隧道無人臺車運動學及軌跡規(guī)劃研究

胡志榮

中鐵十一局集團第五工程有限公司 重慶 400037

0 引言

隨著自動化控制技術(shù)的日趨進步，在隧道施工工程中對裝備的自動化要求也愈發(fā)提高。因此，對隧道二襯養(yǎng)護起著關(guān)鍵作用的新型無人養(yǎng)護臺車應運而生。該無人養(yǎng)護臺車能在狹長隧道空間內(nèi)完成自動行進、自主轉(zhuǎn)向，可在養(yǎng)護作業(yè)時調(diào)整自身的位置姿態(tài)，對養(yǎng)護臺車的自動控制尤為重要。

各類智能車輛的自動避障行駛、換道軌跡規(guī)劃一直是當今社會研究的熱點和重點。毛志偉等[1]建立了一種四輪驅(qū)動全輪差速轉(zhuǎn)向的焊接機器人的轉(zhuǎn)向誤差模型，并用仿真的方法驗證了該誤差模型的精度；李瑋等[2]提出了一種基于多項式理論的車輪換道軌跡規(guī)劃算法，并驗證了該算法的正確性及有效性；陳廣鋒等[3]針對倉儲環(huán)境中多AGV小車的路徑規(guī)劃問題提出了一種基于多幀時間窗輪換算法并驗證；張榮輝等[4]基于多車協(xié)同運行的情況下提出了一種無人駕駛車輛換道匯入的控制方法。上述各學者的研究大多針對差速驅(qū)動的AGV、機器人小車或是采用阿克曼轉(zhuǎn)向方式的汽車等[5，6]，而對無偏轉(zhuǎn)輪、四輪全驅(qū)動、差速轉(zhuǎn)向的大型工程施工裝備的自動行駛及調(diào)整軌跡規(guī)劃[7，8]的研究不多。

本文以應用于長大隧道施工的無人養(yǎng)護臺車為研究對象，建立了臺車-隧道的三維耦合模型。通過分析其差速轉(zhuǎn)向運動學，以5次多項式作為插值函數(shù)擬合其位姿調(diào)整的軌跡，使得臺車檢測到位姿的偏移后在不與隧道內(nèi)壁碰撞的情況下智能地、自動地完成其位姿的調(diào)整，使臺車回至隧道中心線，實現(xiàn)臺車的自動行駛，達到隧道內(nèi)施工少人化的目的。然后基于多體動力學軟件Simpack仿真實驗，模擬了臺車的調(diào)整過程。最后搭建了實驗小車平臺來驗證養(yǎng)護臺車的軌跡規(guī)劃和自動控制方法的可行性與可靠性。

1 臺車模型建立及運動學分析

1.1 臺車模型的建立

為了滿足隧道二襯在養(yǎng)護作業(yè)時其他工程車輛、工程裝備的正常通行，該臺車摒棄常規(guī)的帶差速器的阿克曼轉(zhuǎn)向方式，而是采用大輪距、大軸距的差速驅(qū)動轉(zhuǎn)向的輪式底盤，在臺車中間留有足夠的行車空間，使得養(yǎng)護臺車能在不影響隧道施工效率和進程的情況下智能地、自動地進行養(yǎng)護作業(yè)。

依據(jù)工程項目的隧道斷面尺寸要求以及邊界條件，養(yǎng)護臺車整體為全斷面的拱形桁架結(jié)構(gòu)、行走部分為四輪驅(qū)動的、無偏轉(zhuǎn)輪的差速轉(zhuǎn)向機構(gòu)，表示臺車養(yǎng)護作業(yè)時與隧道位置關(guān)系的三維耦合模型如圖1所示。

圖1 臺車-隧道三維耦合模型

1.2 臺車差速轉(zhuǎn)向的運動學分析

圖2為無偏轉(zhuǎn)輪的臺車差速轉(zhuǎn)向時的運動學簡化模型。車體的幾何中心即為臺車的質(zhì)心，故養(yǎng)護臺車的運動學模型可簡化為幾何運動問題。本文中ψ為臺車姿態(tài)角，為運行方向與x軸的夾角，Vc為臺車質(zhì)心線速度，ωc為臺車質(zhì)心角速度，R為臺車轉(zhuǎn)向半徑，d為車輪直徑，VL為左側(cè)輪線速度，VR為右側(cè)輪線速度，ωL為左側(cè)輪角速度，ωR為右側(cè)輪角速度，b為輪距，xe0為臺車質(zhì)心的初始偏移量，L為軸距、車體外輪廓長，δ為臺車外廓與隧道二襯內(nèi)廓的距離。

圖2 臺車差速轉(zhuǎn)向的運動學簡化模型

在進行臺車的運動學分析時，假設：臺車車體整體為剛性；車輪速度方向與車輪方向相同，即假設輪胎無側(cè)偏現(xiàn)象[9]；臺車在低速行駛情況下側(cè)向力極其小，即不考慮車體側(cè)滑現(xiàn)象；臺車的轉(zhuǎn)向半徑變化較緩慢，則臺車姿態(tài)角ψ的變化率就近似等于臺車的角速度ωc。

臺車的左右側(cè)車輪通過雙出軸減速器由單個電動機同時驅(qū)動且均無偏轉(zhuǎn)機構(gòu)，保證了同一側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速一致。由圖2可知，Oc為養(yǎng)護臺車差速轉(zhuǎn)向的速度瞬心即轉(zhuǎn)向中心，通過幾何關(guān)系推導可得

設養(yǎng)護臺車質(zhì)心在大地坐標系xOy中的位置坐標為(xc，yc)、臺車前進方向與x軸的夾角（即姿態(tài)角）為ψ，則可以用向量（xc，yc，ψ）T表示臺車的位置姿態(tài)。結(jié)合式(1)推導得臺車質(zhì)心的運動學方程為

由式(2)可知，通過控制2變頻電動機的輸出脈沖頻率，可間接地同時控制左右側(cè)車輪的角速度ωL、ωR，在理論上可實現(xiàn)臺車在平面內(nèi)任意位置、姿態(tài)的運動。

2 臺車位姿調(diào)整的軌跡規(guī)劃

如圖2所示，當臺車位姿發(fā)生偏移后，為保證其在作業(yè)時不與隧道內(nèi)廓發(fā)生碰撞，將通過傳感系統(tǒng)將檢測數(shù)據(jù)發(fā)送至PLC做出相應調(diào)整。為使臺車的調(diào)整過程趨于簡單可靠，將其分為2個階段。第一階段目的在于將臺車的姿態(tài)角調(diào)整至90 °，使臺車的中心線與隧道中心線平行；第二階段目的在于通過軌跡規(guī)劃，實現(xiàn)臺車中心線與隧道中心線重合。整個過程如圖3所示。

圖3 臺車位姿調(diào)整示意圖

對于第一階段而言，臺車需要的轉(zhuǎn)向角即為期望姿態(tài)角和當前姿態(tài)角的差值。在此采用的方式為定差速轉(zhuǎn)向，即轉(zhuǎn)向半徑保持不變。

在臺車中心線與隧道中心線平行后，臺車的前進距離x1、橫移距離y1和所需時間t1按式（3）確定

式中：ψ0為臺車發(fā)生偏移的初始姿態(tài)角。

基于5次多項式的特性[10]能夠描述臺車軌跡上任一點的橫縱向位移、速度及加速度信息，在臺車的前進x和偏移y方向分別構(gòu)造關(guān)于時間t的5次多項式軌跡函數(shù)為

根據(jù)臺車的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)即可計算得到一條光滑的姿態(tài)調(diào)整的軌跡[11,12]，定義臺車的初始狀態(tài)S0和目標狀態(tài)St分別為

式中：x、y為臺車的縱、橫向位移，其一階導為臺車的縱、橫向速度，其二階導為臺車的縱、橫向加速度。

基于式(4)的5次多項式函數(shù)，可以定義臺車第二階段調(diào)整軌跡的時間矩陣為

式中:t0為臺車第二階段調(diào)整開始時刻，tt為臺車調(diào)整完成時刻。

在臺車x和y方向上給定一組邊界條件[13]，，聯(lián)合式(6)求解式(7)便可得到系數(shù)矩陣A、B，再將系數(shù)矩陣中各元素值代入式(4)，即求得臺車第二階段調(diào)整的軌跡方程x(t)和y(t)。

式中：A，B分別為x和y方向上臺車第二階段調(diào)整的軌跡方程的系數(shù)向量。

臺車第二階段調(diào)整的軌跡方程x(t)和y(t)具有二階導，軌跡曲線上任意一點的曲率半徑可確定

臺車的轉(zhuǎn)向半徑即為其軌跡的曲率半徑，聯(lián)合式(2)將式(8)轉(zhuǎn)化為關(guān)于可控參數(shù)，即車輪轉(zhuǎn)速ωL、ωR的方程為

3 仿真與實驗

3.1 仿真環(huán)境與條件

基于Simpack軟件對臺車調(diào)整過程進行運動學與動力學仿真[14]。將臺車底盤與地面用20號鉸接使之平行；輪轂與底盤用0號鉸接約束全部自由度；車輪與輪轂用34號鉸接約束5個自由度并模擬車輪轉(zhuǎn)速（施加關(guān)于時間的轉(zhuǎn)速函數(shù)）；車輪與地面之間用253號力元模擬實心輪胎的特性參數(shù)（垂向剛度、側(cè)偏剛度等）。仿真模型的二維拓撲圖如圖4所示。

圖4 多體仿真拓撲圖

依據(jù)文獻[15,16]研究，實心輪胎具有非線性特性，其力學性能受垂向載荷、側(cè)偏剛度的影響較大。因此，在仿真過程中需要考慮多工況，即車輪受到不同垂向載荷的情況下對臺車行駛軌跡的影響。本文主要針對車輪垂向載荷分別為20 kN、25 kN、30 kN以及40 kN 4種情況進行了仿真分析。

按照工程實際，臺車關(guān)鍵參數(shù)為：b=5 600 mm；L=3 600 mm；d=738 mm。當臺車中心線與隧道中心線重合時，δ1=δ2=δ3=1 000 mm；設定調(diào)整過程中安全余量為δ1=300 mm。臺車正常行駛速度為Vc=0.2 m/s，因而臺車輪胎的角速度為ωL=ωR=0.542 rad/s。臺車發(fā)生偏移后假定其位姿狀態(tài)為ψ0=80°，xe0=100 mm。

3.2 仿真結(jié)果及分析

如圖3所示，對臺車左側(cè)車輪進行降速，實現(xiàn)差速轉(zhuǎn)向以調(diào)整臺車與隧道中心線平行，按照防碰撞和時間要求，臺車調(diào)整時應滿足

設定調(diào)整時間t1=20 s，聯(lián)合式(3)和式(10)求解得降速后左側(cè)車輪角速度ωL1=0.41rad/s，將車輪的轉(zhuǎn)速函數(shù)輸入Simpack模型進行仿真并得到在不同車輪載荷（由不同的垂向載荷引起）下的軌跡曲線對比如圖5所示。

圖5 不同輪載下的臺車第一階段軌跡對比圖

根據(jù)第一階段仿真的結(jié)果，臺車需沿y正向偏移400 mm才可調(diào)整至隧道中心線，且根據(jù)臺車的運動學、動力學特性以及控制穩(wěn)定性設定在調(diào)整的始末時刻橫縱向加速度均為0，故取初始、目標狀態(tài)為S0=(0,0.2,0,0,0,0)，St=(6,0.2,0,0.4,0,0)。設調(diào)整時間t2=tt=40 s，求解式(7)得到系數(shù)矩陣

將系數(shù)矩陣代入式(4)求得軌跡函數(shù)，然后通過求解式(9)得到車輪關(guān)于時間的轉(zhuǎn)速函數(shù)，導入Simpack進行仿真，得到臺車位姿調(diào)整的軌跡曲線對比圖如圖6所示。

圖6 臺車第二階段軌跡參數(shù)對比圖

由圖5可知，臺車軌跡平滑無突變，在輪載為20 kN和25 kN的一般載荷情況下與規(guī)劃的軌跡重合度較高，橫縱向的相對偏移誤差均在3%以內(nèi)。但30 kN和40 kN的重載情況下軌跡出現(xiàn)較大偏移且呈現(xiàn)出非線性的變化。

由圖6a可知，當輪載為20 kN和25 kN時，仿真結(jié)果基本能到達所規(guī)劃的目標位置，橫向相對誤差約2.5%，縱向相對誤差為8%；當輪載為30 kN和40 kN時，軌跡出現(xiàn)很大偏移，此時誤差值已經(jīng)不能滿足要求。由圖6b可知，輪載為20 kN和25 kN時，臺車的姿態(tài)角變化曲線光滑無突變，表明轉(zhuǎn)向平穩(wěn)性較好；而30 kN和40 kN的情況下，臺車姿態(tài)角變化曲線不穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)負角度。

由圖5、圖6可知，仿真結(jié)果與規(guī)劃軌跡有一定的差異，在輕載的情況下，臺車基本能實現(xiàn)所規(guī)劃的軌跡行駛。隨著垂向載荷越大臺車并不能達到目標位置，這是因為重載情況下導致實心輪胎的變形量增大，會引起輪胎剛度的波動變化。隨著臺車質(zhì)量的增大（反映在輪載增大）其轉(zhuǎn)動慣量亦增大，機械特性響應越慢，軌跡偏移量越大，相對誤差亦越大。這說明在車輪垂向載荷較大時，應當考慮臺車橫向動力學對軌跡規(guī)劃的影響。

3.3 實驗結(jié)果及分析

本文考慮到實際臺車的尺寸及操作難度，故搭建了如圖7所示的實驗驗證平臺。為保證實驗的高還原度，實驗小車的底盤結(jié)構(gòu)原理與臺車一致，均為4輪驅(qū)動的、無偏轉(zhuǎn)輪的差速轉(zhuǎn)向輪式底盤；其行駛工況也模擬了隧道的狹長環(huán)境。

實驗小車為空載狀態(tài)（模擬較小的垂向載荷），設定實驗的調(diào)整參數(shù)，對調(diào)整過程進行跟蹤，初始姿態(tài)如圖7a所示、終末姿態(tài)如圖7b所示，成功實現(xiàn)了本文規(guī)劃的軌跡行駛，通過數(shù)據(jù)采集器所采集的實驗過程的速度、加速度參數(shù)經(jīng)擬合后得到的曲線圖如圖8所示。

圖7 實驗平臺與實驗驗證

圖8 實驗結(jié)果參數(shù)

由圖8可知，在實驗過程中小車的橫縱向速度、加速度曲線連續(xù)且光滑，總體波動范圍較低，表明穩(wěn)定性和操控性較好。

4 結(jié)論

1)基于5次多項式規(guī)劃的軌跡能夠使得臺車在發(fā)生位姿偏移后能回至隧道中心線，實現(xiàn)長大隧道狹長環(huán)境下無人臺車的自動行駛，減少隧道內(nèi)施工人員；

2)垂向載荷較小時，臺車能夠達到預期位姿，且相對誤差較小，各項參數(shù)指標也較理想；

3)垂向載荷較大時，輪胎的變形和輪胎剛度的波動變化使得臺車的動力學響應更加顯著。在重載時，軌跡規(guī)劃應綜合考慮臺車的橫向動力學。