孔隙內(nèi)填充單一固體的固-固孔隙介質(zhì)中的聲波傳播*

劉琳 張秀梅? 王秀明

1)(中國科學(xué)院聲學(xué)研究所,聲場(chǎng)聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

2)(中國科學(xué)院大學(xué),北京 100149)

3)(中國科學(xué)院聲學(xué)研究所,北京市海洋深部鉆探研究中心,北京 100190)

連通孔隙空間被有別于骨架固體的另一種固相介質(zhì)充填而形成的雙組分連通固體孔隙介質(zhì),簡稱固-固孔隙介質(zhì).推導(dǎo)出了固-固孔隙介質(zhì)的聲波動(dòng)力學(xué)方程和本構(gòu)關(guān)系,利用平面波分析的方法研究了各種波的頻散和衰減特性.在此基礎(chǔ)上,提出了基于一階速度-應(yīng)力方程的時(shí)間分裂的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法,對(duì)其中的聲場(chǎng)演化特點(diǎn)進(jìn)行了模擬計(jì)算,分析了各種波的產(chǎn)生機(jī)制和能量分布,并詳細(xì)討論了兩種固體間的摩擦系數(shù)和聲源頻率對(duì)各種波傳播特性的影響.數(shù)值模擬表明:固-固孔隙介質(zhì)中存在兩種縱波(P1 和P2)和兩種橫波(S1 和S2),其中P1 和S1 波能量主要在骨架固體中傳播;P2 和S2 波是骨架固體和孔隙固體之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慢波,能量主要在孔隙固體中傳播.固體骨架和孔隙固體之間的摩擦主要影響慢波(P2和S2)的衰減,且低頻時(shí)衰減大于高頻.

1 引言

Biot[1?4]于二十世紀(jì)五六十年代首次提出流體飽和孔隙介質(zhì)的彈性波傳播理論,奠定了孔隙介質(zhì)聲學(xué)的基礎(chǔ).Biot 理論預(yù)言了在流體飽和孔隙介質(zhì)中存在著兩類縱波(快縱波和慢縱波)和一類橫波.Plona[5]從實(shí)驗(yàn)室中觀測(cè)到Biot 理論中預(yù)言的慢縱波,從而推動(dòng)了對(duì)Biot 理論的進(jìn)一步研究和應(yīng)用[6?8].自Biot 理論建立以來,多相孔隙介質(zhì)理論及其波動(dòng)問題得到了廣泛而持續(xù)的研究[9?13].當(dāng)流-固孔隙介質(zhì)中的流體相被另一種固體替代時(shí),固體填滿整個(gè)孔隙空間,就形成了固-固孔隙介質(zhì),例如,在能源勘探開發(fā)領(lǐng)域,地下石油與天然氣儲(chǔ)層是典型的由固體顆粒骨架和內(nèi)部孔隙空間組成的多孔介質(zhì),儲(chǔ)層中懸浮著可隨孔隙流體自由運(yùn)移的顆粒,并會(huì)發(fā)生聚集,進(jìn)一步可能會(huì)完全填充原有的孔隙空間形成固-固孔隙介質(zhì)[14,15];在天然氣水合物的開采中,孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲(chǔ)層也可以看成是固-固孔隙介質(zhì).其次,在聲學(xué)壓電材料的研究中,由壓電材料及聚合物構(gòu)成的雙固體壓電復(fù)合材料可以提高材料的機(jī)械性能以及電性能,其構(gòu)成包含兩種規(guī)則或者不規(guī)則分布的孔隙壓電介質(zhì)[16,17].此外,在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,骨質(zhì)骨中的骨松質(zhì)結(jié)構(gòu)疏松,孔隙中存在骨髓,可以看成是具有孔隙結(jié)構(gòu)的介質(zhì),孔隙中的骨髓應(yīng)該看作是剪切模量很小的軟組織.為此,研究固-固孔隙介質(zhì)中的聲波傳播機(jī)理和規(guī)律具有重要意義.

自Biot 理論建立以來,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)孔隙介質(zhì)中波的傳播規(guī)律的數(shù)值模擬研究有了較大進(jìn)展.Zhu 和McMechan[18]利用以位移表述的有限差分算法模擬了非均勻孔隙彈性介質(zhì)中聲波的傳播.Dai 等[19]提出了用于模擬孔隙介質(zhì)聲波傳播的速度-應(yīng)力有限差分算法.Carcione 等[20]利用解析式分析了孔隙度、滲透率、黏滯性等對(duì)聲波的影響特點(diǎn).Atalla 等[21,22]利用基于Biot 理論的有限元法模擬了孔隙介質(zhì)聲波的傳播.杜啟振等[23]采用偽譜法正演模擬了各向異性黏彈性孔隙介質(zhì)地震波,并對(duì)其波場(chǎng)特征進(jìn)行了分析.王秀明等[6]利用高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法模擬了波在非均勻孔隙介質(zhì)中的傳播.在此基礎(chǔ)上,趙海波等[24]基于Santos理論[25]發(fā)展了方程存在剛性部分情況下的時(shí)間分裂[20]的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法,解決了方程存在剛性的問題,清楚地展示了不飽和孔隙介質(zhì)中存在的三類縱波和一類橫波.為了研究孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質(zhì)中彈性波傳播規(guī)律,Carcione 和Seriani[26]利用偽譜法模擬出冷凍多孔介質(zhì)(凍土或永凍土)的波場(chǎng),指出該孔隙介質(zhì)中存在三種縱波和兩種橫波,但其數(shù)值計(jì)算的聲場(chǎng)存在一定程度的頻散,不能清晰地展示每種波的傳播和相互作用情況.Gao 等[27,28]使用變階數(shù)時(shí)域有限差分模擬孔隙彈性方程.Zhan 等[29]使用間斷有限元模擬孔隙彈性波動(dòng)方程.劉琳等[30]基于Carcione 理論[26]利用時(shí)間分裂的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法模擬了彈性波在孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質(zhì)中的傳播,清楚地顯示出該類孔隙介質(zhì)中存在的5 種波.以上工作表明,針對(duì)多相孔隙介質(zhì)中聲波傳播問題目前已經(jīng)開展了較多工作,然而對(duì)于固-固孔隙介質(zhì)中的聲波傳播規(guī)律認(rèn)識(shí)較少.因此,開展聲波在固-固孔隙介質(zhì)中的傳播研究,是進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用的物理基礎(chǔ).

本文首先根據(jù)動(dòng)能密度、勢(shì)能密度和耗散勢(shì)函數(shù),結(jié)合Lagrange 方程得到固-固孔隙介質(zhì)動(dòng)力學(xué)方程和本構(gòu)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,利用平面波分析的方法研究了各種波的頻散和衰減特性.研究聲波在孔隙介質(zhì)中的傳播過程,必須進(jìn)行數(shù)值模擬,有限差分法是進(jìn)行聲波數(shù)值模擬的有效手段.孔隙介質(zhì)中各部分之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一定的摩擦.由于摩擦系數(shù)的存在,其運(yùn)動(dòng)方程傳播矩陣的特征值差別很大,在此情況下,方程被稱之為剛性方程.可以利用時(shí)間分裂法解決方程的剛性問題[20,24,30,31].因此,利用時(shí)間分裂的交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)孔隙介質(zhì)波場(chǎng)的高精度數(shù)值模擬.本文根據(jù)一階速度-應(yīng)力方程,構(gòu)建了時(shí)間分裂的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法.以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲(chǔ)層為例,對(duì)該類介質(zhì)中的波場(chǎng)進(jìn)行了高精度的數(shù)值模擬,得到了波場(chǎng)快照?qǐng)D以及質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度時(shí)間變化曲線,分析了各類波的能量分布與傳播特征.基于此,研究了骨架固體和填充固體之間的摩擦系數(shù)和頻率對(duì)聲波傳播特征的影響.

2 固-固孔隙介質(zhì)聲傳播理論

當(dāng)流體飽和孔隙介質(zhì)中的流體相被另一種固體替代時(shí),就形成了由兩種固體組成的固-固孔隙介質(zhì),且固體骨架和孔隙固體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng).假設(shè)孔隙均勻分布,其尺度遠(yuǎn)小于聲波波長.根據(jù)Biot 理論[1?4],孔隙介質(zhì)的一階速度-應(yīng)力方程可根據(jù)其動(dòng)能密度、勢(shì)能密度以及耗散能密度結(jié)合Lagrange 定理得到.與Biot 理論描述的雙相介質(zhì)中的動(dòng)能密度[1?4]類似,孔隙中填充一種固體的固-固孔隙介質(zhì)的動(dòng)能密度可以表示為

式中,上角標(biāo)1 和2 分別表示骨架固體和填充固體,ρ11和ρ22分別為骨架固體和填充固體的有效質(zhì)量密度,ρ12為兩種固體的耦合質(zhì)量密度,和分別表示骨架固體和填充固體的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移分量.

骨架固體和填充固體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致能量的耗散,耗散力表現(xiàn)為兩種固體之間的相互摩擦作用力,可以近似成運(yùn)動(dòng)速度差的一次函數(shù).耗散力是一種特殊的非保守力,可由顯含速度的勢(shì)函數(shù)給出[32].對(duì)于各向同性介質(zhì),固-固孔隙介質(zhì)中的耗散勢(shì)D可以用Biot 理論中對(duì)飽和流體孔隙介質(zhì)中耗散函數(shù)的描述來表示[1?4]:

式中,b12為兩種固體之間的摩擦系數(shù).根據(jù)流體飽和孔隙介質(zhì)中骨架固體與孔隙流體之間的摩擦系數(shù)以及Berryman 和Wang[33]對(duì)阻力系數(shù)的定義,Guerin 和Goldberg[34]給出了兩固一流孔隙介質(zhì)中固體骨架和孔隙固體間的摩擦系數(shù).在此基礎(chǔ)上,定義固-固孔隙介質(zhì)中兩種固體之間的摩擦系數(shù)為

固-固孔隙介質(zhì)的勢(shì)能密度V只與固體骨架的應(yīng)變張量和孔隙固體的應(yīng)變張量有關(guān).忽略二階以上的項(xiàng),其Taylor 展開可以表示為

由固體骨架勢(shì)能密度、孔隙固體勢(shì)能密度以及二者耦合的勢(shì)能密度項(xiàng)構(gòu)成,其中,m=1,2.Leclaire 等[32]對(duì)孔隙中填充一種固體和一種流體的孔隙介質(zhì)勢(shì)能密度的描述忽略了固體骨架與孔隙固體之間的接觸.考慮到固體骨架與孔隙固體之間的接觸,可以得到固-固孔隙介質(zhì)的勢(shì)能密度為

式中,K1和K2分別是骨架固體和填充固體的體積模量,μ1和μ2分別是骨架固體和填充固體的剪切模量,C12是骨架固體和填充固體的彈性耦合系數(shù),μ12是由于骨架固體和填充固體耦合形成的剪切模量,θm和dm為應(yīng)變張量的不變量.θm=,,其中δ是克羅內(nèi)克符號(hào).由于應(yīng)力分量可以表示為

因此可以得到固-固孔隙介質(zhì)的本構(gòu)方程為

固-固孔隙介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程可以由Hamilton原理得到.對(duì)于保守系統(tǒng)的Lagrange 密度可以表示為

可以用基于Hamilton 最小作用原理的Lagrange方程來描述保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).帶耗散勢(shì)的以位移為廣義坐標(biāo)的Lagrange 方程[1,9,32]可以寫成:

式中上標(biāo)m=1,2 分別表示骨架固體和填充固體.由于動(dòng)能密度是速度的函數(shù),勢(shì)能密度是應(yīng)變的函數(shù),因此可以得到

將動(dòng)能密度、勢(shì)能密度和耗散勢(shì)函數(shù)代入Lagrange方程中可以得到固-固孔隙介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程為

將(7a)—(7f)式代入到(11a)式和(11b)式中,可以得到

式中,ρ,b,R和μ分別為質(zhì)量密度、摩擦系數(shù)、剛度和剪切模量矩陣:

其中,

這里,c1和c2分別代表骨架固體和孔隙固體骨架的固結(jié)系數(shù),具體表示見附錄A .將(12)式分別進(jìn)行梯度和散度運(yùn)算,得到縱橫波的運(yùn)動(dòng)方程為

縱波和橫波的位移勢(shì)函數(shù)分別為

式中,A(1)和A(2)分別為固體骨架和孔隙固體縱波勢(shì)函數(shù)振幅分量,B(1)和B(2)分別為固體骨架和孔隙固體橫波勢(shì)函數(shù)振幅分量,kP和kS分別表示縱波和橫波波矢量.將縱波和橫波的位移勢(shì)函數(shù)分別代入縱橫波運(yùn)動(dòng)方程(15)中得到

由于固體骨架和孔隙固體勢(shì)函數(shù)振幅存在非零解,因此可以得到縱波和橫波的頻散方程為

縱橫波的傳播系數(shù)和衰減因子分別為

用來評(píng)價(jià)衰減的逆品質(zhì)因子可以表示為

式中j=P1,P2,S1 和S2.

3 數(shù)值算法

本文采用基于時(shí)間分裂的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法實(shí)現(xiàn)對(duì)固-固孔隙介質(zhì)波場(chǎng)的模擬.分裂法[20,24,30,31]是將運(yùn)動(dòng)方程分為剛性和非剛性兩部分,剛性部分可以得到解析解,將剛性部分得到的解析解作為初始值輸入到方程的非剛性部分,再使用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法求解.

將方程(11a)和(11b)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),在二維情況下為

將運(yùn)動(dòng)方程(11a)和(11b)寫成如下矩陣形式:

式中,

這樣得到了如下速度-應(yīng)力關(guān)系的運(yùn)動(dòng)平衡方程,該表述方式有利于之后的數(shù)值模擬算法的建立,即:

式中γij和Π=ij分別為矩陣γ和Π中元素.

(24a)—(24f)式,(26a)式和(26b)式構(gòu)成了兩種固體組成的固-固孔隙介質(zhì)中彈性波在二維平面內(nèi)傳播的一階速度-應(yīng)力方程組.

將方程(25)的剛性部分寫成如下矩陣形式:

其中S=.在二維平面內(nèi),剛性方程(25)的解析解為

可利用Sylvester 公式求取 exp(SΔt),即

式中λ為矩陣S的特征值,λ=b12(γ12?γ11+γ21?γ22).

方程(25)中非剛性部分寫成如下矩陣形式:

式中B=.

定義中間過渡向量V′=,作為初始量輸入到方程非剛性部分.過渡向量中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為剛性部分解析解.二維情況下非剛性部分的交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分形式為(以固體顆粒骨架為例)

式中Dx和Dz表示離散化的微分算子,以x方向的差分算子Dx作用于為例,表示為

其中L為差分算子的長度,本文中L=4,即采用空間階數(shù)為8 的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法.二維情況下各場(chǎng)量在交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法中的位置分布如圖1 所示.

圖1 各場(chǎng)量在交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法中的位置分布Fig.1.Distribution of the field components in the staggeredgrid finite-difference algorithm.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲(chǔ)層為例,首先求解固-固孔隙介質(zhì)頻散方程,分析各種波的相速度和衰減與頻率的關(guān)系.其次,將時(shí)間分裂的有限差分算法運(yùn)用到孔隙中填充固體的固-固孔隙介質(zhì)中的聲波數(shù)值模擬中,討論了各種波的產(chǎn)生機(jī)制,分析了多孔介質(zhì)中波的能量分布與傳播特征,研究了兩種固體之間的摩擦系數(shù)和頻率對(duì)聲波傳播特性的影響.

4.1 傳播特性分析

現(xiàn)針對(duì)一個(gè)均勻的孔隙中充滿固體的固-固孔隙介質(zhì)模型(以孔隙中完全填充天然氣水合物的水合物儲(chǔ)層為例),兩種固體之間存在耦合.模型的物性參數(shù)見表1[34].

表1 模型物性參數(shù)表Table 1. Physical parameters of different phases.

通過求解縱橫波頻散方程(19)和(20)得到固-固孔隙介質(zhì)中存在兩種縱波和兩種橫波:第一類縱波(P1)、第二類縱波(P2)、第一類橫波(S1)和第二類橫波(S2).在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算出各種波相速度和衰減.圖2(a)—(d)分析了體波的相速度和衰減與頻率的關(guān)系.從圖2(a)和圖2(b)可以看出,P1 和S1 波的速度隨頻率增大有微小的變化,這一變化是由固體骨架和孔隙固體之間的摩擦系數(shù)引起的,且影響程度與頻率有關(guān).P1 和S1 波的衰減較小,隨頻率的增大先增大后減小,存在衰減峰.從圖2(c)和圖2(d)可以發(fā)現(xiàn),P2 和S2 波的速度在低頻時(shí)隨頻率的增大而增大,其衰減遠(yuǎn)大于兩種快波的衰減.另外,由于兩種慢波的衰減主要受固體骨架和孔隙固體之間的摩擦影響,因此兩種慢波的衰減隨頻率的增大而減小.結(jié)合頻散方程可以發(fā)現(xiàn),固-固孔隙介質(zhì)體波傳播特性與兩種固體之間的摩擦系數(shù)參考值和頻率之比有關(guān),且兩種慢波高頻時(shí)衰減比低頻情況下小.

圖2 相速度和衰減隨頻率的變化曲線 (φ=0.3,=2.2×108)(a) P1 波;(b) S1 波;(c) P2 波;(d) S2波Fig.2.Effects of frequency on the phase velocities and attenuation of waves (φ=0.3,=2.2×108):(a) P1;(b) S1;(c) P2;(d) S2.

為了進(jìn)一步研究各種波的傳播特性,以天然氣水合物儲(chǔ)層為例,利用時(shí)間分裂的有限差分法模擬了波在固-固孔隙介質(zhì)中的傳播.此時(shí)假設(shè)兩種固體之間的摩擦系數(shù)b12=0 .在二維x-z平面內(nèi),取x軸正方向水平向右,z軸正方向垂直向下.選用模型網(wǎng)格大小為1600×1600,模型x方向和z方向空間步長均為2 m,時(shí)間步長為0.4×10–3s.模型的物性參數(shù)如表1[34]所列.聲源位于模型中心位置(1600 m,1600 m)處.數(shù)值模擬時(shí)選用雷克子波作為聲源函數(shù),其時(shí)域形式為

式中,f0為聲源主頻,f0=20 Hz.聲源能量按比例分配到骨架和孔隙固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平方向分量上,具體形式為

圖3 顯示了0.45 s 時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平和垂直分量的波場(chǎng)快照?qǐng)D,圖3(a)—(d)的幅度顯示比例為1∶1,分別對(duì)應(yīng)于骨架固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量、填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量、骨架固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度垂直分量和填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度垂直分量質(zhì)點(diǎn)的情況.在圖中可以清晰地觀察到4 種體波,從外到內(nèi)依次為P1,S1,P2 和S2 波.為了進(jìn)一步分析各種波的產(chǎn)生機(jī)制,圖4 分別計(jì)算和分析了骨架固體和孔隙固體的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量歸一化的波形.模型以及參數(shù)與圖3 選用模型和參數(shù)一致,接收點(diǎn)位于(200 m,2600 m)位置處.其中藍(lán)色實(shí)線和紅色虛線分別表示骨架固體和填充固體傳播的波形.從圖4 可以觀察到,P1 和S1 波在骨架固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度波形中幅度最大,骨架固體和填充固體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同相.P2 和S2 波在填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度波形中幅度最大,骨架固體和填充固體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)反相.類似于Biot理論中由于骨架固體與孔隙流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慢縱波,P2 波和S2 波分別是由于骨架固體和填充固體之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慢縱波和慢橫波.

圖3 頻率為20 Hz 且 b12=0 時(shí),0.45 s 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平及垂直分量波場(chǎng)快照 (a) 骨架固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量;(b) 填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量;(c) 骨架固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度垂直分量;(d) 填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度垂直分量Fig.3.Snapshots of the (a),(b) horizontal and (c),(d) vertical particle velocity component of (a),(c) solid grain frame and (b),(d) pore solid when the frequency is 20 Hz and b12=0 at 0.45 s.

圖4 頻率為20 Hz 且 b12=0 時(shí),各相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形Fig.4.Waveform comparisons of the horizontal particle velocity component between different phases when the frequency is 20 Hz and b12=0 (normalized).

4.2 參數(shù)影響

多相孔隙介質(zhì)中孔隙中固體或流體與固體顆粒骨架的摩擦?xí)孤òl(fā)生衰減.對(duì)于固-固孔隙介質(zhì),分析了兩種固體間的摩擦系數(shù)對(duì)各種波傳播的影響.圖5(a)和圖5(b)分別為0.45 s 時(shí)刻兩種介質(zhì)之間存在摩擦?xí)r(=2.2×108)骨架固體和填充固體的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波場(chǎng)快照,圖5(a)和圖5(b)的幅度顯示比例為1∶1.圖6 顯示了兩種介質(zhì)之間存在摩擦?xí)r骨架固體和填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形情況.從圖5 和圖6 可以看出,兩種介質(zhì)之間存在摩擦?xí)r骨架固體和填充固體中都已經(jīng)完全觀察不到P2 和S2 波.說明兩種固體之間的摩擦對(duì)P2 和S2 波的衰減作用非常明顯.由于P2 和S2 波的能量主要在填充固體中傳播,骨架固體和填充固體之間的摩擦使P2 與S2 波衰減,導(dǎo)致存在摩擦?xí)r填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平及垂直分量波場(chǎng)快照與骨架固體相同.

圖5 頻率為20 Hz 且=2.2×108 時(shí),0.45 s 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量波場(chǎng)快照 (a) 骨架固體;(b) 填充固體Fig.5.Snapshots of the horizontal particle velocity component when the frequency is 20 Hz and =2.2×108 at 0.45 s:(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

圖6 頻率為20 Hz 且=2.2×108 時(shí),各相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形Fig.6.Waveform comparisons of the horizontal particle velocity component between different phases when the frequency is 20 Hz and =2.2×108 (normalized).

圖7 頻率為20 Hz 時(shí),=0 和=2.2×108 兩種情況下各相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形 (a) 骨架固體;(b) 填充固體Fig.7.Waveforms of the horizontal velocity component of each phase when =0 and =2.2×108 (the frequency is 20 Hz):(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

孔隙介質(zhì)中波的傳播速度和衰減與頻率有關(guān).地震和聲波測(cè)井是和水合物開發(fā)有關(guān)的兩個(gè)重要手段,為了說明不同頻率下兩種固體之間的摩擦系數(shù)b12對(duì)波的傳播特性的影響,本文還研究了聲源頻率為10 kHz(聲波測(cè)井典型頻率)的情況下b12對(duì)各種波傳播速度和衰減的影響.現(xiàn)針對(duì)一個(gè)均勻的孔隙中充滿固體的固-固孔隙介質(zhì)模型,兩種固體之間存在耦合.在二維x-z平面內(nèi),取x軸正方向水平向右,z軸正方向垂直向下.選用模型網(wǎng)格大小為800 × 800,模型x方向和z方向空間步長均為0.005 m,時(shí)間步長為2×10–7s.模型的物性參數(shù)見表1.計(jì)算時(shí)選用的雷克子波聲源主頻為10 kHz,聲源位于模型中心位置處(對(duì)應(yīng)x和z的網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)分別為400 和400),接收點(diǎn)位于模型網(wǎng)格(100,780)位置處.圖8 顯示了頻率為10 kHz時(shí),=0 和=2.2×108兩種情況下骨架固體和填充固體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形.從圖8可以看出,兩種固體間摩擦系數(shù)的存在使P2 和S2 波均產(chǎn)生一定程度的衰減,但衰減比低頻情況小得多(與圖7 相比).此分析進(jìn)一步證明了高頻情況下摩擦系數(shù)對(duì)P2 和S2 波的衰減作用比低頻情況小的多這一特性.

圖8 頻率為10 kHz 時(shí),=0 和 =2.2×108 兩種情況下各相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度水平分量的波形 (a) 骨架固體;(b) 孔隙固體Fig.8.Waveforms of the horizontal velocity component of each phase when =0 and =2.2×108 (the frequency is 10 kHz):(a) Solid grain frame;(b) pore solid.

5 結(jié)論

1)為了描述孔隙中填充一種固體的固-固孔隙介質(zhì)中波的傳播特性,本文由動(dòng)能密度、勢(shì)能密度以及耗散勢(shì)函數(shù)出發(fā),結(jié)合Lagrange 方程建立固-固孔隙介質(zhì)的基本聲學(xué)理論;2) 本文利用平面波分析的方法研究了固-固孔隙介質(zhì)中各種波的傳播特性,分析了兩種縱波(P1 和P2 波)和兩種橫波(S1 和S2 波)的頻散和衰減特性,得到P2 和S2波在低頻時(shí)頻散,且衰減比P1 和S1 波大得多,兩種慢波的衰減隨頻率的增大而減小;3) 本文利用分裂法解決方程中的剛性問題,結(jié)合高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法,提出了適用于固-固孔隙介質(zhì)的時(shí)間分裂的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分算法,模擬了聲波在固-固孔隙介質(zhì)中的傳播.P1和S1 波的能量主要集中在骨架固體中,P2 和S2 波類似于Biot 理論中的慢縱波,是由于骨架固體和填充固體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生,能量主要在孔隙固體中傳播;4) 本文研究了兩種固體間摩擦系數(shù)和頻率對(duì)各種波傳播特性的影響.摩擦系數(shù)b12對(duì)P1 和S1 波的傳播速度和幅度幾乎無影響,主要影響P2 和S2 波的衰減.這就是在實(shí)際情況下很難觀測(cè)到慢波的原因,但由于慢波也攜帶了一部分能量,在研究聲波在介質(zhì)中能量的衰減時(shí)是不能忽略的.聲源的頻率對(duì)激發(fā)模式的影響主要體現(xiàn)在幅度上,高頻情況下摩擦系數(shù)對(duì)P2 和S2 波的幅度衰減較低頻情況小的多.

本文的研究成果主要針對(duì)天然氣水合物的特殊填充情況,顯然本文方法可以推廣到其他的固-固孔隙介質(zhì)中的聲波傳播研究中.

附錄A 物理量的表示及意義[26,35]

固體骨架有效質(zhì)量密度:ρ11=a12(1?φ)ρs+(a21?1)φρps,其中下標(biāo)s,ps 分別代表固體骨架和孔隙固體;

孔隙固體有效質(zhì)量密度:ρ22=a21φρps+(a12?1)(1?φ)ρs;

兩種固體耦合質(zhì)量密度:ρ12=?(a12?1)(1?φ)ρs?(a21?1)φρps;

固體骨架通過孔隙固體的彎曲度:a12=1+r12φ[(1?φ)ρs+φρps]/(1?φ)ρs;

孔隙固體通過固體骨架的彎曲度:a21=1+r21(1?φ)[(1?φ)ρs+φρps]/φρps,其中a12和a21為彎曲度量級(jí)的慣性阻力參數(shù),r12和r21表示骨架固體和孔隙固體邊界的幾何特征,對(duì)于球形顆粒r12=1/2[1,26,32].

固體骨架有效體積模量:K1=[(1?c1)(1?φ)]2Kav+Ksm,其中Ksm為固體骨架體積模量;

孔隙固體有效體積模量:K3=[(1?c2)φ]2Kav+Kpsm,其中Kpsm為孔隙固體骨架體積模量;

固體骨架有效剪切模量:μ1=[(1?g1)(1?φ)]2μav+μsm,其中μsm為固體骨架剪切模量;

孔隙固體有效體積模量:μ3=[(1?g2)φ]2μav+μpsm,其中μpsm為孔隙固體骨架剪切模量;

兩種固體間耦合剪切模量:μ12=(1?g1)(1?g2)μav;

平均體積模量:Kav=[(1?c1)(1?φ)/Ks+(1?c2)φ/Kps]?1,其中Ks和Kps分別為固體骨架和孔隙固體的體積模量;

平均剪切模量:μav=[(1?g1)(1?φ)/μs+(1?g2)φ/μps]?1,其中μs和μps分別為固體骨架和孔隙固體的剪切模量;

固結(jié)系數(shù):c1=Ksm/(1?φ)Ks,g1=μsm/(1?φ)μs,c2=Kpsm/φKps,g2=μpsm/φμps.