形式多樣的一次函數(shù)應(yīng)用題

游淑溶

在中考試卷中，一次函數(shù)應(yīng)用題的呈現(xiàn)方式是形式多樣的，下面舉例說(shuō)明.

一、純文字的形式呈現(xiàn)

例1 （2022·四川·瀘州）某經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品. 已知購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元.

（1）A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少元？

（2）該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃用不超過(guò)5 400元購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過(guò)B種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)的3倍. 如果該經(jīng)銷(xiāo)商將購(gòu)進(jìn)的農(nóng)產(chǎn)品按照A種每件160元，B種每件200元的價(jià)格全部售出，那么購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時(shí)獲利最多？

解析：（1）設(shè)B種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格為x元/件，則由“購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”可知A種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格為（720 - 4x）元/件，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元”，列方程為2（720 - 4x） + 3x = 690，解得x = 150，則720 - 4x = 120. 即A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是120元和150元.

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品m件，則購(gòu)進(jìn)B種農(nóng)產(chǎn)品（40 - m）件. 若用5400元購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，則有120m + 150（40 - m） = 5 400，解得m = 20. 由“用不超過(guò)5400元購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件”可得120m + 150（40 - m） < 5 400，∴m ≥ 20. 同理，由“A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過(guò)B種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)的3倍”，可知m ≤ 30，∴20 ≤ m ≤ 30. 設(shè)全部售出后獲利為w元，則w = （160 - 120）m + （200 - 150）（40 - m） = ?- 10m + 2 000. ∵ - 10 < 0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m = 20時(shí)，w取最大值，最大值為1 800元，此時(shí)40 - m = 20. 即購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品各20件時(shí)獲利最多.

二、文字加圖象的形式呈現(xiàn)

例2 （2022·浙江·麗水）因疫情防控需要，一輛貨車(chē)先從甲地出發(fā)運(yùn)送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車(chē)從甲地急送防疫專(zhuān)家到乙地. 已知甲、乙兩地的路程是330 km，貨車(chē)行駛時(shí)的速度是60 km/h. 兩車(chē)離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖1. （1）求a的值；（2）求轎車(chē)離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）求轎車(chē)比貨車(chē)早多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)乙地.

解析：（1）易知折線(xiàn)是貨車(chē)離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象，由圖象可知，貨車(chē)行駛90 km用了a h，而貨車(chē)行駛時(shí)的速度是60 km/h，因此a = 90 ÷ 60 = 1.5（h）.

（2）易知折線(xiàn)是轎車(chē)離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象，由圖象可知，轎車(chē)用（3 - 1.5）h走了150 km，因此轎車(chē)行駛時(shí)的速度是150 ÷ （3 - 1.5） = 100（km/h），轎車(chē)用（t - 1.5）h離甲地的路程為s km，所以轎車(chē)離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式為s = 100（t - 1.5），即s = 100 t - 150；

（3）由圖象可知，貨車(chē)在中途停了2 - 1.5 = 0.5（h），因此貨車(chē)從甲地行駛到乙地所需的時(shí)間為330 ÷ 60 + 0.5 = 6（h），而轎車(chē)從甲地行駛到乙地所需的時(shí)間為330 ÷ 100 = 3.3（h），則6 - （3.3 + 1.5） = 1.2（h），所以轎車(chē)比貨車(chē)早1.2 h到達(dá)乙地.

三、文字加表格的形式呈現(xiàn)

例3（2022·四川·南充）南充市被譽(yù)為“中國(guó)綢都”，本地某電商銷(xiāo)售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產(chǎn)品，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表. 用15 000元可購(gòu)進(jìn)真絲襯衣50件和真絲圍巾25件. （1）求真絲襯衫進(jìn)價(jià)a的值. （2）若該電商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據(jù)市場(chǎng)銷(xiāo)售分析，真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍. 如何進(jìn)貨才能使本次銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

解析：（1）根據(jù)“用15 000元可購(gòu)進(jìn)真絲襯衣50件和真絲圍巾25件”可得方程：50a + 80 × 25 = 15 000，解得a = 260. 即真絲襯衫進(jìn)價(jià)a的值為260.

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)真絲襯衣x件，則購(gòu)進(jìn)真絲圍巾（300 - x）件.

根據(jù)“真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍”，則300 - x ≥ 2x.

∴當(dāng)x ≤ 100時(shí)，真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍.

設(shè)本次銷(xiāo)售獲得利潤(rùn)為w元，則w = （300 - 260）x + （100 - 80）（300 - x） = 20x + 6 000. ∵20 > 0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x = 100時(shí)，w取最大值，最大值為8 000元，此時(shí)300 - x = 200.

因此，當(dāng)購(gòu)進(jìn)真絲襯衣100件、真絲圍巾200件時(shí)，才能使本次銷(xiāo)售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8 000元.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）