一類帶時(shí)滯的Holling II 型功能反應(yīng)的隨機(jī)捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性

郗麗莎 羅 東

（1、西安財(cái)經(jīng)大學(xué)行知學(xué)院 通識部，陜西 西安710038 2、陜西服裝工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 咸陽712046）

生物數(shù)學(xué)是生物與數(shù)學(xué)結(jié)合的一門交叉學(xué)科，并在發(fā)展和應(yīng)用中建立和完善了自己的一套理論體系。它是通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想建立了生物種群模型，以此來研究生物種群之間的相互作用關(guān)系。然而生物種群之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜但又非常重要，是我們研究生態(tài)學(xué)發(fā)展必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。它們之間充滿著相互捕食、競爭、依存和寄生等關(guān)系，捕食關(guān)系就是其中重要的關(guān)系之一，也是研究比較廣泛、經(jīng)驗(yàn)比較豐富的。那么在捕食系統(tǒng)中，庇護(hù)效應(yīng)、年齡階段、時(shí)滯效應(yīng)，功能反應(yīng)等都值得深入研究。我們本文重點(diǎn)研究的是時(shí)滯效應(yīng)對系統(tǒng)的影響，考慮到生物種群密度的改變對增長率的影響存在時(shí)間滯后，比如，食餌與捕食者的妊娠期、哺乳期等。從而在對具有時(shí)滯等現(xiàn)實(shí)因素的系統(tǒng)進(jìn)行研究時(shí)，主要討論系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定狀態(tài)并給出證明。因此時(shí)間滯后效應(yīng)與種群系統(tǒng)的生存發(fā)展的狀態(tài)息息相關(guān)。更全面的了解種群的生存發(fā)展?fàn)顩r，是目前許多學(xué)者關(guān)注的問題之一。

但是，在生物界中，無論大小生物都或多或少的受到內(nèi)在或外在因素的影響。比如內(nèi)在因素有：種內(nèi)競爭、生老病死、遷入或者遷出以及性別比例不均衡等。外在因素有：人類對于動(dòng)物的獵殺、或者保護(hù)的行為、大自然的氣候、動(dòng)物入侵，食物供應(yīng)等。有利條件下生物的種群密度增大，不利條件下生物的種群密度下降。比如：陽光充足、雨水充沛，植物就會枝繁葉茂，食草動(dòng)物就會糧食富足，物種數(shù)量就會隨之增加；否則，就會減少。所以，為了更全面的了解生態(tài)系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，我們在以往的確定性模型中加入隨機(jī)因素得到隨機(jī)系統(tǒng)模型，以此來分析種群的性態(tài)。終于在各位學(xué)者的不斷努力、大膽嘗試中總結(jié)收獲了現(xiàn)有的寶貴經(jīng)驗(yàn)和有效方法。在文獻(xiàn)[1-4]中，作者們主要研究了在隨機(jī)因素的干擾下的具有時(shí)滯因素的Lotka-Volterra 模型，分析其解具有的特殊性質(zhì)，從而得到模型符合的生物學(xué)特性。其中文獻(xiàn)[3]和[4]都分析了具有時(shí)滯的隨機(jī)Lotka-Volterra 模型，前者加入了可變時(shí)滯，后者加入了無限時(shí)滯，分別討論得到其解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5,6]研究了隨機(jī)時(shí)滯Logistic 系統(tǒng)模型的持久性和滅絕性。文獻(xiàn)[8]和[11]分析了具有時(shí)滯和隨機(jī)項(xiàng)的捕食系統(tǒng)，得到解的一系列特性。文獻(xiàn)[9]討論了具有時(shí)滯和擴(kuò)散效應(yīng)的隨機(jī)捕食系統(tǒng)模型，得到系統(tǒng)全局正解存在并且唯一，以及當(dāng)系統(tǒng)滅絕或者平穩(wěn)生存時(shí)解所滿足的條件。本文將研究具有時(shí)滯的HollingII 型的隨機(jī)捕食系統(tǒng)，對于確定性捕食系統(tǒng)表示如下：

考慮隨機(jī)因素的干擾，研究捕食者具有時(shí)滯的Holling II 型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，對上述確定性系統(tǒng)做變換a→a+σ（1x（t）-x*t），-d→-d+σ（2y（t）-y）*（t），得到如下隨機(jī)系統(tǒng)：

方程中，x（t），y（t）分別指t 時(shí)間，被捕食者的種群的數(shù)量，捕食者種群的數(shù)量，x*，y*為不含隨機(jī)干擾時(shí)系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)，a，b，c，d，e，α 均為常數(shù)，α 表示被捕食者在不受外界干擾下自身的一個(gè)增長比率，b 表示被捕食者的種內(nèi)之間的一種競爭制約常數(shù)，c，e 分別是指被捕食者和捕食者這兩個(gè)種群之間的約束比率，d 表示捕食者的一個(gè)自然死亡比率。

τ 表示時(shí)間滯后效應(yīng)，表示在這一時(shí)刻之前，對于捕食者而言，才具有能夠捕獵和覓食的能力。

1 系統(tǒng)正解的存在唯一性

證明t≥0時(shí)，設(shè)初值函數(shù)u（0）=lnx0，v（0）=lny0，得到方程

定理1 對任意給定初值（x0，y）0∈R，系統(tǒng)（1）具有唯一解(x(t) ,y(t)),t≥0, 并且此解依概率1 停留在R中。

證明 由引理1，只需要證明τe=∞，a.s.即可。

設(shè)n0＞0 足夠大，使（x0，y0）的每一個(gè)分量都落在[1/n0，n0]中，定義停時(shí)τk=inf {t∈[ 0 , τe) :x(t) ?( 1 /n,n)或y(t) ?(1 /n,n)},其中。令 inf?=∞，顯然，當(dāng)n→∞時(shí)，τk單調(diào)遞增，令則 τ∞≤τe,a.s.。若能證明τ∞=∞，a.s.，則τe=∞，a.s.. 也就證明了 (x(t) ,y(t)) ∈. 即，對于該定理只需要證明 τ∞= ∞,a.s.。假設(shè)存在常數(shù)T＞0 和ε∈（0，1），使P＞ε，則存在當(dāng)時(shí)有

定義一個(gè)C2函數(shù)V：R→R+，V（x，y）=（x-1-lnx）+（y-1-lny），由于當(dāng)u＞0 時(shí)，u-1-lnu≥0，因此V（x，y）是一個(gè)非負(fù)函數(shù)。

其中

則有

顯然F（x，y）有上界，設(shè)其上界為K＞0 則

2 解的隨機(jī)最終有界性

定義1 模型（1）的解是隨機(jī)最終有界的，若有對所有的ε∈（0，1）只要有大于0 的數(shù)δ=δ（ε）＞0 使得對所有的初始解（x0，y）0∈R模型（1）的解符合以下條件：

引理2 對所有的θ∈（0，1）只要有大于0 的數(shù)H=H（θ）和初始解（x0，y0）∈R2+無關(guān)，使得模型（1）的解（x（t），y（t））符合以下條件：

3 解的全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定性

定理3 如果A＜0，4AB-C2＞0 且e（1+αx*）-c（t-τ）＞0 則系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)（x*，y*）是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的。

所以，若A＜0，4AB-C2＞0，滿足e-αd＞0，0＜m＜1-bd/[α（e-αd）]成立，則LV（x，y）＜0。 因此沿著第一象限中除了（x*，y*）以外的任何軌線的正向都有LV（x，y）＜0 成立。

因此，考慮到時(shí)間滯后的影響構(gòu)建HollingII 型功能反應(yīng)模型，深入探討該模型在噪聲干擾作用下的系統(tǒng)種群是否趨于穩(wěn)定，若時(shí)間滯后效應(yīng)影響較小時(shí)，即e（1+αx*）-c（t-τ）＞0 時(shí)系統(tǒng)處于全局穩(wěn)定狀態(tài)，對保護(hù)生物多樣性以及維持生態(tài)平衡起著重要作用。