神奇的“賈憲三角”

唐佳

同學(xué)們，我們知道，完全平方公式用字母表示就是（a+b）2=（a+b）（a-b）。早在我國(guó)的北宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家賈憲就給出了（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4展開(kāi)后的公式。他在撰寫的《黃帝九章算法細(xì)草》中，提出了一個(gè)著名的三角——賈憲三角（如圖1）。不過(guò)該書的原書遺失了，但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)中）的著作所抄錄，使這部分內(nèi)容得以傳世。

賈憲三角實(shí)際上是一個(gè)算表，相當(dāng)于二項(xiàng)式定理系數(shù)表。在西方，這個(gè)三角被稱為帕斯卡三角。但帕斯卡三角比賈憲三角出現(xiàn)的時(shí)間晚500多年。

在賈憲三角中，完全平方公式展開(kāi)后的系數(shù)，就對(duì)應(yīng)著第3行的數(shù)字。根據(jù)第5行的數(shù)字，我們可以很方便地寫出二項(xiàng)式的四次方公式：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。

類似的，同學(xué)們不妨依據(jù)賈憲三角，試一試寫出（a+b）的五次方、六次方公式。

賈憲三角中給出的系數(shù)，其實(shí)是“取法”的個(gè)數(shù)。以（a+b）的四次方公式為例，按照四次方的定義，（a+b）的四次方就是4個(gè)相同的多項(xiàng)式（a+b）的乘積，依據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，計(jì)算（a+b）的四次方，需要每一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘其他多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，乘得的結(jié)果都是4次單項(xiàng)式。這些單項(xiàng)式中，a和b的次數(shù)相當(dāng)于分別從含有它們的多項(xiàng)式中取出來(lái)的個(gè)數(shù)，而取法就是該項(xiàng)的系數(shù)。比如4a3b這個(gè)單項(xiàng)式，就是從4個(gè)含有a的多項(xiàng)式中取出3個(gè)a，一共有4種取法，或者說(shuō)從4個(gè)含有b的多項(xiàng)式中取出1個(gè)b，一共有4種取法。

關(guān)于二項(xiàng)式更一般的公式，我們將在高中深入學(xué)習(xí)。到那時(shí)，學(xué)完“取法”（組合數(shù)）相關(guān)的知識(shí)后，我們就更容易理解了。

同學(xué)們，數(shù)學(xué)故事精彩豐富，數(shù)學(xué)文化博大精深。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，可以多了解歷史上相關(guān)的故事，從中獲得啟發(fā)。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市西漳中學(xué)）