。

假設(shè)在某次防空戰(zhàn)斗中有8批來襲空中目標(biāo)，進(jìn)入10個(gè)火力單元的責(zé)任防區(qū)，各個(gè)目標(biāo)的威脅度為=[060 070 035 056 081 076 066 083]，目標(biāo)到火力單元的飛臨時(shí)間為

各火力單元對來襲目標(biāo)的毀傷概率為

各火力單元的轉(zhuǎn)火時(shí)間為

空襲強(qiáng)度設(shè)置為與來襲空中目標(biāo)數(shù)相同：=8架min；預(yù)期聯(lián)合毀傷概率閾值設(shè)置為08，可射擊概率閾值設(shè)置為07，種群數(shù)設(shè)置為30，最大迭代次數(shù)為300

3.2 仿真計(jì)算結(jié)果及分析

3.2.1 模型有效性驗(yàn)證

分別基于本文提出的基于可射擊概率約束的防空火力分配模型(以下簡稱Model 1)以及文獻(xiàn)[11]提出的防空火力分配模型(以下簡稱Model 2)，使用改進(jìn)的EO算法進(jìn)行火力優(yōu)化分配，分配結(jié)果如表1、表2所示。

表1 Model 1的分配方案

表2 Model 2的分配方案

從表1和表2中可以看到，Model 1和Model 2均能夠約束火力資源消耗，分別選用8個(gè)火力單元攔截來襲的8個(gè)目標(biāo)，節(jié)約火力資源，為防空系統(tǒng)提供持續(xù)作戰(zhàn)能力。兩種分配方案的聯(lián)合毀傷概率和性能分別如表3、表4所示。

表3 分配方案聯(lián)合毀傷概率

表4 分配方案性能

從表3中可以看到，兩種模型的分配方案均滿足設(shè)定的聯(lián)合毀傷概率閾值0.8. 從表4中可以看出：Model 1分配方案的可射擊概率為0.71，滿足指揮員設(shè)定的閾值要求，但是Model 2分配方案的可射擊概率為0.60，沒有達(dá)到設(shè)定的閾值；Model 1分配方案的平均飛臨時(shí)間和平均轉(zhuǎn)火時(shí)間均比Model 2分配方案的短，表明Model 1在可射擊概率的約束下，能夠有效平衡聯(lián)合毀傷概率和平均轉(zhuǎn)火時(shí)間，且能夠優(yōu)先使用反應(yīng)快的火力單元攔截飛臨時(shí)間短的目標(biāo)。上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的基于可射擊概率約束的WTA模型優(yōu)點(diǎn)。

3.2.2 優(yōu)化算法有效性驗(yàn)證

為檢驗(yàn)本文提出的基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重EO算法的性能，分別使用原始EO算法和改進(jìn)后EO算法進(jìn)行仿真計(jì)算，最大迭代次數(shù)為300，種群數(shù)量為30，算法隨迭代次數(shù)的收斂情況如圖3所示，算法最優(yōu)適應(yīng)度值如表5所示。

圖3 適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)的變化Fig.3 Change of fitness with iterations

表5 算法的最優(yōu)適應(yīng)度值

從圖3以及表5中可以看出，改進(jìn)后EO算法和原始EO算法均能收斂至全局最優(yōu)解，然而改進(jìn)后EO算法在收斂速度上和適應(yīng)度值上都明顯優(yōu)于原始算法，表明非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重能夠有效平衡算法的局部與全局搜索能力，從而提高算法的尋優(yōu)效率。

3.2.3 與其他WTA優(yōu)化算法比較

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，分別與粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法進(jìn)行對比計(jì)算。其中，遺傳算法中的雜交概率設(shè)置為0.9，變異概率設(shè)置為0.04，粒子群優(yōu)化算法的學(xué)習(xí)因子設(shè)置為2.05，3種算法的最大迭代次數(shù)均設(shè)置為300，種群數(shù)量均設(shè)置為30。各算法隨迭代次數(shù)的收斂情況如圖4所示。

圖4 與其他WTA優(yōu)化算法對比Fig.4 Comparison of the proposed algorithm and other WTA optimization algorithms

從圖4中可見：本文所提算法收斂速度最快，遺傳算法次之，粒子群優(yōu)化算法最慢；本文所提算法最優(yōu)適應(yīng)度值優(yōu)于粒子群優(yōu)化算法，粒子群優(yōu)化算法優(yōu)于遺傳算法，表明本文所提算法在收斂速度和最優(yōu)適應(yīng)度值兩方面均優(yōu)于粒子群優(yōu)化算法和遺傳算法，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的EO算法的有效性。

4 結(jié)論

本文針對WTA問題建模中未考慮可射擊因素的問題，建立一種基于可射擊概率約束的防空作戰(zhàn)火力優(yōu)化分配模型；提出了一種基于非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)平衡優(yōu)化器優(yōu)化算法，對該模型進(jìn)行求解。通過仿真實(shí)驗(yàn)，得到以下結(jié)論：

1)在WTA模型中加入可射擊概率約束，可在模型中融入影響防空作戰(zhàn)的空襲強(qiáng)度、火力單元轉(zhuǎn)火時(shí)間等多種因素，使WTA模型更加貼近戰(zhàn)場實(shí)際。仿真結(jié)果表明，該模型能夠在保證滿足可射擊概率和聯(lián)合毀傷概率閾值的前提下，優(yōu)先使用反應(yīng)快的火力單元攔截飛臨時(shí)間短的目標(biāo)，并盡量減少火力資源消耗，為防空系統(tǒng)提供持續(xù)作戰(zhàn)能力。

2)優(yōu)化算法在初期側(cè)重于全局搜索，在后期則側(cè)重于局部搜索，非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重能夠引導(dǎo)EO算法更好地平衡局部搜索和全局搜索能力，進(jìn)而提高尋優(yōu)能力。