葛衛(wèi)國(guó) 劉岳

一、教材分析

數(shù)學(xué)教材的編排是遞進(jìn)式的，知識(shí)點(diǎn)在教材中是有縱橫聯(lián)系的。例如，“補(bǔ)角”這節(jié)內(nèi)容，學(xué)生是在學(xué)習(xí)過直角、平角的基礎(chǔ)上，再通過一定的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系學(xué)習(xí)兩角互余、互補(bǔ)的概念、性質(zhì)，以及用方程的思想來解決某個(gè)角的度數(shù)的問題，為以后研究角相等做好鋪墊?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)補(bǔ)角的要求是：理解補(bǔ)角的概念，探索補(bǔ)角的性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)角的補(bǔ)角。

教師在研讀教材時(shí)，必須找準(zhǔn)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，才能在教學(xué)過程中突出重點(diǎn)，解剖難點(diǎn)，找到突破點(diǎn)，否則會(huì)影響教學(xué)效果。本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)就是補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)就是數(shù)形結(jié)合。

二、教學(xué)過程

1.情境引入，激發(fā)思維

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角、直角、平角、余角，大家回憶一下，什么叫作互為余角？如果我在直角里畫一條射線，那么形成的兩個(gè)角有什么數(shù)量關(guān)系？如果我在平角里畫一條射線，那么形成的兩個(gè)角存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已有的知識(shí)或者身邊的生活常識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生通過類比聯(lián)想，觸類旁通，不知不覺地進(jìn)入學(xué)習(xí)新知識(shí)的情境中。教師通過將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生明確事物之間是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

2.探究新知，發(fā)展思維

活動(dòng)1：識(shí)補(bǔ)角

（1）在圖1、圖2中，∠α+∠β=。

（2）在A組中有10°、55°、75°、100°、145°的角，在B組中有35°、80°、105°、125°、170°的角，對(duì)A組中的每一個(gè)角，請(qǐng)?jiān)贐組中找出它的補(bǔ)角。

（3）一個(gè)平角，從角的頂點(diǎn)畫出兩條射線，形成三個(gè)角，分別標(biāo)上∠1、∠2、∠3，那么∠1、∠2、∠3互為補(bǔ)角嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：教師通過例題初步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)補(bǔ)角的概念，強(qiáng)化余角和補(bǔ)角的區(qū)別，認(rèn)識(shí)互余和互補(bǔ)兩個(gè)角之間的大小關(guān)系。通過計(jì)算，學(xué)生再次加深對(duì)余角、補(bǔ)角的認(rèn)識(shí)。

活動(dòng)2：求性質(zhì)

（1）余角有何性質(zhì)？模仿余角性質(zhì)，請(qǐng)猜想一下補(bǔ)角的性質(zhì)。

（2）如圖3，利用補(bǔ)角概念，求證：∠1=∠2。

（3）若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2與∠4有什么數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：猜想也是數(shù)學(xué)思考的一種方法。由類比猜想到驗(yàn)證猜想，增強(qiáng)了學(xué)生自信心，也為新學(xué)知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。（2）（3）是由教材內(nèi)容改編而來，對(duì)學(xué)生更有吸引力和挑戰(zhàn)性。學(xué)生在探索互余的性質(zhì)后，類比遷移互補(bǔ)的概念及性質(zhì)，很容易得出補(bǔ)角的兩個(gè)性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等；等角的補(bǔ)角相等。教師通過這兩個(gè)性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思考過程，并歸納性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生由具體問題到抽象出幾何命題的能力以及語言表達(dá)的能力，使學(xué)生養(yǎng)成類比質(zhì)疑的好習(xí)慣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)、討論中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。

活動(dòng)3：找補(bǔ)角

（1）一副三角板如圖4放置，請(qǐng)找出∠DAC的補(bǔ)角。

（2）如圖5，點(diǎn)O在直線AB上，∠AOC=30°，將一個(gè)含有30°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，較長(zhǎng)的直角邊OM在射線OB上，較短的直角邊ON在直線AB的下方。圖中與∠BOC互補(bǔ)的角有 。

設(shè)計(jì)意圖：找一個(gè)角的補(bǔ)角，學(xué)生往往認(rèn)為補(bǔ)角就是鈍角旁邊的角，卻忘記了只要兩個(gè)角的和加起來等于180度時(shí)，兩個(gè)角就互為補(bǔ)角。教師通過此活動(dòng)再次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)補(bǔ)角概念的理解，讓學(xué)生深刻掌握互補(bǔ)是兩個(gè)角之間的關(guān)系，與位置無關(guān)。

活動(dòng)4：測(cè)補(bǔ)角

要測(cè)量?jī)啥聣λ纬傻摹螦OB的度數(shù)（如圖6），而且不可入內(nèi)測(cè)量，該如何測(cè)量？

設(shè)計(jì)意圖：在測(cè)量補(bǔ)角時(shí)，有的學(xué)生眼光只放在∠AOB的內(nèi)部，無法得出結(jié)論。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用間接的方法，測(cè)量∠AOB的補(bǔ)角。（∠AOB的補(bǔ)角有兩個(gè)，它們是對(duì)頂角，測(cè)量任意一個(gè)都行，拓展學(xué)生的思維。）同時(shí)，教師要檢查學(xué)生使用量角器的方法是否正確。

活動(dòng)5：算補(bǔ)角

已知一個(gè)銳角的補(bǔ)角等于這個(gè)銳角的余角的3倍，求這個(gè)銳角和它的補(bǔ)角。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生用方程求解的前提是正確認(rèn)識(shí)余角和補(bǔ)角之間的關(guān)系，抓住關(guān)鍵詞和關(guān)鍵句，列出方程再求解。

3.歸納方法，聚焦思想

師：解決補(bǔ)角問題的基本思路是什么？本專題涉及的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：教師通過提問的方式，讓學(xué)生自己總結(jié)解決補(bǔ)角問題的基本思想，再延伸到整節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想方法。教師最后總結(jié)——在學(xué)習(xí)補(bǔ)角的概念中，用到了類比思想，在解答時(shí)用到了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想等。這些數(shù)學(xué)思想，是幫助學(xué)生解決問題的常用思想，而正確畫出圖形，是學(xué)生運(yùn)用這些思想的最好橋梁。

三、教學(xué)反思

1.追求素養(yǎng)化課堂

在課堂教學(xué)中，教師要精選學(xué)科核心知識(shí)作為教學(xué)載體，根據(jù)知識(shí)屬性匹配課堂培育目標(biāo)，幫助學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。因此，教師應(yīng)該在深度解讀教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生基本情況，對(duì)教材中的內(nèi)容及呈現(xiàn)方式進(jìn)行再重組、再優(yōu)化，讓教材能更好地為教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生服務(wù)。值得注意的是，深度解讀教材，不是指把課本內(nèi)容拓寬加深后變得繁、難、偏、怪，而是要把課本沒有說完、說全的內(nèi)容，通過鉆研把知識(shí)點(diǎn)講到位，講到邊，講得深刻，講得有味。

2.凸顯知識(shí)的完整性和遞進(jìn)性

數(shù)學(xué)中每節(jié)知識(shí)點(diǎn)看似是獨(dú)立的，實(shí)際是有關(guān)聯(lián)的。每一節(jié)知識(shí)內(nèi)部都存在邏輯關(guān)系以及完整性，我們不能把單元知識(shí)講解得支離破碎，而要讓知識(shí)形成完整體系。例如，“補(bǔ)角”這節(jié)內(nèi)容，從概念到性質(zhì)，再到運(yùn)用，層層遞進(jìn)，逐步展開，概念是起點(diǎn)，性質(zhì)是升華，運(yùn)用是高潮，凸顯了知識(shí)的遞進(jìn)性。

3.發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和智慧性

課堂上，教師要鼓勵(lì)學(xué)生各抒己見，發(fā)表創(chuàng)造性意見，營(yíng)造良好的互動(dòng)氛圍，讓學(xué)生參與簡(jiǎn)單內(nèi)容的講解和整理，擺脫“一味聽”的狀態(tài)，主動(dòng)參與到課堂中來，積極挖掘?qū)W生的智慧，不斷增強(qiáng)探究的信心和能力，及時(shí)給予多元欣賞性評(píng)價(jià)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”。

4.深度挖掘知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，不是知識(shí)的本身，而是解決這類問題的方法。任何人都不可能把全部的數(shù)學(xué)題做完，也無法做完。雖然解題思路和解題方法不盡相同，但萬變不離其宗。教師只有引導(dǎo)學(xué)生找出知識(shí)點(diǎn)背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法，才能不斷地發(fā)展學(xué)生的思維能力。

（作者單位：1.江蘇省泗陽縣教師發(fā)展中心； 2.江蘇省泗陽縣樹強(qiáng)中學(xué)）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題（初中專項(xiàng)，編號(hào)E-c/2021/17）“聚焦學(xué)生思維：初中數(shù)學(xué)教師深度解讀教材的實(shí)踐研究 ”的階段性研究成果。