三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教法探索

任曦

［摘 要］三角形的穩(wěn)定性出現(xiàn)在蘇教版教材第八冊(cè)中，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中它不是單設(shè)的一個(gè)課程，而是“認(rèn)識(shí)三角形”內(nèi)容的一個(gè)分支。三角形的穩(wěn)定性這一性質(zhì)有別于一般的幾何性質(zhì)，無(wú)法通過(guò)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)來(lái)證明，通常是通過(guò)制作三角形框架和四邊形框架，讓學(xué)生動(dòng)手拉扯，用實(shí)踐操作直觀證實(shí)三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形易變形。然而，這種操作活動(dòng)并未從數(shù)學(xué)理論上推導(dǎo)出三角形具有穩(wěn)定性。

［關(guān)鍵詞］三角形；穩(wěn)定性；本質(zhì)；邊長(zhǎng)；全等

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）32-0024-03

如何理解三角形具有穩(wěn)定性這一性質(zhì)？通過(guò)查閱詞典，筆者發(fā)現(xiàn)三角形穩(wěn)定性中的“穩(wěn)定”即“不易發(fā)生形變”的意思，與“松動(dòng)”“易變形”的意思相對(duì)。

一、“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)

1979年，美國(guó)兩位學(xué)者發(fā)表了題為《圖形的穩(wěn)定性》的數(shù)學(xué)論文，對(duì)具有穩(wěn)定性的幾何圖形做了系統(tǒng)的梳理和詳細(xì)介紹：

由一個(gè)頂點(diǎn)O引出兩條邊后能得到一個(gè)幾何角，如果邊可以隨意旋轉(zhuǎn)，那么角O的大小、形狀就會(huì)隨之變化，這時(shí)圖形不具備穩(wěn)定性。但如果在這兩條邊上各找一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)一條線段將這兩個(gè)點(diǎn)（端點(diǎn)）的距離固定（如圖1），也就是將PQ的長(zhǎng)度固定，那么角O的開(kāi)口大小就被兩個(gè)端點(diǎn)的距離“固定”了。此時(shí)，幾何圖形OPQ就是一個(gè)三角形，角O的穩(wěn)定性自然轉(zhuǎn)移為三角形的穩(wěn)定性。

如圖2，在任意△ABC中，只要保持三邊長(zhǎng)度不變，那么任意一條邊的長(zhǎng)度都可視為連接對(duì)應(yīng)角的兩條邊的端點(diǎn)的距離，那么三角形三個(gè)端點(diǎn)間的距離就不變。于是三角形就不會(huì)發(fā)生形變，所以三角形具有穩(wěn)定性。

還有一篇關(guān)于平面圖形穩(wěn)定性的論文，進(jìn)一步從幾何公式的角度闡釋了如何判斷圖形的穩(wěn)定性：由拉曼圖組成的幾何圖形才具有穩(wěn)定性。拉曼圖的定義為“在平面內(nèi)具有穩(wěn)定性的圖形，其邊和頂點(diǎn)的數(shù)量必須滿足這樣的數(shù)量關(guān)系，若頂點(diǎn)數(shù)為n，那么邊數(shù)必為2n-3；若n≥3，那么任意兩邊的‘?dāng)帱c(diǎn)必須連接起來(lái)”。照此定義，任意一個(gè)幾何多邊形，只要充分連線，都可以轉(zhuǎn)化為拉曼圖。

通過(guò)計(jì)算可知，三角形的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)符合拉曼圖的定義，三角形是最簡(jiǎn)單的拉曼圖。四邊形要獲得幾何穩(wěn)定性，根據(jù)拉曼圖原理，其必須建立4×2-3=5（條）線段。除了四邊形所需的4條線段，為了連接不相鄰的頂點(diǎn)，還要連接對(duì)角線，這樣就將四邊形分割成兩個(gè)三角形。同理，五邊形、六邊形也是一樣的操作方式。（如圖3）

從理論根源上找到三角形具有穩(wěn)定性的奧秘，才是對(duì)三角形穩(wěn)定性的最深刻認(rèn)識(shí)。

二、與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系

“三角形的穩(wěn)定性”在人教版教材中被編排在第八冊(cè)第三章第二課時(shí)，是學(xué)生學(xué)完三角形所有概念后的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在這之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)基本的幾何圖形及其運(yùn)動(dòng)形式有所了解，在第七冊(cè)中又學(xué)習(xí)了四邊形的易變性，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的穩(wěn)定性積累了經(jīng)驗(yàn)。

但人教版教材在編排“梯形”的內(nèi)容時(shí)，用梯子等穩(wěn)固的物品引入梯形的概念就不妥當(dāng)，容易傳遞梯形具有穩(wěn)定性的錯(cuò)誤信號(hào)，誤導(dǎo)學(xué)生。“三角形的穩(wěn)定性”是一個(gè)重要的性質(zhì)，它是學(xué)生將來(lái)在中學(xué)學(xué)習(xí)全等三角形的判斷的理論基礎(chǔ)。雖然全等三角形的知識(shí)在小學(xué)不作學(xué)習(xí)要求，但是小學(xué)數(shù)學(xué)教師要具有前瞻性，合理地進(jìn)行知識(shí)的滲透。

據(jù)史料記載，人類歷史上首次提出并證明全等三角形的人是古希臘人泰勒斯。他是第一個(gè)應(yīng)用了全等三角形判定定理的人。三百年后，歐幾里得對(duì)全等概念做了系統(tǒng)闡述，其中有一條被稱為萬(wàn)能判定定理的法則——彼此重合的物體是全等的。他還給出了全等三角形的三種判定方法：“角邊角”“邊邊邊”“角角邊”。其中，“邊邊邊”的判定方法與三角形的穩(wěn)定性不謀而合，即如果三角形三邊長(zhǎng)度固定，那么三角形的形狀也唯一確定。三角形穩(wěn)定性的用途十分廣泛，涉及地理、建筑、外交、軍事、政治等領(lǐng)域。例如，要想形成穩(wěn)定的外交關(guān)系，就要努力建立“三足鼎立，互為犄角”的外交關(guān)系。反之，要破壞穩(wěn)定，則要破壞這種三角結(jié)構(gòu)。

到了初中，學(xué)生的理論水平大幅提高，學(xué)生就會(huì)思考：為什么所有的幾何圖形中只有三角形存在全等的概念，而其他圖形則沒(méi)有這個(gè)提法？從而發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，而三角形穩(wěn)定性的來(lái)源恰好可以作為全等的判定依據(jù)。所謂全等，實(shí)際上就是對(duì)三角形形狀、大小的唯一性做出確認(rèn)，在這個(gè)三角形的形體唯一性被確認(rèn)后，按照這種“尺碼”打造的任何三角形都是這個(gè)三角形的復(fù)制品，它們統(tǒng)統(tǒng)全等。也就是說(shuō)，任意一個(gè)三角形的形態(tài)都是獨(dú)一無(wú)二的，凡是相同者必然有符合促成其穩(wěn)定性的全部特征。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

三角形的穩(wěn)定性是三角形的本質(zhì)屬性，是客觀存在的幾何特征。教學(xué)目標(biāo)可以確立為“探究三角形三邊長(zhǎng)度對(duì)三角形形狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響”。要順利完成教學(xué)目標(biāo)，不妨讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用等數(shù)學(xué)過(guò)程，逐漸體會(huì)三角形的穩(wěn)定性。

【第一環(huán)節(jié)】理解穩(wěn)定性的概念

人教版教材對(duì)穩(wěn)定性沒(méi)有出具合理的權(quán)威解釋，且編排的“梯形”內(nèi)容還從穩(wěn)固的實(shí)物中提煉出不穩(wěn)定的梯形，這容易對(duì)學(xué)生造成負(fù)遷移。因此，在課堂引入階段提出要求：請(qǐng)你解釋什么是幾何意義上的“穩(wěn)定”，試著舉出幾個(gè)例子。目的是讓學(xué)生領(lǐng)悟這里的“穩(wěn)定”是指圖形的形狀、大小不變，為之后的研究扎根。

這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，先回顧什么是物體的穩(wěn)定，再通過(guò)操作研究出三角形一邊長(zhǎng)短可以決定其對(duì)角的開(kāi)口大小，探明三角形三邊長(zhǎng)短決定三角形的形狀、大小，從而提出猜想。教師緊接著從角引入穩(wěn)定性，提出類似“用兩根長(zhǎng)度固定的木棒做試驗(yàn)，想一想，如何添加學(xué)具才能制作一個(gè)大小不變的角？”的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生想到用第三根木棒來(lái)固定，構(gòu)成三角形。

【第二環(huán)節(jié)】學(xué)生觀察和操作

通過(guò)“如果第三根木棒的長(zhǎng)度有變化，角和組成的圖形會(huì)發(fā)生什么變化？四人一組，交流和歸納自己的發(fā)現(xiàn)”這樣的任務(wù)，讓學(xué)生體會(huì)三角形三邊長(zhǎng)短決定了其形狀大小，并聯(lián)系前面提到的穩(wěn)定概念，提出三角形具有穩(wěn)定性的猜想。此外，可以讓學(xué)生完成“用木棒拼擺各種不同的多邊形，看看是否可以隨意變形”“要使其具有穩(wěn)定性，可以如何操作”等任務(wù)，讓學(xué)生體驗(yàn)到三角形才是最穩(wěn)定的基本幾何圖形。

學(xué)生觀察圖形的變化情況，發(fā)現(xiàn)三角形邊、角、形三者之間的制約關(guān)系，發(fā)表觀點(diǎn)并討論。

【第三環(huán)節(jié)】驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論

經(jīng)過(guò)上一環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)明確三角形的形狀由三邊長(zhǎng)短決定，本環(huán)節(jié)就只待證明?？紤]到三角形的穩(wěn)定性與全等三角形的關(guān)系，這一環(huán)節(jié)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生尋找更多成就了三角形的穩(wěn)定性的因素。

【第四環(huán)節(jié)】三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用

由于學(xué)生個(gè)體間存在差異，應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)分層設(shè)計(jì)任務(wù)，兼顧全體學(xué)生。針對(duì)后進(jìn)生，設(shè)計(jì)諸如“尋找具有三角形穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的物品”的活動(dòng)；針對(duì)中等生，則設(shè)計(jì)諸如“設(shè)計(jì)具有三角形穩(wěn)定性的物品并說(shuō)明設(shè)計(jì)思路”的活動(dòng)；針對(duì)優(yōu)等生，則可將三角形的穩(wěn)定性從幾何領(lǐng)域引申到外交策略，實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合。

例如，美國(guó)和朝鮮關(guān)系緊張，中國(guó)如何在保證自身安全的情況下，妥善處理與美國(guó)和朝鮮的關(guān)系？教師讓學(xué)生分小組查閱資料，利用三角形的穩(wěn)定性，想一想作為一名外交官，應(yīng)如何處理與美國(guó)和朝鮮之間的外交關(guān)系。

三角形之所以具有穩(wěn)定性是因?yàn)槿?、三角相互制約，形成三足鼎立、互為犄角的局面，三邊三角互相牽制。也就是說(shuō)，三角形的角、邊形成了“一榮俱榮，一損俱損”的聯(lián)盟關(guān)系。以此類推，生活中凡是具有三方勢(shì)力相互制約的情形，都可以形成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，比如三角關(guān)系、三腳架、三國(guó)外交等，這些都是對(duì)三角形穩(wěn)定性的升華和拓展。

作業(yè)的層次可由學(xué)生自主選擇，也可由教師根據(jù)課堂情況靈活處理，比如給出兩個(gè)任務(wù)，由學(xué)生任選其一。因?yàn)閷W(xué)生的任務(wù)不相同，最好能留到課后完成，然后課上匯報(bào)交流。

在教學(xué)“三角形的穩(wěn)定性”時(shí)，所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)既要符合學(xué)生的心理特征，又要契合數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律，讓學(xué)生的觀察、操作等系列數(shù)學(xué)活動(dòng)都能直擊數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，從而深刻揭示三角形具有穩(wěn)定性。

本節(jié)課的教學(xué)能讓學(xué)生擁有更自由的探究空間。學(xué)完后，學(xué)生在知識(shí)方面有了很大的收獲，包括三角形穩(wěn)定性之外的全等，及決定三角形穩(wěn)定性的因素等。在個(gè)人能力方面，既有獨(dú)立思考，又有合作探究，在交流分享中學(xué)生的協(xié)作意識(shí)和交流意識(shí)得到提升。

值得強(qiáng)調(diào)的是，教學(xué)有法但無(wú)定法，教師需要根據(jù)實(shí)際情況，靈活選擇適合自己和學(xué)生的教學(xué)方法。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 陳雪蓮，陳惠芳.基于兒童視角? 豐盈教學(xué)內(nèi)涵： “三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（Z2）：118-121.

[2] 劉崑文，譚志俐.與理性精神完美相遇： “三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)錄及評(píng)析[J].湖南教育（C版），2020（12）：44-47.

[3] 劉慧，劉憲升.關(guān)于教材中三角形有關(guān)內(nèi)容探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)研究（一）：三角形穩(wěn)定性及三邊關(guān)系探索活動(dòng)的比較分析[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（32）：4-7，16.

（責(zé)編 吳美玲）