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      精心研究高考試題 精準(zhǔn)把脈復(fù)習(xí)方向

      2022-05-25 08:03:30李剛
      福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年4期
      關(guān)鍵詞:通法變式考查

      《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)“四基”(即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))和“四能”(即從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力).通過高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教師要精選例題,合理變式,適度拓展,深入探究,高考題是教師選擇典題的很好素材,但是如果直接將高考題,特別是高考?jí)狠S題作為例題,有時(shí)給學(xué)生一種“高處不勝寒”的感覺,這需要教師在備課中采用一題式教學(xué),尋找本源,拾級(jí)而上,讓學(xué)生圍繞載有數(shù)學(xué)核心知識(shí)的壓軸題,學(xué)會(huì)思考,學(xué)會(huì)從不知開始,一步一步地達(dá)到問題的核心,直至最終的問題解決[1].

      筆者最近應(yīng)邀參加了所在學(xué)?!懊烂钫n堂”的教學(xué)展示活動(dòng)并開設(shè)了一節(jié)數(shù)列公開課,課題是《數(shù)列的綜合應(yīng)用》,由于是一節(jié)一輪復(fù)習(xí)中綜合性較強(qiáng)的復(fù)習(xí)課,課題給得比較廣,所以筆者嘗試通過選擇高考數(shù)列壓軸題作為備課模型,對(duì)試題庖丁解牛,以《對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的再探究》為題,通過設(shè)問層層深入,不斷引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和內(nèi)涵,讓學(xué)生通過所學(xué)知識(shí)站在一個(gè)新的高度思考問題,收到了比較好的效果,現(xiàn)整理成文,不妥之處,敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.

      1 試題再現(xiàn)

      本題是2019年江蘇高考解答題的最后一題,從考查能力方面看,本題重點(diǎn)考查學(xué)生的抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究能力,是《考試說明》中強(qiáng)調(diào)的“以能力立意,強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查”;從考查知識(shí)點(diǎn)方面,主要考查數(shù)列基本量的運(yùn)算,由Sn求通項(xiàng),數(shù)列中的恒成立問題;從考查思想方法方面,主要考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,可以說,作為試卷的最后題,本題具有很好的區(qū)分度,筆者在備課中,就選取了第2問的第2小問為背景,尋根溯源,層層深入.

      2 教學(xué)設(shè)計(jì)

      2.1 回歸課本,探尋本源

      課本中對(duì)概念、公式的推導(dǎo),例習(xí)題的選擇有很大的教育功能,對(duì)學(xué)生理解知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提高解題能力具有潛在的價(jià)值,但是有些教師在高三復(fù)習(xí)中按照一本教輔講到底,忽視教材中蘊(yùn)含的豐富的試題背景及思想方法,

      比對(duì)上述試題的第2問,其考查數(shù)列的內(nèi)涵是非常豐富的,如果學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中只懂得做題,不深入理解概念的內(nèi)涵的話,在考試中處理起來還是比較棘手的,

      筆者在處理這一問題時(shí),首先給出了如下引例:

      設(shè)計(jì)意圖在蘇教版教材中,通過P39例3和P53例3,回顧等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,讓學(xué)生直觀感知通項(xiàng)公式在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象(如圖1),進(jìn)而解決引例設(shè)置的兩個(gè)問題,

      綜上可知,對(duì)于處理數(shù)列中的一類不等式恒成立或者有解問題,可以通過構(gòu)造數(shù)列的單調(diào)性求解,如果涉及到的數(shù)列是等差或者等比數(shù)列通項(xiàng)的時(shí)候,可以通過作出它們的圖象,利用數(shù)形結(jié)合,直觀感知其結(jié)果,創(chuàng)造想法,最后驗(yàn)證猜想的結(jié)果,

      對(duì)于本例,學(xué)生如果對(duì)不等式n≤q”直接求解處理,從圖象角度觀察很容易得到答案,難點(diǎn)是不容易書寫,若從分離變量的角度分析,學(xué)生思考的難點(diǎn)是沒辦法直接分離,

      其實(shí)指數(shù)問題對(duì)數(shù)化是一種解題方法,通過對(duì)不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得到不等式Inq≥Inn/n,進(jìn)而通過求最值求出q≥3√3.

      通過研究所得等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象特征,可以觀察圖象猜想結(jié)果,同時(shí)可以通過構(gòu)造數(shù)列的單調(diào)性規(guī)范求得結(jié)果.

      2.3 變式探究,拓展提升

      通過引例及例題的探究和解答,學(xué)生應(yīng)該熟悉了處理這一類問題的基本方法,在此基礎(chǔ)上,乘勝追擊,通過后面兩個(gè)變式探究,進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)這類問題的處理意識(shí),

      探究1若對(duì)任意正整數(shù)n都有an≤bn,成立,求q的取值范圍,

      設(shè)計(jì)意圖從圖象角度分析,將y=qn的圖象向右平移一個(gè)單位后得到y(tǒng)=qn-11的圖象,然后取n=2得到q>2.另外可以將不等式n≤qn-1兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),方法如例題,探究1是對(duì)例題講解過后的直接演練,同時(shí)也為探究2提供方法鋪墊,

      探究2設(shè)m為正整數(shù),若對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有bk≤ak≤bk+,成立,求珊的最大值,

      設(shè)計(jì)意圖探究2實(shí)際就是2019江蘇高考20題的最后一問,綜合性較強(qiáng),有了引例、例題及其探究1作鋪墊,學(xué)生處理探究2的想法水到渠成,官方給出的答案如下:

      3 教學(xué)啟示

      隨著新課程改革的不斷推進(jìn),高考試題更加注重對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查,而核心素養(yǎng)更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的知識(shí)和思維能力,在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,解題教學(xué)是其核心環(huán)節(jié),我們教師應(yīng)該通過解題教學(xué),教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方法,即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”,同時(shí),我們教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生在高三復(fù)習(xí)中返璞歸真,跳出題海,真正做到高效復(fù)習(xí),切實(shí)做好以下幾個(gè)方面:

      3.1回歸教材,構(gòu)建體系

      高考時(shí)讓學(xué)生感到陌生的題目,究其背景,很多試題都可以在教材中找到原型,教材中的例習(xí)題都是數(shù)學(xué)專家精選的,具有典型性、示范性和探究性,作為教師,我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)其蘊(yùn)含的教育教學(xué)價(jià)值,通過對(duì)例習(xí)題充分的挖掘和研究,幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知、活躍思維,提高解題能力,所以在復(fù)習(xí)中要注重回歸教材,精選課本例習(xí)題,變式拓展,重視習(xí)題教學(xué)中解題思路的探索與選擇,重視教材中公式、定理等推導(dǎo)的方法和思想的介紹,將相關(guān)重要的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),比如本節(jié)課,我們可以通過等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn),建立與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系;通過數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想,合理選擇方法解決數(shù)列中的一類不等式恒成立問題,

      3.2 注重通法,淡化技巧

      高考試題注重對(duì)通性通法的考查,注重考查學(xué)生的“四基”,因此在高三復(fù)習(xí)時(shí),要注重本質(zhì),強(qiáng)化通法,淡化技巧,回歸本質(zhì)就是要以認(rèn)清數(shù)學(xué)問題的本源為基礎(chǔ),探求解決問題的根本屬性與規(guī)律,達(dá)到善于解題的目標(biāo)[2],所以,我們要立足考題,充分認(rèn)識(shí)到通性通法在解答高考題時(shí)的重要性,比如上述高考?jí)狠S題的解答方法,仍然是回歸通性通法,

      另外,從高考閱卷角度來看,如果不重視通性通法,下面一些情況很容易失分:

      (1)解題思路混亂,整個(gè)解答目的不明確,看不出想解決什么問題;

      (2)相關(guān)過程交代不清,或沒有交代,解答中有些字符、結(jié)論出現(xiàn)很突然,使閱卷教師云里霧里;

      (3)解答跳步現(xiàn)象嚴(yán)重,有些結(jié)論的得到,缺少主要依據(jù),前后也看不出有什么因果關(guān)系,

      出現(xiàn)以上情況的主要原因就是因?yàn)槠綍r(shí)不注重對(duì)通性通法的掌握,

      因此,我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)立足基礎(chǔ),淡化技巧,規(guī)范書寫.

      3.3突出變式,強(qiáng)化能力

      變式教學(xué)是高三復(fù)習(xí)常用的一種教學(xué)方法,波利亞對(duì)解題過程有著精辟的論述:不斷的變換你的問題;我們必須一再地變化它,重新敘述它,直到最后找到某些有用的東西為止,教師需要在解題教學(xué)中將主問題及其變式串成一個(gè)系列,通過變式把問題進(jìn)行深化、拓展,通過變式把相關(guān)的問題變成一個(gè)系列和一個(gè)主題,通過變式把原本單一的、離散的問題串成一個(gè)題組和一個(gè)整體,當(dāng)然,變式本身必須要圍繞相關(guān)問題的數(shù)學(xué)核心概念、數(shù)學(xué)核心思想展開,通過變式,把問題、方法、思想放在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi),進(jìn)行認(rèn)識(shí)、梳理、整合,從而實(shí)現(xiàn)題目的一題多變、一題多解、多題一解、多題優(yōu)解[3].

      通過變式,教師要引導(dǎo)學(xué)生從多方面、多層次去理解數(shù)學(xué)問題,從變中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,鞏固基礎(chǔ),建立聯(lián)系,發(fā)散思維,強(qiáng)化能力,在變的過程中,教師還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),真正提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

      3.4關(guān)注思維,提升素養(yǎng)

      《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)教師注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng),倡導(dǎo)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)模式,并在教育過程中強(qiáng)調(diào)重視過程性評(píng)價(jià),促進(jìn)學(xué)生在不同的學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成,高三階段主要任務(wù)是復(fù)習(xí),在這一年內(nèi),學(xué)生將經(jīng)歷一輪、二輪復(fù)習(xí),基本上學(xué)生天天在做題,通過訓(xùn)練,學(xué)生的解題速度得到了一定的提高,但是,如果一味地追求做題,忽視在復(fù)習(xí)過程中對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng),最后可能出現(xiàn)的情況是高考下來,感覺三年高中數(shù)學(xué)“白學(xué)”了.數(shù)學(xué)離不開思維,因此,在高三復(fù)習(xí)中,教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn),精選典題,精心研究教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式,通過復(fù)習(xí),不斷發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力,培養(yǎng)學(xué)生的“四能”,關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高,能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決綜合問題,

      在本節(jié)課中,筆者嘗試通過引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究,從易到難,層層遞進(jìn),在挖掘試題的本質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等思維能力,以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),

      高考數(shù)學(xué)命題強(qiáng)調(diào)通性通法,壓軸題也不例外,反觀我們現(xiàn)在的高三復(fù)習(xí),有些教師認(rèn)為研究高考?jí)狠S題是浪費(fèi)時(shí)間,所以不愿意花時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生去領(lǐng)悟這些題目的味道,這就導(dǎo)致很多學(xué)生做到最后一題時(shí)放棄思考,其實(shí),處理壓軸題,學(xué)生在有效提取題設(shè)條件的關(guān)鍵要素和隱含信息后,需要做的就是堅(jiān)定信心,仔細(xì)分析,聯(lián)想突破,認(rèn)真探究,合理轉(zhuǎn)化,耐心求解[4].教師要認(rèn)真研究考題,精心設(shè)置問題,帶領(lǐng)學(xué)生通過復(fù)習(xí)獲得清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),

      參考文獻(xiàn)

      [1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程教材教法,2016 (11):25-32

      [2]吳統(tǒng)勝.一道高考切點(diǎn)弦問題的探究與拓展[J].數(shù)學(xué)通訊(教師),2018(10):51-56

      [3]李剛.精選典題高效復(fù)習(xí)[J]。數(shù)學(xué)通訊(教師),2015 (3):51-54

      [4]梅磊、周珂.一道高考?jí)狠S題的多解、多思與多變[J].數(shù)學(xué)通訊(教師),2017 (2):31-34

      [5]中華人民共和國教育部制訂,普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018

      [6]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(蘇教版)數(shù)學(xué)必修5 [M].南京:江蘇教育出版社,2012

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