馬峰全，張玉葉，王 彤

（咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在光學(xué)發(fā)展歷程中具有重大的歷史意義，對雙縫干涉的研究也從未間斷。隨著計(jì)算物理學(xué)的不斷進(jìn)步，使用計(jì)算軟件分析物理問題的方法被越來越多的物理工作者所采用的。MATLAB因具有高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化能力被眾多物理工作者所使用，基于MATLAB研究雙縫干涉現(xiàn)象的研究也不少。這些研究，在光強(qiáng)計(jì)算上，根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理[1-2]或者雙光束干涉的疊加原理[3-5]進(jìn)行光強(qiáng)分析，并運(yùn)用MATLAB的數(shù)值計(jì)算及可視化上對干涉現(xiàn)象進(jìn)行模擬計(jì)算。從傅里葉光學(xué)的角度分析楊氏雙縫干涉的光強(qiáng)分布，并用MATLAB進(jìn)行模擬分析的文獻(xiàn)還未發(fā)現(xiàn)。本文根據(jù)傅里葉光學(xué)分析了楊氏雙縫干涉的光強(qiáng)分布，并用MATLAB對干涉光強(qiáng)進(jìn)行模擬計(jì)算。

1 光強(qiáng)計(jì)算分析

如圖1所示，單色平面光波垂直照射在雙縫S1、S2所在平面x1（衍射屏），經(jīng)過雙縫傳播到觀察平面x（觀察屏）。在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)一般采用演示的方法，利用激光光源直接照射在雙縫上，根據(jù)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，采用不同的觀察屏（教室的墻壁、黑板等），為了肉眼能夠直接觀察到干涉條紋，一般情況下D的距離較大。在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，為了更好測量，取得更精確的結(jié)果，得到更清晰的干涉條紋，實(shí)驗(yàn)室一般用讀數(shù)目鏡測量條紋間距，典型的實(shí)驗(yàn)參數(shù)為d(mm)、D(m)、σ(mm)、b(10-4m)，其中σ表示實(shí)驗(yàn)中干涉條紋存在區(qū)域的線度。觀察屏光強(qiáng)的計(jì)算方法可以采用如下方法進(jìn)行計(jì)算。

圖1 雙縫干涉光路示意圖

1.1 雙光束干涉光強(qiáng)計(jì)算

設(shè)縫S1、S2在觀察屏上的光強(qiáng)分布為I1、I2，根據(jù)波的疊加原理[6]，觀察屏上光強(qiáng)

在實(shí)驗(yàn)中，為了得到更好的干涉條紋，通?？刂茖?shí)驗(yàn)光路確保I1=I2，此時(shí)干涉條紋的可見度最高，條紋的明暗對比最強(qiáng)，設(shè)I1=I2=I0，則

實(shí)驗(yàn)中，在典型實(shí)驗(yàn)參數(shù)的條件下，能夠保證遠(yuǎn)場傍軸條件，對光程差r1-r2可以做近似計(jì)算得到

式（1）是MATLAB雙縫干涉模擬計(jì)算的重要依據(jù)。

1.2 傅里葉光學(xué)光強(qiáng)計(jì)算

根據(jù)標(biāo)量衍射理論[7-8]，衍射是光振動由衍射屏后表面到觀察屏的自由傳播，當(dāng)觀察屏與衍射屏的距離遠(yuǎn)大于孔徑線度并且傍軸近似條件下，可以用菲涅爾衍射計(jì)算觀察面的光強(qiáng)分布。

1.2.1 菲涅耳衍射計(jì)算

設(shè)屏函數(shù)

則觀察屏上的光場分布為

1.2.2 夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算

在菲涅爾衍射的基礎(chǔ)上，如果傳播距離進(jìn)一步增加或減小衍射孔徑線度，菲涅爾衍射可進(jìn)一步簡化為夫瑯禾費(fèi)衍射。

通過不同的角度，對雙縫干涉的光強(qiáng)分布作計(jì)算，給出了3種不同表達(dá)形式，其中式（1）（3）給出了光強(qiáng)分布的解析解，而式（2）只給出了積分表達(dá)式，需要采用一定的方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在這3種表達(dá)式中，式（2）適用范圍要比式（1）（3）的廣，給出影響光強(qiáng)分布的因素更多。

2 仿真計(jì)算

為了更好地理解以上計(jì)算方法的差異，通過MATLAB 軟件可以更直觀進(jìn)行分析對比。3 種方法給出的光強(qiáng)表達(dá)式雖有差異，但用MATLAB 軟件分析計(jì)算的程序流程是相似的，其流程圖如圖2所示[9]。

圖2 光強(qiáng)仿真計(jì)算流程

2.1 雙光束干涉仿真計(jì)算

利用式（1），可以分析d、D及波長λ對光場的影響。設(shè)波長λ=632.8 nm，雙縫間距d=1 mm，衍射屏到觀察屏的距離D=2 m，觀察區(qū)域線度σ=12 mm，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 雙縫干涉光強(qiáng)仿真

通過改變D、d的大小得到的光強(qiáng)分布如圖4。從圖4 分析可以得出，只要D/d的比值固定不變，其仿真結(jié)果一樣，這也是目前軟件分析光強(qiáng)分布的最常用方法。即使當(dāng)縫間距d=0.001 mm，D=2 mm 時(shí)也能仿真出清晰的干涉圖像，在該條件下，式（1）成立的條件已經(jīng)被破壞，也能得到相對應(yīng)的成果。從實(shí)驗(yàn)角度，在如此參數(shù)下，實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)是困難的，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是不相符的。

圖4 不同D、d值的干涉光強(qiáng)仿真

2.2 夫瑯禾費(fèi)衍射仿真計(jì)算

設(shè)波長λ=632.8 nm，雙縫間距d=1、0.5、0.25 mm，縫寬b=1、0.5、0.25 mm，衍射屏到觀察屏的距離D=2 m，觀察區(qū)域線度σ=16 mm，當(dāng)d=b時(shí)，實(shí)際分析為單縫衍射。根據(jù)式（3）進(jìn)行仿真如圖5，從仿真計(jì)算結(jié)果分析與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射結(jié)果相同。

圖5 單縫衍射光強(qiáng)仿真

波長λ=632.8 nm，雙縫間距d=1 mm，衍射屏到觀察屏的距離D=1 m，觀察區(qū)域線度σ=16 mm，改變縫寬b，其計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同b值的光強(qiáng)仿真

在固定雙縫間距d及干涉距離D的前提下，改變縫寬b的前提下（1∶1，1∶0.75，1∶0.5，1∶0.25，1∶0.1，1∶0.01），可以看到隨著縫寬的不斷減小，單縫衍射的因素越來越強(qiáng)，縫間干涉的因素顯示得越清晰，當(dāng)縫寬與縫間距比例達(dá)到100 時(shí)，縫寬b=0.01 mm 時(shí)，其光強(qiáng)分布與式（1）仿真計(jì)算結(jié)果相同。從圖6的光強(qiáng)分布曲線可以看到，隨著縫寬的不斷減小，單縫衍射中央亮條紋的寬度不斷增加，在相同的顯示區(qū)域內(nèi)，能觀察到的縫間干涉圖像區(qū)域越大，雙縫干涉效果越明顯。

2.3 菲涅爾衍射仿真計(jì)算

根據(jù)標(biāo)量衍射理論，式（2）也可以表示為

FFT{}表示傅里葉變換，可以利用軟件的傅里葉變換函數(shù)而實(shí)現(xiàn)。

設(shè)波長λ=632.8 nm，雙縫間距d=1 mm，縫寬b=0.1 mm，衍射屏到觀察屏的距離D=1 m。計(jì)算結(jié)果如圖7所示。結(jié)果與式（1）（3）相同。

圖7 菲涅爾衍射光強(qiáng)仿真

保持d、b數(shù)值不變，改變D的取值，對觀察屏的強(qiáng)度分布計(jì)算如圖8所示。

圖8 不同D值的光強(qiáng)仿真

從圖8中可以看出，當(dāng)衍射距離D為5 cm時(shí)，光的傳播還可以近似為直線傳播，縫S1、S2發(fā)出的光波還沒有相遇。隨著D的增加，單縫的衍射現(xiàn)象越來越明顯，D=30 cm時(shí)，兩單縫衍射的中央條紋開始相遇，發(fā)生相干疊加，當(dāng)衍射距離增加到1 m 時(shí)，干涉條紋明顯，隨著D值得進(jìn)一步提升，條紋的可見度得到提高。從圖中可以看出，干涉條紋主要集中在兩單縫衍射中央條紋疊加區(qū)域，雙縫干涉是單縫衍射對應(yīng)中央條紋的相干疊加，干涉條紋的觀察區(qū)域的大小與單縫衍射中央明紋的寬度相對應(yīng)。

用該方法計(jì)算的結(jié)果與雙縫干涉實(shí)驗(yàn)相吻合，雙縫干涉實(shí)驗(yàn)操作一般是先找到兩束光的相遇區(qū)域，當(dāng)用一張白紙輔助確定相遇區(qū)域時(shí)，隨著白紙與雙縫之間距離的變化，白紙上光強(qiáng)的變化與仿真結(jié)果相一致。

3 結(jié)論

波長λ=632.8 nm，雙縫間距d=1 mm，衍射屏到觀察屏的距離D=1 m 時(shí)，采用不同的計(jì)算方法得到的結(jié)果相同，但是采用光程差計(jì)算的結(jié)果最為優(yōu)美，與教材理想化的分析最為相符；在D=1 m時(shí)，改變d、b數(shù)值，夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算能夠清晰地得到雙縫干涉是單縫衍射對多縫干涉調(diào)制的結(jié)果；在d=2 mm、b=0.1 mm時(shí)，改變D值，菲涅耳衍射計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，更好地闡釋了干涉與衍射的聯(lián)系。通過仿真計(jì)算，進(jìn)一步明確雙縫干涉強(qiáng)度分布公式成立的前提條件，清楚實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果的差異的原因。在3種計(jì)算方法中，菲涅耳衍射計(jì)算與實(shí)際最相符，從編程的角度分析，菲涅耳衍射計(jì)算難度較大，需要考慮衍射面的尺寸及觀察區(qū)域的線度，另外選擇合適的采樣，也是仿真計(jì)算成敗的關(guān)鍵。