聶玉成

等邊三角形是一類特殊的三角形，具有許多特殊的性質.這些性質可以為我們解答幾何問題提供條件和依據(jù)，所以找出等邊三角形是解一些幾何題的關鍵.那么如何證明三角形為等邊三角形呢？對此，筆者歸納了幾種證明方法，現(xiàn)舉例說明.

思路一：證明三條邊都相等

在數(shù)學中，三邊都相等的三角形為等邊三角形，這是等邊三角形的定義、性質，也是判定方法.在解題中可以直接利用這一性質與判定，證明三角形為等邊三角形.

例1如圖1，在等邊△ABC的三條邊AB，BC，CA上，分別取點D，E，F(xiàn)，使得AD=BE=CF，連接DE，EF，F(xiàn)D，求證：△DEF是等邊三角形.

說明：若要證的三角形的三邊在三個形狀相同的三角形中，通常先去證明這三個三角形全等，由此得出三邊相等.

思路二：證明三個內角都相等

等邊三角形是一個銳角三角形，它的三個角都相等，且均為60°，所以要證明三角形是否為等邊三角形，同學們不妨利用等邊三角形的這一性質，去證明三角形的三個角都相等或都為60°.

例2如圖2，在△ABC中，D是AB上任意點，DE⊥AC于點E，ED的延長線與CB的延長線交于點F，BD=BF，∠ABC=∠A，試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

分析：由角的互余關系、等腰三角形的性質以及對頂角相等證出∠A=∠C，再由∠ABC=∠A，得出∠ABC=∠A=∠C，即可得出結論.

解：△ABC是等邊三角形，理由如下：

∵DE⊥AC，∴∠AED=∠CEF=90°，

∴∠A+∠ADE=90°，∠C+∠F=90°，

∵BD=BF，∴∠BDF=∠F，

∵∠ADE=∠BDF，∴∠ADE=∠F，

∴∠A=∠C，

又∵∠ABC=∠A，

∴∠ABC=∠A=∠C，

∴△ABC是等邊三角形.

說明：本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質、對頂角相等、直角三角形的性質.熟練掌握等邊三角形的判定方法，溝通角之間的關系是解題的關鍵.

思路三：證明兩條邊相等且有一個角等于60°

證明三角形中兩條邊相等且有一個角等于60°，就是證明有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以，在證明三角形為等邊三角形時，同學們還可以通過證明兩條邊相等且有一個角等于60°，達到求證目的.

例3如圖3，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A，C，E在一條直線上.

（1）求證：AD=BE.

（2）連接MN，試判斷△MNC的形狀并說明理由.

分析：（1）AD與BE相等，理由為：由△ABC和△CDE為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到一對角相等，兩對邊相等，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△ACD與△BCE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；

（2）由（1）得出的全等三角形對應角相等得到一對角相等，再由∠MCD=∠NCE=60°，以及夾邊DC=EC，利用ASA得到三角形DMC與三角形ENC全等，利用全等三角形對應邊相等得到MC=NC，即可得到△MNC為等邊三角形.

（1）∵△ABC和△DCE都為等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

AC=BC，DC=CE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∵∠MCD=60°，

∴△MNC為等邊三角形.

說明：本題利用“兩條邊相等且有一個角等于60°的三角形是等邊三角形”這一判定定理予以證明.在證明過程中，充分運用了全等三角形與等邊三角形的性質與判定.

等邊三邊角形的證明方法較多，除了上述提及的三種，還可以利用“兩個內角都等于60°的三角形是等邊三角形”這一判定定理進行證明.在平時解題中，同學們應仔細審題，留意題中的邊相等、角相等關系，挖掘出關鍵的證明條件.