一道清華強(qiáng)基題的思考

?安徽省毫州市渦陽(yáng)縣第二中學(xué) 龔莉莉

1 引言

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要、最基本的內(nèi)容之一，因此以三次函數(shù)、三次方程等為問(wèn)題背景的試題已經(jīng)成為高考、聯(lián)賽等命題的高頻考點(diǎn)之一，倍受關(guān)注．

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題(2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷第4題)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得x3-ax-1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

3 問(wèn)題剖析

此題以含參的三次方程為問(wèn)題背景，結(jié)合對(duì)應(yīng)三次方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解來(lái)巧妙設(shè)置，利用三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．

破解問(wèn)題的關(guān)鍵就是合理轉(zhuǎn)化題目條件中相應(yīng)的三次方程，或分離參數(shù)，或巧妙構(gòu)造，借助導(dǎo)數(shù)工具，利用求導(dǎo)處理，通過(guò)對(duì)應(yīng)函數(shù)(特別是三次函數(shù))的圖象與性質(zhì)的確定，結(jié)合三次方程的根的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合，得以破解對(duì)應(yīng)問(wèn)題．在此基礎(chǔ)上，總結(jié)相應(yīng)的解題規(guī)律，拓展思維，提升品質(zhì)，提高能力．

4 問(wèn)題破解

方法1：分離參數(shù)法.

x -∞,-132 -132 -132,0 (0,+∞)f'(x)-0++f(x)↘極小值↗↗

且當(dāng)x→0-時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)，f(x)→-∞；

圖1

由此作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖1所示.

故選擇答案：B．

點(diǎn)評(píng):根據(jù)題目條件進(jìn)行分離參數(shù)處理，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)的變化趨勢(shì)確定函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)的取值范圍．巧妙分離參數(shù)，借助函數(shù)的數(shù)學(xué)建模，化抽象為直觀，數(shù)形結(jié)合，直觀破解．

方法2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義法.

解析：由x3-ax-1=0，可得x3=ax+1.

那么，恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x3-ax-1=0成立?直線y=ax+1與函數(shù)y=x3的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn).

下面直接考察直線y=a0x+1與曲線y=x3相切的情況，此時(shí)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(t，t3).

由y=x3，求導(dǎo)可得y′=3x2.

則有t3=a0t+1，且3t2=a0，解得

故選擇答案：B．

點(diǎn)評(píng):將對(duì)應(yīng)的三次方程轉(zhuǎn)化為直線與三次函數(shù)的曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，考察直線與曲線相切的情況，通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，通過(guò)直線與三次曲線的位置關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的取值范圍．構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過(guò)求導(dǎo)處理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系式，代數(shù)運(yùn)算，邏輯推理，有效破解．

方法3：分類討論法.

解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-ax-1，求導(dǎo)有f′(x)=3x2-a.

當(dāng)a≤0時(shí)，恒有f′(x)≥0，結(jié)合三次函數(shù)的圖象知方程x3-ax-1=0恰有一個(gè)實(shí)根，滿足題目條件；

王振輝認(rèn)為，相較于其他網(wǎng)絡(luò)，GSSC有兩個(gè)特點(diǎn)。第一，京東物流是一個(gè)有自己六大網(wǎng)絡(luò)的物流企業(yè)，本身就是一家物流企業(yè)。第二，京東物流會(huì)從兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行建設(shè)，一方面是技術(shù)智能化平臺(tái)的建設(shè)，另一方面，是做通路網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)，因?yàn)榫〇|物流就是通路網(wǎng)絡(luò)的實(shí)施者和運(yùn)營(yíng)者，所以在通路網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)當(dāng)中，會(huì)和其他的合作伙伴一起來(lái)建設(shè)通路網(wǎng)絡(luò)。

x -∞,-a3 -a3 -a3,a3 a3 a3,+∞ f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

圖2

故選擇答案：B．

點(diǎn)評(píng):直接根據(jù)三次方程構(gòu)造函數(shù)模型，結(jié)合求導(dǎo)處理，通過(guò)參數(shù)的分類討論，在a>0時(shí)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過(guò)三次圖象與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，確定函數(shù)的極大值小于0得以確定參數(shù)的取值范圍．直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，結(jié)合參數(shù)的分類討論，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合極值建立不等式來(lái)分析與處理．

5 變式拓展

探究1：根據(jù)以上問(wèn)題及其破解過(guò)程，保留問(wèn)題背景與考查的數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，合理改變?nèi)畏匠痰母膫€(gè)數(shù)，由“恰有一個(gè)實(shí)數(shù)”改變?yōu)椤扒∮袃蓚€(gè)(或三個(gè))實(shí)數(shù)”，得到以下兩個(gè)對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題．

變式1：恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)x使得x3-ax-1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

答案：C．

變式2：恰有三個(gè)實(shí)數(shù)x使得x3-ax-1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

答案：D．

以上兩個(gè)變式問(wèn)題的破解，可以參照原問(wèn)題的方法1加以分離參數(shù)法處理，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)處理，數(shù)形結(jié)合直觀等步驟與方法來(lái)處理與解決．這里不多加以敘述．當(dāng)然，可以進(jìn)一步結(jié)合邏輯用語(yǔ)(如“至少”“至多”等)來(lái)確定三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題，合理構(gòu)建，對(duì)應(yīng)變式，綜合拓展．

6 教學(xué)啟示

6.1 方法總結(jié)，技巧歸納

在具體破解此類問(wèn)題時(shí)，有時(shí)直接利用方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)或函數(shù)自身加以直接分類討論；有時(shí)通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)來(lái)分析與處理；有時(shí)通過(guò)分離參數(shù)法加以巧妙轉(zhuǎn)化等．無(wú)論采用何種方法切入與應(yīng)用，往往都離不開求導(dǎo)運(yùn)算，通過(guò)求導(dǎo)處理，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)或其他相關(guān)函數(shù)類型，借助對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等來(lái)分析處理．

6.2 考點(diǎn)類型，能力提升

利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)解決與函數(shù)零點(diǎn)、方程實(shí)根等有關(guān)問(wèn)題，一直是歷年高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題背景設(shè)置各異，變化多端，求解的形式與方法也各不相同．熟練掌握基本題型，把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力．Z