螞蟻爬行比賽

李娜

在螞蟻王國舉辦的一次爬行比賽中，5只螞蟻分別從1—5號5個(gè)不同的圓柱體水杯底部點(diǎn)A出發(fā)，沿著側(cè)面爬行到指定的點(diǎn)B，因?yàn)槟抢镉忻牢兜姆涿邸＜僭O(shè)螞蟻可以聽懂指令，不可以直接沿著圓柱某條高爬行，同時(shí)，它們的爬行速度相同，且都是沿著最短的路徑，那么，哪只螞蟻?zhàn)钕鹊竭_(dá)終點(diǎn)呢？

這5個(gè)水杯的底面周長和高標(biāo)注在圖1上，長度單位都是cm。螞蟻國王對5只螞蟻有著不同的要求，其中3號杯螞蟻需要途徑點(diǎn)C后到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)C到底面的距離為水杯高的[23]；4號杯中，點(diǎn)B到底面的距離為水杯高的[34]；5號杯中，點(diǎn)B為CD中點(diǎn)且在杯的內(nèi)部，提醒5號螞蟻，別跑錯(cuò)路線，否則看到吃不到。

【分析】為了尋找最短路線，我們需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題。具體操作：首先，把圓柱的側(cè)面沿某條母線展開；其次，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定路線；最后，利用勾股定理來計(jì)算。找準(zhǔn)展開圖中A、B兩點(diǎn)的相對位置是本題的關(guān)鍵。

對于1號杯，圓柱的底面周長為9cm，高為12cm，側(cè)面展開后的矩形如圖2（其中B′為垂直向上爬行的路徑，故舍去。）。因?yàn)椤螩=90°，AC=9cm，BC=12cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻所爬行的最短路徑是15cm。

對于2號杯，側(cè)面展開后的矩形如圖3，點(diǎn)A、B的最短距離即為線段AB的長。其中∠C=90°，BC=12cm，AC為底面周長的一半，即9cm，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

對于3號杯，我們要區(qū)分與2號杯的不同，知道螞蟻是沿水杯表面爬行1圈半。因?yàn)槲浵伿墙?jīng)過點(diǎn)C后再到達(dá)點(diǎn)B，所以類比2號杯側(cè)面展開后的矩形，點(diǎn)C位置位于線段AB上，如圖4。其中∠F=90°，AF=6×1.5=9（cm），BF=12cm，由勾股定理得AB2=AF2+BF2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

對于4號杯，如圖5，因?yàn)閳A柱的底面周長為18cm，AC為周長的一半，所以AC=9cm。又因?yàn)镻C=16cm，所以BC=[34]PC=12cm。在Rt△ACB中，因?yàn)椤螩=90°，所以AB2=AC2+BC2=92+122=225，所以AB=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

對于5號杯，與4號杯不同的是蜂蜜在杯子內(nèi)部，所以螞蟻需要翻進(jìn)杯內(nèi)。假設(shè)螞蟻在杯外邊緣某一點(diǎn)P處爬進(jìn)杯內(nèi)壁，那么求線段AP+PB最短便轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“將軍飲馬”問題了。此時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于PC的對稱點(diǎn)E，連接AE，即為所求的爬行最短路線，如圖6。因?yàn)榈走厛A的一半周長為12cm，即AD=12cm，又因?yàn)辄c(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，所以CE=CB=3cm，所以DE=9cm。在Rt△AED中，∠ADE=90°，所以AE2=AD2+DE2=92+122=225，所以AE=15cm。因此，螞蟻爬行的最短路線長為15cm。

比較5個(gè)水杯：1號杯需要展開圓柱側(cè)面完整周長；2號杯與4號杯本質(zhì)一樣，側(cè)面展開一半周長即可；3號杯需要爬行1圈半，展開周長的1.5倍；5號杯與4號杯要區(qū)別杯內(nèi)壁和外壁。解決問題的關(guān)鍵是，先通過觀察決定沿著哪條高母線將圓柱側(cè)面展開，然后分析出發(fā)點(diǎn)A和目的地點(diǎn)B的具體位置是在展開圖的同側(cè)還是分居兩側(cè)，最終確定爬行的具體路線。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，原來螞蟻們圍繞高低粗細(xì)不同的5個(gè)水杯爬行的距離都是15cm，它們的速度相同，所以爬行時(shí)間也相同，最終，大家同時(shí)吃到了蜂蜜。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）