劉 祥, 黃天耀, 劉一民

(清華大學電子工程系, 北京 100084)

0 引 言

不同于傳統(tǒng)的脈沖多普勒雷達,頻率捷變雷達的發(fā)射脈沖頻率可以在一定范圍內隨機變化,因此具有抗干擾能力強、截獲概率低、能夠抑制海雜波等特點,在軍事領域具有重要的應用價值。然而,脈間頻率捷變會破壞脈沖之間的相位相參性,給頻率捷變雷達的相參積累和目標檢測帶來了一定的挑戰(zhàn)。

作為一種新的雷達體制,頻率捷變雷達的信號處理也不同于傳統(tǒng)雷達。本文研究頻率捷變雷達的目標檢測問題。針對這一問題,現(xiàn)有文獻的主要研究思路是先對雷達回波在待檢測距離和速度分辨單元內進行相參積累,然后使用傳統(tǒng)的恒虛警檢測算法進行目標檢測。文獻[1,3-4]通過對脈沖間的相位偏移進行補償來實現(xiàn)相參積累,文獻[5]基于參差脈沖重復間隔消除脈間相位偏移,文獻[6-7]通過非均勻快速傅里葉變換實現(xiàn)相參多普勒處理。另一種研究思路是利用壓縮感知理論,根據(jù)雷達目標的稀疏特征,對頻率捷變雷達的目標進行稀疏恢復,并完成目標檢測。文獻[9,12]從給出了頻率捷變雷達稀疏恢復性能的理論保障,文獻[10]提出了存在格點失配的情況下的恢復算法,文獻[13]研究了目標的塊稀疏特性對恢復性能的提升。

傳統(tǒng)的恒虛警檢測方法假設目標是點目標,位于一個距離-速度分辨單元內,然而點目標假設對于頻率捷變雷達不一定成立。頻率捷變雷達的合成帶寬很大,具有較高的距離分辨力,使得目標散射點分散在多個連續(xù)的距離分辨單元內,成為擴展目標。頻率捷變雷達的擴展目標檢測方法,以及目標擴展對檢測性能的影響,還是一個有待研究的問題。

針對擴展目標場景,本文研究了頻率捷變雷達的擴展目標檢測問題,并且設計了基于廣義似然比的檢測器。為了提升雷達的抗干擾能力和頻譜利用效率,我們考慮雷達只發(fā)射可用頻帶內的一部分頻點,也就是存在頻點缺失的情況。本文首先根據(jù)頻率捷變雷達的信號模型,建立擴展目標檢測問題,然后推導了對應的廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量。雷達檢測概率和虛警概率通過數(shù)值仿真得到。仿真結果表明,頻率捷變雷達的點目標檢測性能不如窄帶雷達。對于擴展目標,在低信噪比下,頻率捷變雷達的檢測性能不如窄帶雷達,但在高信噪下,頻率捷變雷達的檢測性能優(yōu)于窄帶雷達,而且使用頻點越多,合成帶寬越大,檢測性能越好。

1 信號模型

1.1 發(fā)射信號

考慮一個起始載頻為,跳頻點數(shù)為,跳頻間隔為Δ的頻率捷變雷達。用≥表示雷達的發(fā)射脈沖個數(shù),第個發(fā)射脈沖的中心頻率為

=+()Δ,=0,1,…,-1

(1)

在本文中,頻率捷變雷達的基帶發(fā)射信號為矩形脈沖,射頻發(fā)射信號可以表示為

(2)

式中:是脈沖重復間隔;是脈沖寬度;(·)表示矩形窗函數(shù),定義為

1.2 接收信號

對于一個到雷達的距離為,相對雷達徑向速度為的點目標,在第個脈沖重復周期內,目標到雷達的距離可以近似為

()=(0)+≈+

(3)

式中:≤≤(+1)。在沒有噪聲的情況下,雷達的接收信號可以表示為

(4)

式中：表示信號強度。在第個脈沖重復周期,下變頻后的接收信號為

(5)

其中,≤≤(+1)。

在第個脈沖重復周期,按照采樣間隔對接收信號進行采樣,采樣時刻為

(6)

對任意0≤≤-1成立。那么,在采樣時刻=+,得到的采樣為

(7)

頻率捷變雷達的發(fā)射信號的合成帶寬為Δ,對應的高分辨距離單元大小為1(Δ),一個粗分辨距離單元內的高分辨距離單元個數(shù)為

特別地,本文設定脈寬為=1Δ,于是有=。假設目標位于第個高分辨距離單元的中心,也就是說2c=+(Δ)。根據(jù)式(7),采樣信號可以表示為

(8)

在式(8)的信號表達式中,包含4個相位項,其中第1項取決于目標速度,第2項和第4項取決于高分辨單元序號,第3項取決于粗分辨單元序號。其中,第4項不隨脈沖序號變化,可以跟合并,第3項是已知的,可以予以補償,補償后的信號可以表示為

(9)

式中:

2 擴展目標檢測

在本文中,我們依次對每個粗分辨距離單元進行目標檢測。頻率捷變雷達具有較大的合成帶寬,對應的距離分辨率較高。因此,雷達目標一般會變成擴展目標,包含多個散射中心,分布在多個高分辨距離單元內。同時,頻率捷變雷達的速度分辨率和傳統(tǒng)窄帶雷達相當,因此可以認為目標在速度維沒有擴展,也就是說目標的所有散射中心都位于同一個速度分辨單元。在下文中,基于上述假設,我們建立第個粗分辨距離單元內的擴展目標檢測問題。

(10)

為了簡單,我們將式(10)表示為矩陣形式。定義

維速度導引矢量():

(11)

以及×維觀測矩陣:

(12)

式中:0≤≤-1; 0≤≤-1。

根據(jù)式(10),可以得到矩陣形式的觀測模型

=()°

(13)

式中:符號°表示向量的逐元素乘積。

下面我們給出擴展目標檢測的假設檢驗。在H假設下,是未知參數(shù),=,沒有目標。在H假設下,≠,有目標。在式(13)中,加上雷達接收機的噪聲、干擾以及雜波,表示為維向量。于是擴展目標檢測的假設檢驗可以表示為

H∶=
H∶=()°+

(14)

式中:是未知參數(shù);服從零均值、協(xié)方差為的復高斯分布。

3 廣義似然比檢測

3.1 檢驗統(tǒng)計量

使用廣義似然比檢測推導檢驗統(tǒng)計量。首先寫出在和假設下的似然函數(shù):

(15)

式中:在(;)中,和是未知參量。檢測問題(15)的對數(shù)廣義似然比可以寫作

(16)

根據(jù)式(16),我們把

(17)

作為廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量。給定檢測閾值,當≥時,判定為有目標;當<時,判定為沒有目標。

3.2 檢驗統(tǒng)計量的計算

式(17)給出的檢驗統(tǒng)計量的表達式中含有兩個待優(yōu)化變量:目標速度以及高分辨距離像。為了計算檢驗統(tǒng)計量,下面我們基于式(17)中的優(yōu)化,估計出和,然后計算對應的檢驗統(tǒng)計量。

為了簡單,首先我們把檢驗統(tǒng)計量等價表示為

(18)

式中:(·)表示共軛算子。注意到其中包含兩層優(yōu)化,外層優(yōu)化的含義是速度估計,而內層優(yōu)化的含義是在補償?shù)羲俣仍斐傻南嘁坪髮δ繕司嚯x像進行最小二乘估計。當給定時,內層優(yōu)化的最優(yōu)解為最小二乘估計

(19)

(20)

其中,目標函數(shù)()的表達式為

(21)

這里我們可以進一步簡化上述表達式。注意到矩陣的秩等于發(fā)射頻點個數(shù),用,,…,-1表示的非零奇異值,并且將的奇異值分解表示為

=

(22)

式中:是×維列單位正交矩陣;是維酉矩陣;維對角矩陣=diag(,,…,-1)。根據(jù)式(21)可以得到

(23)

因為是一維實變量,在式(20)中可以通過一維遍歷搜索確定其最優(yōu)值。忽略跳頻的影響,頻率捷變雷達的速度分辨率為

將作為搜索間隔,檢驗統(tǒng)計量可以根據(jù)下面的公式進行計算:

(24)

3.3 檢測概率和虛警概率

給定檢測門限,檢測概率為H假設下≥的概率,而虛警概率為H假設下≥的概率。式(24)給出的檢驗統(tǒng)計量是個非獨立的隨機變量的最大值,其概率密度一般沒有解析表達式,導致檢測概率和虛警概率也無法直接計算。因此,我們只能通過數(shù)值模擬去近似計算。具體來說,我們基于獨立重復實驗,產生大量的檢驗統(tǒng)計量的樣本,通過統(tǒng)計樣本大于閾值的比例,來近似計算檢測概率和虛警概率。對應的數(shù)值計算結果將會展示在下一節(jié)。

4 數(shù)值結果

=40=15625 m/s

為了產生目標強度回波,需要對雷達目標進行統(tǒng)計建模。為了使結果更具有一般性,我們考慮了幾種不同的目標模型:

下面我們比較不同發(fā)射頻點個數(shù)下的恒虛警檢測性能。對第1類目標,圖1和圖2分別展示了在高信噪比SNR=20 dB和低信噪比SNR=10 dB下的ROC曲線。從圖1可以看出,在高信噪比下,使用頻點個數(shù)越多,檢測性能越好。從圖2可以看出,當信噪比較低時,使用更少的頻點可以得到更好的檢測性能。原因在于,使用頻點較少時,檢測信噪比更高,而當使用頻點較多時,對目標的分辨率更高。當信噪比較低時,制約檢測概率的主要影響因素是信噪比,因此使用較少的頻點更有優(yōu)勢。而當信噪比較高時,信噪比對檢測性能的影響變弱,使用更多的頻點可以更好地對目標進行分辨,檢測性能更好。在信噪比比較高的條件下,相比窄帶雷達,頻率捷變雷達雖然使目標從點目標變成了擴展目標,但是并沒有導致檢測概率下降,反而能夠增大檢測概率。

圖1 第1類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=20 dB)

圖2 第1類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=10 dB)

圖3和圖4分別給出了第2類目標在高信噪比和低信噪比下的ROC曲線。可以看出,對于第2類目標,同樣可以得出在高信噪比下頻率捷變雷達檢測性能更好,而在低信噪比下窄帶雷達檢測性能更好的結論。這說明我們對檢測性能的分析可以適用于不同的目標類型。

圖3 第2類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=20 dB)

圖4 第2類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=10 dB)

最后,我們再展示對第3類目標,也就是點目標的檢測性能。當目標尺度較小時,目標位于一個高分辨距離單元內,可以看成一個點目標。圖5和圖6分別展示了SNR=20 dB和SNR=10 dB下的ROC曲線?？梢钥闯?如果目標是點目標,無論是在高信噪比還是低信噪比下,都是使用頻點個數(shù)越少,檢測性能越好。由于始終只有一個高分辨距離單元內有目標,不需要對目標進行分辨,增加發(fā)射頻點個數(shù)帶來的分辨率提升對于改善檢測性能意義不大,但是卻會導致檢測信噪比下降,最終導致檢測概率降低。

圖5 第3類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=20 dB)

圖6 第3類目標檢測概率和虛警概率的關系(SNR=10 dB)

5 結 論

本文建立了頻率捷變雷達的擴展目標檢測問題,推導了廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量,并且通過數(shù)值仿真給出了對應的虛警概率和檢測概率。仿真實驗表明,在低信噪比下頻率捷變雷達的擴展目標檢測性能不如窄帶雷達。而在高信噪比下,頻率捷變雷達的檢測性能優(yōu)于窄帶雷達,并且合成帶寬越大,檢測性能越好。