從兩個(gè)角度入手，求解解析幾何中的取值范圍問(wèn)題

閆瑞敏 郭鑫培

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊.解析幾何中的取值范圍問(wèn)題常與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)，通常要求根據(jù)題意求參數(shù)的取值范圍、距離的取值范圍、角度的取值范圍、直線斜率的取值范圍等.解答此類(lèi)問(wèn)題，往往可從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度入手，尋找解題的思路.

一、幾何角度

求解解析幾何中的取值范圍問(wèn)題可從幾何角度入手，根據(jù)題目的條件，畫(huà)出圓錐曲線的圖形，結(jié)合圖形討論直線與圓錐曲線、圓錐曲線之間的位置關(guān)系，尋找臨界的情形，再利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，三角形、圓、平行四邊形、梯形的性質(zhì)來(lái)建立關(guān)系式，求得目標(biāo)式的取值范圍.

例1.已知拋物線 x2 = 4y 的焦點(diǎn)為 F，平行于 y 軸的直線 l 與圓 x2 + （y - 1）2= 1交于 A、B 兩點(diǎn)（ A 在 B 上方），與拋物線交于點(diǎn) D ，求 ΔADF 的周長(zhǎng)的取值范圍.

解：

我們從幾何角度入手，先根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)拋物線的定義尋找相等的線段，將題目中的數(shù)量關(guān)系用圖形呈現(xiàn)出來(lái)，即可根據(jù) A 、D 、F 的位置關(guān)系找到臨界的情形：（1）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，ΔADF 的周長(zhǎng)最大;（2）當(dāng) l 與圓相切時(shí)，A 、B 重合，ΔADF 的周長(zhǎng)最小，就能求得 ΔADF 的周長(zhǎng)的取值范圍.

例 2.

本題中的 |PB| 表示橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，因此考慮運(yùn)用橢圓的定義，將 |PA| + |PB| 的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化三角形中三條邊之間的關(guān)系問(wèn)題，于是根據(jù)三角形的性質(zhì)：兩邊之差小于第三邊，求得問(wèn)題的答案.從幾何角度入手，求解解析幾何中的取值范圍問(wèn)題，需合理運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)來(lái)尋找臨界的情形.

二、代數(shù)角度

代數(shù)法是將問(wèn)題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)、方程、不等式、向量、三角函數(shù)等代數(shù)知識(shí)解題的方法.從代數(shù)角度入手，求解解析幾何中的取值范圍問(wèn)題，需首先設(shè)出參數(shù)，根據(jù)圓錐曲線的方程、直線的方程建立代數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)模型、方程、不等式、向量等，便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性、方程的根的判別式、不等式的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則、三角函數(shù)的有界性等求得問(wèn)題的答案.

例 3.

解：

解答本題，需先設(shè)出 A、B、C、D 四點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線 CD 的方程，然后將其與橢圓的方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和三角形的面積公式求得四邊形 ABCD 的面積的表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù) g（t），通過(guò)分析其導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，便可確定四邊形 ABCD 面積的取值范圍.

例4.

解：

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，需先將直線AP、AQ的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線的斜率公式求得直線 EF 的斜率表達(dá)式，再根據(jù)該式的特點(diǎn)進(jìn)行變形，利用基本不等式求得該式的最值.

例5.

解：

先設(shè)出兩個(gè)角，然后根據(jù)正弦定理以及Rt△ PF1F2的三邊之間的關(guān)系，建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，根據(jù)圓錐曲線的離心率公式求得橢圓離心率的表達(dá)式，便可將該式看作三角函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來(lái)求得橢圓離心率的取值范圍.

可見(jiàn)，解答圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題，從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度入手，可尋找到不同的解答思想，得到不同的解題方案.有時(shí)可將幾何和代數(shù)兩方面結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)形互化，使解題更加高效.

（作者單位：首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院）