基于Kriging模型與NSGA-II算法的堆垛機結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

楊瑞剛，高 林，董 青，徐格寧

（太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024）

1 引言

隨著物流倉儲的快速發(fā)展，巷道式堆垛機應時代而生，巷道式堆垛機作為物流倉儲的專用堆垛機，是物流倉儲中最要的搬運設備。隨著用地面積的緊張，堆垛機正向高速度和大高度方向發(fā)展，這對堆垛機的設計提出更高的要求，針對國內(nèi)的堆垛機性能指標落后，結(jié)構(gòu)不合理、笨重等特點［1］，提出了對現(xiàn)有堆垛機結(jié)構(gòu)在滿足結(jié)構(gòu)強度、剛度、穩(wěn)定性條件下的快速優(yōu)化設計。

雙高雙立柱式堆垛機在啟動，加速運行，停止時，堆垛機金屬結(jié)構(gòu)受到各種載荷作用，易發(fā)生撓曲變形，產(chǎn)生局部應力集中［2］，故對堆垛機結(jié)構(gòu)優(yōu)化就顯得異常重要。文獻［2］通過運用參數(shù)化建模運用ANSYS求解，以立柱頂部撓度和立柱根部應力為優(yōu)化目標，通過改變單個設計參數(shù)尋優(yōu)，具有一定局限性，容易陷入局部最優(yōu)。文獻［1］通過運用MOGA遺傳算法對單立柱堆垛機設置不同的約束條件進行靜態(tài)優(yōu)化。但由于設計參數(shù)較少，當設計參數(shù)關系復雜時，對其進行直接優(yōu)化，工作量巨大，效率極低。而代理模型可以減少調(diào)用真實模型次數(shù)，提高優(yōu)化效率，文獻［3］運用Kriging模型和穩(wěn)健性設計相結(jié)合對乘務員約束系統(tǒng)進行穩(wěn)健性設計，提高了設計質(zhì)量。文獻［4］通過kriging模型和遺傳算法對泵葉輪進行了尺寸優(yōu)化，優(yōu)化后效率提高5.53%。文獻［5］通過Krig?ing模型和模擬退火粒子群算法對桁架模型進行了模型修正和損傷識別等驗證。文獻［6］將Kriging模型與傳統(tǒng)優(yōu)化算法和遺傳算法進行對比，確定Kriging模型的有效性。并對翼型進行優(yōu)化，翼型升阻比提高了81%，優(yōu)化效果明顯。文獻［7］通過將代理模型應用到飛機旋翼上進行優(yōu)化設計。文獻［8］通過運用Kriging模型可以對非線性模型有很好的逼近能力。Kriging廣泛應用于工程結(jié)構(gòu)和飛行器多學科優(yōu)化中，但將Kriging模型用于堆垛機整機優(yōu)化還很少。

鑒于此，這里提出一種適合雙高（速度高與高度高）堆垛機結(jié)構(gòu)特點的方案，即基于Kriging 模型與非支配排序遺傳算法（NSGA-II）的相結(jié)合的優(yōu)化方法，將雙高雙立柱堆垛機的位移和質(zhì)量作為待優(yōu)化目標，綜合考慮雙高雙立柱整機的約束情況，采用參數(shù)化三維建模，通過最佳填充樣本空間（OSF）進行試驗設計，考慮不同設計參數(shù)進行組合，避免陷入單個設計參數(shù)局部最優(yōu)。通過試驗設計構(gòu)建克里金代理模型代替有限元模型（真實模型），可以最大程度避免在進行優(yōu)化時調(diào)用真實模型次數(shù)，提高了優(yōu)化效率。最后通過精英保留策略快速非支配排序多目標遺傳（NSGA-II）算法對Kriging代理模型尋找全局最優(yōu)Pareto解。

2 雙高雙立柱式堆垛機優(yōu)化設計流程

由于雙高雙立柱式堆垛機結(jié)構(gòu)是一個非線性問題，對其進行直接優(yōu)化設計，將不斷調(diào)用真實模型進行尋優(yōu)，將大大降低了優(yōu)化效率，為了解決此類優(yōu)化設計問題，通過構(gòu)造代理模型將成為關鍵。針對雙高雙立柱式堆垛機的特性，故需要找到一個精度高和能描述高度非線性過程的代理模型，文獻［3］中指出通過構(gòu)造Kriging 構(gòu)造代理模型不僅可以描述高度非線性過程，還可以去除噪聲。被廣泛應用于高度非線性問題。

基于Kriging模型的雙高雙立柱式堆垛機靜態(tài)多目標優(yōu)化設計流程，如圖1所示。

圖1 堆垛機結(jié)構(gòu)優(yōu)化整體流程圖Fig.1 Overall Flowchart of Stacker Structure Optimization

具體過程如下：

（1）對雙高雙立柱式堆垛機進行理論分析并通過構(gòu)建有限元模型進行驗證，確保優(yōu)化設計模型的正確性；

（2）基于最佳樣本空間（OSF）的試驗設計方法和Kriging理論建立代理模型；

（3）通過NSGA-II 多目標優(yōu)化算法對Kriging 代理模型進行求解，獲得多個Pareto非劣解集；

（4）通過評價準則確定最佳Pareto非劣解。

3 雙高雙立柱堆垛機結(jié)構(gòu)靜力學分析

這里研究對象為雙高雙立柱式堆垛機，其基本參數(shù)，如表1所示。雙高雙立柱式堆垛機模型圖，如圖2所示。

表1 堆垛機基本參數(shù)Tab.1 Stacker Basic Parameters

圖2 堆垛機模型Fig.2 Stacker Model

其中為主立柱、輔立柱、上橫梁、下橫梁各截面形式，如圖3所示。其中L1為主立柱下端腹板長度，T1為主立柱下端翼板厚度，其中L2為主立柱上端腹板長度，T2為主立柱上端翼板厚度，T3為輔立柱腹板厚度，T4為輔立柱翼板厚度，T5為上橫梁腹板厚度，T4為上橫梁翼板厚度，T7為下橫梁腹板厚度，T8為下橫梁翼板厚度。

圖3 各截面形式Fig.3 Each Section Form

3.1 堆垛機力學模型與有限元模型

當雙高雙立柱式堆垛機載貨臺運行到最高位置時，貨叉全伸叉取滿載貨物。為最危險工況［9］，其堆垛機門架受力示意圖，如圖4所示。堆垛機門架結(jié)構(gòu)力學模型，如圖5所示。

圖4 堆垛機門架受力示意圖Fig.4 Stacking Machine Frame Force Diagram

圖5 堆垛機門架結(jié)構(gòu)力學模型Fig.5 Mechanical Model of Door Frame Structure of Stacker

其中，自重載荷為：G1為上橫梁及附件重力，G2為載貨臺、貨物、司機室及附件的重力，G3為起升裝置的重力，G4為電氣控制柜的重力，G5為下橫梁及附件重力，G6、G7為立柱重力，G8為運行機構(gòu)自重，GZ1和GZ2分別為主立柱和輔立柱單位長度平均重力，qs和qx分別為上、下橫梁單位長度平均重力，而h1～h5和h8分別對應于G1～G5和G8分別到下橫梁中心線的質(zhì)心高度。堆垛機在加速或者減速行走時產(chǎn)生的水平力為：H1～H5和H8對應于G1～G5和G8的水平慣性力，q1、q2分別為立柱的單位長度平均質(zhì)量產(chǎn)生的水平慣性力。F1和F2分別為主立柱和輔立柱頂部作用力。

根據(jù)雙高雙立柱式堆垛機的工作特點、不同工況、考慮各項載荷實際出現(xiàn)的機率，按對結(jié)構(gòu)最不利的作用情況，將可能同時出現(xiàn)的載荷分別按A1和A4進行組合，通過對比得到合理的載荷組合［10］。

按A1進行載荷組合時，取?1=1.1，起升動載系數(shù)?2按下式計算：

式中：?2min—與起升狀態(tài)級別相對應的起升動載系數(shù)的最小值；

β2—按起升狀態(tài)級別設定的系數(shù)；

Vq—穩(wěn)定（額定）起升速度，單位為m/s。

載荷組合A1下的總輪壓：

按A4進行載荷組合時運行沖擊系數(shù)按式計算：

載荷組合A4下的總輪壓：

由于LUy4>LUy1因此因按載荷組合A4進行計算。

3.2 雙高雙立柱堆垛機有限元模型

雙高雙立柱式堆垛機的金屬結(jié)構(gòu)主要有，主立柱（變截面），輔立柱，上橫梁，下橫梁組成。建立雙高雙立柱式堆垛機的有限元的模型時要簡化實際模型的中的一些不重要部件，使建立的有限元模型既可以反應實際模型的真實狀況，又可以得到較為精確的結(jié)果。

雙高雙立柱式堆垛機的模型采用Solid works參數(shù)化建模，導入ANSYS workbench中，其中單元采用solid45單元，因為實體單元可以更好的模擬實際情況。主立柱，輔立柱，上橫梁，下橫梁之間均采用ANSYS workbench中的bonded接觸。采用自由網(wǎng)格劃分，建立有限元模型。其單元總數(shù)為17597，節(jié)點總數(shù)為109516，如圖6所示。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite Element Model

根據(jù)雙高雙立柱式堆垛機的實際工作情況，在下橫梁底部兩端面與上橫梁兩側(cè)面施加面約束，約束類型為：在A面施加固定約束，約束X，Y，Z三個方向自由度，在B面施加位移約束，限制住Y方向和Z方向的自由度，釋放掉X方向的自由度。在C面和D面施加位移約束，限制Z方向的自由度，防止堆垛機前后擺動，使其始終保為平面，釋放掉X和Y方向自由度。將堆垛機力學模型上面的力等效施加到有限元模型上，如圖7所示。

圖7 載荷施加Fig.7 Load Application

3.3 有限元求解

通過云圖9可知，在載貨臺移動到最高位置，且滿載貨物貨叉伸出時的工況下，最大等效應力位移輔立柱下端，應力值為103.21MPa，且整個堆垛機金屬結(jié)構(gòu)在x方向產(chǎn)生的位移為41.157mm，小于許用位移值。由于堆垛機主立柱材料采用Q345，許用應力為[σ]=0.5*σs+0.35*σb ni=227MPa ，輔立柱材料采用Q235，許用應力為158MPa，由云圖9可知，應力均小于許用應力。

圖8 堆垛機位移云圖Fig.8 Stacker Displacement Cloud Diagram

圖9 堆垛機應力云圖Fig.9 Stacker Stress Cloud Diagram

4 Kriging代理模型構(gòu)建

由于雙高雙立柱式堆垛機在結(jié)構(gòu)分析時為非線性過程，而Kriging 模型可以很好的描述非線性過程，同時也能光滑目標響應、去除噪聲和提高優(yōu)化設計效率［3］。Kriging模型的主要是有線性回歸部分和隨機分布部分所組成［11］，其樣本點X=[x1，x2，x3…xn]T和響應值Y=[y1，y2，y3…yn]T，其中，樣本點和響應點通過試驗設計法中的最佳空間填充（OSF）來獲得。其Krig?ing模型的數(shù)學表達式為：

式中：Y(x)—未知Kriging 模型；fi(x)—樣本點的多項式回歸組合，提供了設計空間的全局近似模擬；βi—回歸系數(shù)的最小二乘估計；z(x)—從正態(tài)分布的隨機項，是在全局近似模擬的基礎上創(chuàng)建的局部偏差，其協(xié)方差方程表達式為：

式中：R—N*N的協(xié)方差矩陣，沿對角線正定；r[xi，xj]—任意N個樣本點中xi和xj空間函數(shù)相關，為高斯的相關函數(shù)：

式中：θK—用于擬合模型的不確定參數(shù)；M—設計參數(shù)的數(shù)量。

通過確定相關函數(shù)，則樣本點x處的響應估計為：

式中：y—樣本點數(shù)據(jù)的響應值所組成的列向量；f—單位列矢量；

rT(x)—樣本點和預測點之間得相關矢量，如式（9）所示：

其中式（8）中β估計和式（6）全局模型方差估計值σ2如下式所示：

通過最大似然估計求解相關參數(shù)θK得到：

通過式（12）求解出θK后，可得到Kriging擬合精度最優(yōu)的代理模型。

由于雙高雙立柱式堆垛機為非線性問題，因此在構(gòu)建Krig?ing代理模型時，試驗點的選取就顯得異常重要。這里通過采用最佳填充空間（OSF）設計得到試驗設計方法，最佳填充樣本空間（OSF）相對于中心復合設計（CCD）可在整個設計空間均勻的分配設計參數(shù)，以最小的數(shù)量獲得對設計點的最大洞察。根據(jù)設計點各個參數(shù)的取值范圍，生成85組的樣本點，進行計算，通過最佳填充空間（OSF）得到的樣本點和響應值帶入Kriging模型中構(gòu)建響應面模型。通過擬合優(yōu)度散點圖可以觀測Kriging模型擬合出的響應面精度好壞，其中，樣本點越接近對角線，則表示Kriging模型擬合出的響應面精度越高，如圖10所示。

圖10 擬合優(yōu)度散點圖Fig.10 Goodness of Fit Scatter Plot

設計參數(shù)與響應值通過Kriging模型擬合出的響應面圖，如圖11～圖13所示?？梢酝ㄟ^對不同的設計參數(shù)進行組合，得到設計參數(shù)與響應值不同的響應面圖。通過響應面圖還可以看出各個設計參數(shù)對響應值之間得影響。

圖11 設計參數(shù)與應力的擬合響應面Fig.11 Fitting Response Surface of Design Parameters and Stress

圖12 設計參數(shù)與位移的擬合響應面圖Fig.12 Fitting Response Surface of Design Parameters and Displacement

圖13 設計參數(shù)與質(zhì)量的擬合響應面圖Fig.13 Fitting Response Surface of Design Parameters and Mass

5 堆垛機結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化數(shù)學模型

基于雙高雙立柱堆垛機金屬結(jié)構(gòu)模型，建立以主立柱下端腹板長度L1、主立柱下端翼板厚度T1、主立柱上端腹板長度L2、主立柱上端翼板厚度、T2輔立柱腹板厚度T3、輔立柱翼板厚度T4、上橫梁腹板厚度T5、上橫梁翼板厚度T4、下橫梁腹板厚度T7、下橫梁翼板厚度T8為設計參數(shù)，堆垛機結(jié)構(gòu)強度為約束條件，堆垛機結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量為優(yōu)化目標的多目標數(shù)學優(yōu)化模型如下所示：

式中：m—堆垛機結(jié)構(gòu)質(zhì)量；y—堆垛機結(jié)構(gòu)最大位移；σmax—堆垛機結(jié)構(gòu)最大應力值；[σ]—鋼材許用值；xi—設計參數(shù)。

5.1 優(yōu)化算法

多目標遺傳算法（NSGA-II）是通過精英保留策略快速非支配排序的算法，是一種基本Pareto最優(yōu)解集的多目標算法［13-14］。其分析流程圖，如圖14所示。其具體步驟為：（1）在變量范圍內(nèi)隨機生成初始化種群，根據(jù)Pareto 的等級關系對生成的種群進行非支配排序后，帶入遺傳算法中進行選擇、交叉、變異后，生成第一代子代種群。（2）第二代開始，將父代與子代合并，并進行非支配排序，同時對非支配關系層中的個體進行擁擠度計算，使解在目標空間更加均勻。根據(jù)個體擁擠度和非支配關系選擇合適的種群組成新的父代種群，然后在帶入遺傳算法進行選擇、交叉、變異生成新的子代種群。循環(huán)進行，直到滿足進化代數(shù)要求［15］。

圖14 NSGA-II算法流程圖Fig.14 NSGA-II Algorithm Flowchart

5.2 模型優(yōu)化對比

由于雙高雙立柱式堆垛機有限元模型單元數(shù)量眾多，為了提高雙高雙立柱式堆垛機的優(yōu)化效率。分別采用NSGA-II多目標優(yōu)化算法對堆垛機有限元模型進行優(yōu)化和基于最佳樣本空間（OSF）試驗設計構(gòu)建的Kriging代理模型進行優(yōu)化對比，由于直接優(yōu)化與初始種群規(guī)模有直接影響，為了減少仿真時間，NSGA-II參數(shù)設置：初始種群規(guī)模為100，最大允許的Pareto 百分比為70%，進化代數(shù)50，突變因子概率為0.02，交叉因子概率為0.98。其對比結(jié)果，如表2所示。

表2 不同模型的優(yōu)化對比Tab.2 Comparison of Model Optimization

通過表2 表明：基于最佳樣本空間（OSF）試驗設計構(gòu)建的Kriging 代理模型進行優(yōu)化相對于NSGA-II 對真實模型優(yōu)化調(diào)用次數(shù)較少65次，優(yōu)化時間減少了12.992h，優(yōu)化效率提升明顯。NSGA-II 多目標優(yōu)化算法對參數(shù)進行設置［13］，初始種群規(guī)模為300，最大允許的Pareto百分比為70%，進化代數(shù)300，突變因子概率為0.02，交叉因子概率為0.98。通過對Kriging擬合代理模型進行自適應多目標優(yōu)化，得到的為Pareto解非支配排序散點圖，如圖15所示。

圖15 Pareto解集散點圖Fig.15 Pareto Solution Scatter Plot

通過在Pareto非支配排序最優(yōu)解集中選出5個優(yōu)化設計方案中，通過對其圓整后，如表2所示。

由表3可知在Pareto最優(yōu)解集中的5個優(yōu)化設計方案中可以看出目標函數(shù)δmax，σmax，與mass之間存在某種制約關系，因而選擇出一個折中方案。方案1 相對于剩余方案質(zhì)量較少了（5.4～8.7）%，而方案一的應力和位移相對于其他方案相差不大，因此選擇方案1作為堆垛機多目標優(yōu)化的最優(yōu)解。通過表四最優(yōu)解與初始解進行對比可知，其堆垛機整機質(zhì)量下降了5%，最大位移減小了2.7%，最大應力增加了14%，卻依然滿足靜強度和靜剛度要求。

表3 5個最優(yōu)Pareto解Tab.3 5 Optimal Pareto Solutions

表4 最優(yōu)方案和原始方案對比Tab.4 Comparison of Optimal and Original Plans

6 結(jié)論

這里以雙高雙立柱堆垛機整體結(jié)構(gòu)為工程實例，提出以三維模型的參數(shù)，最佳填充樣本空間（OSF）、Kriging模型非支配排序多目標遺傳算法（NSGA-II）相結(jié)合的多目標靜態(tài)優(yōu)化設計方法，其特點為：（1）在雙高雙立柱堆垛機多目標優(yōu)化過程中，通過采用最佳樣本填充空間（OSF）進行試驗設計，在通過Kriging模型構(gòu)建近似響應面模型代替復雜真實的模型。從而避免優(yōu)化時調(diào)用真實模型的次數(shù)，提高優(yōu)化效率。（2）通過考慮最大應力、最大位移和整機質(zhì)量等要求，在雙高雙立柱堆垛機結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化過程中，通過運用非支配排序多目標遺傳算法（NSGA-II）進行尋優(yōu)獲得多個最優(yōu)的非支配排序Pareto解。（3）通過上述方法能夠有效的提高結(jié)構(gòu)設計的效率和質(zhì)量，對雙高雙立柱式堆垛機結(jié)構(gòu)設計提供了參考。