羅一諾，童 鵬，陳 杰，，董曉麗

(1.西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論與關(guān)鍵技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2.西安電子科技大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)與信息安全學(xué)院，陜西 西安 710071；3.桂林電子科技大學(xué) 廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西壯族自治區(qū) 桂林 541004)

在傳統(tǒng)密碼算法中，設(shè)計(jì)者大多只考慮了密碼算法在黑盒攻擊環(huán)境下的安全性。隨著科技的發(fā)展和敵手攻擊能力的提高，敵手不僅能訪(fǎng)問(wèn)密碼算法的輸入和輸出，還可以獲取算法的內(nèi)部細(xì)節(jié)并控制終端，使得原有的密碼算法暴露在更強(qiáng)的攻擊環(huán)境下。CHOW等在文獻(xiàn)[1]中稱(chēng)此攻擊環(huán)境為白盒攻擊環(huán)境，并提出了白盒密碼來(lái)應(yīng)對(duì)白盒攻擊環(huán)境。白盒密碼是以軟件的形式保護(hù)密碼算法，使得敵手在不安全的終端環(huán)境下也無(wú)法提取密鑰信息。

白盒密碼的設(shè)計(jì)主要分為兩種：一種是基于已有分組密碼的白盒實(shí)現(xiàn)，使用白盒密碼技術(shù)對(duì)已有的分組密碼進(jìn)行改進(jìn)，使其在白盒攻擊環(huán)境中具有與原密碼算法相同的功能，同時(shí)保證算法在白盒攻擊環(huán)境下的安全性。2003年，CHOW等[1]首次采用查找表、輸入輸出編碼和雙射結(jié)合的方法，將密鑰和編碼信息隱藏在查找表中，對(duì)AES進(jìn)行了白盒實(shí)現(xiàn)；此后XIAO等[2]及LUO等[3]對(duì)AES的白盒實(shí)現(xiàn)分別進(jìn)行了改進(jìn)。KARROUMI等[4]基于CHOW等人的方案，使用對(duì)偶密碼技術(shù)設(shè)計(jì)了一種新的白盒AES。2006年，BRINGER等[5]在白盒實(shí)現(xiàn)中添加擾亂項(xiàng)設(shè)計(jì)了一種白盒AES，該實(shí)現(xiàn)方式與CHOW等的設(shè)計(jì)方法不同。2009年，XIAO等[6]將仿射函數(shù)與查找表技術(shù)結(jié)合，設(shè)計(jì)了SM4的白盒實(shí)現(xiàn)，此后也出現(xiàn)了多個(gè)白盒SM4的方案[7-8]。2014年，SU等[9]提出了分組密碼CLEFIA的白盒實(shí)現(xiàn)，此后也有多個(gè)白盒CLEFIA的改進(jìn)方案[10-11]。2016年，MCMILLION等[12]首次提出基于自等價(jià)編碼的白盒AES，該方案的設(shè)計(jì)方法是白盒實(shí)現(xiàn)的一種新型設(shè)計(jì)方法。2020年，RANEA等[13]基于代換-置換網(wǎng)絡(luò)(SPN)密碼S盒的自等價(jià)，對(duì)拆分、重組后的SPN密碼的仿射層進(jìn)行編碼，提出了一種通用的針對(duì)SPN結(jié)構(gòu)密碼的自等價(jià)實(shí)現(xiàn)方案，同時(shí)提出了一種通用攻擊。2021年，王濱等[14]提出了基于AES的動(dòng)態(tài)白盒實(shí)現(xiàn)方案。針對(duì)分組密碼的不同白盒實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)，先后提出了BGE攻擊[15]、MGH攻擊[16]、MULDER等[17]的攻擊、潘文倫等[18]的差分攻擊、側(cè)信道攻擊[19-20]等多種攻擊方法。另一種白盒密碼是設(shè)計(jì)白盒環(huán)境下新的分組密碼算法。2014年后，出現(xiàn)了新的白盒安全的分組密碼的設(shè)計(jì)，區(qū)別于傳統(tǒng)分組密碼以及已有分組密碼的白盒實(shí)現(xiàn)，它是基于某個(gè)安全的結(jié)構(gòu)或某個(gè)安全目標(biāo)設(shè)計(jì)的，如BIRYUKOV等[21]提出的基于ASASA結(jié)構(gòu)的白盒方案，BOGDANOV等[22]提出的SPACE密碼，SHI等[23]提出的SDSRS白盒加密方案等，這些方案能保證在白盒攻擊環(huán)境下的安全性。2020年，SANDRA在其博士論文[24]中總結(jié)了白盒密碼的關(guān)鍵技術(shù)，包括白盒實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)、針對(duì)白盒實(shí)現(xiàn)的安全性攻擊以及新的白盒分組密碼的設(shè)計(jì)與分析，同時(shí)基于物理不可克隆函數(shù)(PUF)設(shè)計(jì)了一種白盒方案。

區(qū)別于基于查找表設(shè)計(jì)的白盒實(shí)現(xiàn)，基于自等價(jià)編碼設(shè)計(jì)的白盒實(shí)現(xiàn)作為一種新型的白盒實(shí)現(xiàn)方式值得深入研究。RANEA等[13]總結(jié)了自等價(jià)編碼設(shè)計(jì)白盒實(shí)現(xiàn)的局限性、白盒方案的編碼空間和適用范圍受到的限制。筆者對(duì)RANEA等的方案進(jìn)行了改進(jìn)，基于擴(kuò)大編碼空間的思路提出了兩種改進(jìn)方案，并對(duì)改進(jìn)后的方案進(jìn)行了安全性分析。分析表明，改進(jìn)后的方案可以抵抗RANEA等提出的通用攻擊，同時(shí)基于改進(jìn)方案設(shè)計(jì)的4 bit小型S盒的白盒方案的安全性也得到了提高。最后基于改進(jìn)的方法設(shè)計(jì)了白盒AES，并與原方案進(jìn)行了對(duì)比，證明了改進(jìn)設(shè)計(jì)的安全性結(jié)論。

1 基于自等價(jià)編碼的白盒實(shí)現(xiàn)

在設(shè)計(jì)白盒方案前，先介紹自等價(jià)的相關(guān)知識(shí)。自等價(jià)是從BIRYUKOV等[25]提出的線(xiàn)性/仿射等價(jià)算法延伸出的概念。

定義1(線(xiàn)性/仿射等價(jià)[25]) 若S1、S2為兩個(gè)m比特變換的S盒，存在一對(duì)m比特的線(xiàn)性/仿射置換(A，B)，使得S2=B°S1°A，則稱(chēng)S1和S2是線(xiàn)性/仿射等價(jià)的。

定義2(線(xiàn)性/仿射自等價(jià)[25]) 若S為m比特的S盒，存在一對(duì)m比特的線(xiàn)性/仿射置換(A，B)，使得S=B°S°A，則稱(chēng)(A，B)為S的一個(gè)線(xiàn)性/仿射自等價(jià)。其中，A為右自等價(jià)，B為左自等價(jià)。

記SE(S)為S的全體自等價(jià)構(gòu)成的集合，RSE(S)為S的全體右自等價(jià)構(gòu)成的集合，LSE(S)為S的全體左自等價(jià)構(gòu)成的集合。

基于自等價(jià)編碼的白盒實(shí)現(xiàn)[13]的思想是將SPN密碼的密鑰與線(xiàn)性層結(jié)合成仿射層，并使用隨機(jī)選擇的S盒的自等價(jià)對(duì)仿射層進(jìn)行編碼保護(hù)，具體步驟如下。

步驟1 對(duì)SPN密碼的輪函數(shù)進(jìn)行拆分、重組。將SPN密碼的輪函數(shù)表示為E(r)=LL°SL°⊕k(r)，LL為密碼的線(xiàn)性層，SL=S1‖S2‖…‖Sρ為密碼的S盒層，k(r)為第r輪的輪密鑰。將當(dāng)前輪的LL與下一輪的k(r)結(jié)合為仿射層，即AL(r)=⊕k(r)°LL。將SPN密碼表示為仿射層與S盒層交替，如圖1所示。第1輪和第nr+1輪的仿射層分別定義為AL(1)=⊕k(r)和AL(nr+1)=LL。

步驟2 使用S盒的自等價(jià)對(duì)仿射層進(jìn)行編碼：

(1)

由于自等價(jià)的特性，編碼后的仿射層與S盒交替時(shí)，中間加入的自等價(jià)編碼能被抵消，如下所示：

(2)

圖1 SPN密碼的加密過(guò)程

白盒方案需要加入外部編碼，防止代碼提取攻擊。因此，在算法外需要加入外部編碼，加入外部編碼后的白盒實(shí)現(xiàn)E′k形式如下所示：

(3)

圖2 原方案的仿射層編碼

該方案一方面利用自等價(jià)的特性使得白盒實(shí)現(xiàn)方案與原算法在功能上保持一致，另一方面不需要使用查找表技術(shù)，并且S盒不需要保護(hù)，因此內(nèi)存占用空間大大減小，是一種新型的白盒實(shí)現(xiàn)?；谏鲜鼋榻B的白盒實(shí)現(xiàn)方案，RANEA等提出了以下兩類(lèi)仿射等價(jià)問(wèn)題，用于討論方案的安全性。

(4)

其中，Lin(g)表示取仿射函數(shù)的線(xiàn)性部分。Lin(Oi)作為該問(wèn)題的一個(gè)特解，解集為L(zhǎng)in(Oi)°(C(L)∩ Lin(RSE(Si)))，其中C(L)稱(chēng)為L(zhǎng)的中心化子集合，即C(L)={A∈GLn：A°L=L°A}，GLn為包含所有n比特線(xiàn)性置換的一般線(xiàn)性群，Lin(RSE(Si))表示Si右自等價(jià)的線(xiàn)性部分集合，C(L)∩Lin(RSE(Si))表示上述兩個(gè)集合取交集。

(5)

該問(wèn)題包含一個(gè)特解(X0，Y0)，其中Lin(X0)=Lin(Oi)。特別地，該問(wèn)題的解(X，Y)中，X滿(mǎn)足

Lin(X)=Lin(Oi)°( Lin(LSE(LLi，j°Sj)) ∩ Lin(RSE(Si))) 。

(6)

在文獻(xiàn)[13]中可看到關(guān)于這兩個(gè)問(wèn)題的證明。

2 改進(jìn)的自等價(jià)編碼白盒方案

筆者對(duì)RANEA等[13]的自等價(jià)編碼的白盒方案進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)白盒方案的編碼空間依賴(lài)于原SPN密碼的S盒的性質(zhì)，且針對(duì)4 bit的小型S盒設(shè)計(jì)的自等價(jià)編碼的白盒方案安全性不夠理想。因此，筆者基于擴(kuò)大編碼空間這一思路提出了兩種改進(jìn)方案。

2.1 改進(jìn)方案1

將原S盒的自等價(jià)與線(xiàn)性層的自等價(jià)結(jié)合為仿射層新的輸入輸出編碼，可分為以下兩步進(jìn)行。

步驟1 找到n比特的可逆矩陣P和Q，使得LL=Q°LL°P，其中LL為SPN密碼的線(xiàn)性層，表示為n×n比特的變換。因?yàn)長(zhǎng)L是可逆的，所以對(duì)于隨機(jī)選取的每一個(gè)可逆矩陣P，都可通過(guò)計(jì)算Q=LL°P-1°LL-1得到對(duì)應(yīng)的可逆矩陣Q。

步驟2 將S盒的自等價(jià)級(jí)聯(lián)為S盒層的自等價(jià)I=I1‖I2‖…‖Iρ，O=O1‖O2‖…‖Oρ，并與線(xiàn)性層自等價(jià)P和Q結(jié)合。其中，單個(gè)S盒Si為m比特的變換，i=1，…，ρ，n=m×ρ。

圖3 改進(jìn)方案1的仿射層

2.2 改進(jìn)方案2

在原方案仿射層的外部加入線(xiàn)性編碼，并與S盒自等價(jià)編碼結(jié)合為仿射層新的輸入輸出編碼；同時(shí)在進(jìn)入S盒層前解碼，保證加入的線(xiàn)性編碼能抵消，可分為以下兩步進(jìn)行。

步驟2 在S盒層加入編碼，起抵消仿射層線(xiàn)性編碼的作用，定義加入編碼的S盒層為T(mén)L，TL=P-1°SL°Q-1，其中第r輪編碼的S盒層可表示為T(mén)L(r)=(P(r+1))-1°SL°(Q(r))-1。

考慮相鄰兩輪的輪函數(shù)，可以看到在相鄰輪中加入的自等價(jià)編碼和線(xiàn)性編碼可以相互抵消，從而該白盒實(shí)現(xiàn)方案未改變?cè)惴ǖ墓δ?，如下所示?/p>

Q(r)°O(r)°AL(r)°I(r)°P(r)=

Q(r+1)°O(r+1)°AL(r+1)°SL°AL(r)°I(r)°P(r)。

(7)

改進(jìn)方案2中某一輪的仿射層如圖4所示。

3 安全性分析

為了分析自等價(jià)實(shí)現(xiàn)方案的安全性，RANEA等[13]提出了一種通用攻擊。攻擊思路是基于線(xiàn)性/仿射等價(jià)問(wèn)題，將編碼空間歸約到該仿射等價(jià)問(wèn)題的解集上，減小了仿射層輸出編碼的空間；進(jìn)而再通過(guò)窮舉搜索和使用密鑰擴(kuò)展排除錯(cuò)誤的可能，恢復(fù)出密鑰。減小輪編碼空間的步驟分為兩步。

RANEA等[13]指出：對(duì)于任何SPN結(jié)構(gòu)密碼算法的自等價(jià)實(shí)現(xiàn)方案，中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是通用的等價(jià)問(wèn)題，但對(duì)于其他的自等價(jià)有特殊結(jié)構(gòu)的密碼，也存在其他的等價(jià)問(wèn)題，進(jìn)而可以利用這些問(wèn)題進(jìn)行歸約攻擊。

筆者通過(guò)建立中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，嘗試對(duì)改進(jìn)方案進(jìn)行分析。分析的具體結(jié)果如下。

3.1 改進(jìn)方案1的安全性分析

(1) 基于中心化子問(wèn)題的歸約攻擊。首先將改進(jìn)方案1仿射層的線(xiàn)性分塊表示為

(8)

(P-1)j，i°(LL-1)j，i°(Q-1)j，i°Lin(Oi)-1=

(9)

由于P和Q是n×n比特的可逆矩陣，它們的分塊矩陣Pi，j，Qi，j不一定可逆，中間項(xiàng)Pi，j與(P-1)j，i無(wú)法抵消，不能將其視作中心化子問(wèn)題，自然無(wú)法將編碼空間歸約到線(xiàn)性層分塊的中心化子問(wèn)題。因此，改進(jìn)方案1可以抵抗基于中心化子問(wèn)題的攻擊。

(2) 基于非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸約攻擊。該問(wèn)題利用了自等價(jià)的特性，即一輪仿射層的輸出編碼、S盒、下一輪仿射層的輸入編碼相結(jié)合時(shí)，不改變S盒的輸入輸出，即

(10)

成立，則存在常數(shù)c使得

(11)

3.2 改進(jìn)方案2的安全性分析

(1) 基于中心化子問(wèn)題的歸約攻擊。首先，將仿射層的線(xiàn)性分塊表示為

(12)

(13)

此時(shí)可以構(gòu)造類(lèi)似的中心化子問(wèn)題：

(14)

(2) 基于非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸約攻擊。在改進(jìn)方案2中，編碼后的S盒層TL=P-1°SL°Q-1。根據(jù)式(10)，可得

(15)

將仿射層的線(xiàn)性部分與編碼后的S盒結(jié)合：

(16)

記S′=(P-1)j°Sj°(Q-1)j，即S′為被編碼的S盒。根據(jù)式(16)，可建立非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：

(17)

其中，Lin(X)∈GLm°Lin(RSE(Si))。

與基于中心化子問(wèn)題進(jìn)行歸約攻擊的結(jié)果類(lèi)似，分塊編碼空間的大小由|GLm°RSE(Si)|變?yōu)閨RSE(Si)-1°GLm°RSE(Si)°(Lin(LSE(LLi，j°Sj))∩(GLm°Lin(RSE(Si))))|。最終的歸約結(jié)果未減小分塊編碼空間，因此改進(jìn)方案2可以抵抗基于非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸約攻擊。

3.3 分析總結(jié)

與RANEA等的方案相比，這兩種改進(jìn)方案分別通過(guò)在線(xiàn)性層和仿射層外部加入線(xiàn)性編碼的方式，在一定程度上擴(kuò)大了歸約后的編碼空間的大小。加入線(xiàn)性編碼后，改進(jìn)方案1可以抵抗基于中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的攻擊；改進(jìn)方案2使得歸約沒(méi)有效果，從而也可以抵抗基于中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的攻擊?？梢钥吹?，線(xiàn)性編碼的存在大大提高了方案抵抗攻擊的能力。

4 基于改進(jìn)方案設(shè)計(jì)的白盒AES及安全性分析

基于上述兩種改進(jìn)方式對(duì)文獻(xiàn)[13]中的白盒AES進(jìn)行改進(jìn)。筆者給出了兩種改進(jìn)方案，并進(jìn)行了安全性分析，最后與原白盒AES進(jìn)行了對(duì)比。

4.1 方案設(shè)計(jì)

步驟1 計(jì)算AES的S盒自等價(jià)結(jié)構(gòu)和數(shù)量[25]。

AES的S盒的代數(shù)表達(dá)式為S(x)=Ax-1⊕c，即先對(duì)x取GF(28)上的乘法逆元，再作用一個(gè)固定仿射函數(shù)?？梢詫⒊?shù)c與輪密鑰結(jié)合，考慮S(x)=Ax-1。記Pd為GF(28)上的8 bit函數(shù)，定義Pd(x)=xd，因此可以得到S(x)=A°P254(x)。定義GF(28)上的函數(shù)Mα(x)=α×x，其中α∈GF28，“×” 表示GF(28)上的模多項(xiàng)式乘法，模多項(xiàng)式為f(x)=x8+x4+x3+x+1。文獻(xiàn)[25]中計(jì)算出S盒的自等價(jià)表達(dá)式為如下形式：

(18)

由于α有255種選擇，i有8種選擇，因此AES的S盒自等價(jià)有255×8=2 040種選擇；且從自等價(jià)的表達(dá)式可以看出，左右自等價(jià)均為線(xiàn)性自等價(jià)。

步驟2 對(duì)仿射層添加S盒的自等價(jià)編碼。

為了便于解釋?zhuān)雎訟ES輪函數(shù)中的行移位操作。記線(xiàn)性層LL為列混合操作對(duì)其中的一列進(jìn)行的變換，對(duì)LL進(jìn)行分塊：

(19)

步驟3 分別按照第2節(jié)中改進(jìn)方案1和改進(jìn)方案2的步驟，選取可逆矩陣P，Q與S盒的自等價(jià)結(jié)合，作為仿射層的輸入輸出編碼。

兩種改進(jìn)方案如下。

(1) 采用改進(jìn)方案1的設(shè)計(jì)，白盒AES的仿射層表示為

(20)

(2) 采用改進(jìn)方案2的設(shè)計(jì)，白盒AES的仿射層與S盒層分別表示為

(21)

TL=P-1°(S1‖S2‖S3‖S4)°Q-1。

(22)

改進(jìn)方案1使用隨機(jī)選擇的可逆矩陣對(duì)線(xiàn)性層進(jìn)行編碼，由于P和Q是線(xiàn)性層LL的自等價(jià)，因此編碼后的仿射層仍與AES算法的功能保持一致；改進(jìn)方案2對(duì)加入S盒自等價(jià)的仿射層進(jìn)行線(xiàn)性編碼，同時(shí)對(duì)S盒進(jìn)行編碼，用來(lái)抵消仿射層的輸入輸出編碼。

4.2 安全性分析

考慮用RANEA等提出的通用攻擊來(lái)分析基于上述改進(jìn)方案設(shè)計(jì)的白盒AES，攻擊思路是對(duì)AES輪編碼的線(xiàn)性部分建立線(xiàn)性/仿射等價(jià)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造新的仿射層編碼，將編碼空間歸約到等價(jià)問(wèn)題的解集上。方案的安全性依賴(lài)于這個(gè)更小的編碼空間的基數(shù)。下面通過(guò)對(duì)AES構(gòu)造中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，對(duì)O1這一分塊編碼空間進(jìn)行歸約并分析歸約效果。

1) 原白盒AES的安全性[13]

RANEA等基于中心化子問(wèn)題，將分塊編碼空間的大小從|RSE(S)|減小到|{Mα：0≠α∈GF(28)}|，即從2 040減小到255；基于非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可將分塊編碼空間的大小從|{Mα：0≠α∈GF(28)}|減小到|(LSE(S)∩{Mα：0≠α∈GF(28)})|。

2) 白盒AES改進(jìn)方案1的安全性

由于P，Q為隨機(jī)選擇的32 bit可逆矩陣，構(gòu)造

(23)

因?yàn)镻和Q未知，且它們的分塊矩陣不一定可逆，因此無(wú)法得到中心化子問(wèn)題，從而在這種情況下，改進(jìn)方案1的白盒AES能抵抗基于中心化子問(wèn)題的歸約攻擊。

3) 白盒AES改進(jìn)方案2的安全性

通過(guò)對(duì)改進(jìn)方案2的仿射層線(xiàn)性部分進(jìn)行分塊，可以得到

(24)

根據(jù)式(24)建立中心化子問(wèn)題：

(25)

其中，X0=Q1°O為該問(wèn)題的一個(gè)特解，問(wèn)題的解集為GL8°O1°(C(M3)∩(GL8°RSE(S)))。根據(jù)節(jié)3對(duì)改進(jìn)方案2的分析，分塊編碼空間的大小從|GL8°RSE(S)|變?yōu)閨RSE(S)-1°GL8°RSE(S)°(C(M3)∩(GL8°RSE(S)))|，即最終的歸約結(jié)果并沒(méi)有減小分塊編碼空間。因此，改進(jìn)方案2可以抵抗基于中心化子問(wèn)題的歸約攻擊。

因?yàn)榫幋a后的S盒層為T(mén)L=P-1°SL°Q-1，將仿射層的線(xiàn)性部分與編碼后的S盒結(jié)合，如下所示：

(26)

記S′=(P-1)3°S°(Q-1)3為被編碼的S盒，根據(jù)式(26)可建立非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：

(27)

其中Lin(X)∈GL8°RSE(S)。

該非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題關(guān)于X的一個(gè)特解X0滿(mǎn)足Lin(X0)=Q1°O1，關(guān)于X的解集滿(mǎn)足Lin(X)=GL8°O1°(LSE(S)∩(GL8°RSE(S)))。根據(jù)節(jié)3的分析，分塊編碼空間的大小由|GL8°RSE(S)|變?yōu)閨RSE(S)-1°GL8°RSE(S)°(LSE(S)∩(GL8°RSE(S)))|。最終的歸約結(jié)果未減小分塊編碼空間，因此改進(jìn)方案2可以抵抗基于非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸約攻擊。將兩種白盒AES的改進(jìn)方案與原白盒AES進(jìn)行比較，如表1所示。

表1 兩種改進(jìn)的白盒AES與原白盒AES安全性比較

從表1可以看到，兩種改進(jìn)方案均擴(kuò)大了分塊編碼空間，并在基于中心化子問(wèn)題和非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸約攻擊下，改進(jìn)方案1可以抵抗兩種攻擊，改進(jìn)方案2使得歸約沒(méi)有效果，從而都增強(qiáng)了方案抵抗攻擊的能力。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)添加線(xiàn)性編碼來(lái)擴(kuò)大仿射層編碼空間，筆者對(duì)基于自等價(jià)編碼的白盒實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了改進(jìn)，給出了兩種改進(jìn)方案，并進(jìn)行了安全性分析。分析表明，兩種改進(jìn)方案均增大了輸入輸出編碼的取值空間，同時(shí)兩種方案均增大了歸約后的編碼空間的大小，均能抵抗針對(duì)自等價(jià)編碼的白盒實(shí)現(xiàn)的通用攻擊。最后，筆者基于這兩種改進(jìn)的設(shè)計(jì)方法構(gòu)造了兩種AES的白盒實(shí)現(xiàn)，并與原方案進(jìn)行了對(duì)比。安全性比較結(jié)果證明了上述的分析結(jié)論。