陳月蓮

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題通常要求根據(jù)給出的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.在解題時(shí)，我們需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，將其進(jìn)行合理的變形、化簡(jiǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題來求解.由于此類問題中遞推關(guān)系式的形式多樣，所以求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也各不相同.下面結(jié)合實(shí)例，探討一下如何由不同的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

一、Sn = f （an） 型的遞推關(guān)系式

Sn = f （an） 型的遞推關(guān)系式中同時(shí)含有數(shù)列的前 n項(xiàng)和 Sn 以及數(shù)列的通項(xiàng)公式 an .解答此類問題，需明晰 Sn 與 an 之間的關(guān)系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造出 S n 、S n - 1 ，得到有關(guān) S n 、S n - 1 的遞推關(guān)系式，再將兩者作差，即可得到當(dāng) n ≥ 2 時(shí) an 的表達(dá)式，最后驗(yàn)證當(dāng) n = 1 時(shí) a1 是否滿足所求得的 an 的表達(dá)式.若不滿足，則需分開表示.

例?1.

已知關(guān)系式?a1 + 2a2 + 3a3 +…+ nan 可看作數(shù)列{nan} 的前 n 項(xiàng)和 S n ，該遞推關(guān)系式形如 Sn = f （an） ，需令 n = n - 1，由已知遞推關(guān)系式得到 S n - 1 的表達(dá)式，然后將兩式作差，即可得到當(dāng) n ≥ 2 時(shí) an 的表達(dá)式.本題中當(dāng) n = 1時(shí)的情況不滿足當(dāng) n ≥ 2 時(shí) an 的表達(dá)式，因此需分段表示 an .

二、an + 1 - an = f （n） 型的遞推關(guān)系式

an + 1 - an = f （n） 型的遞推關(guān)系式表示的是相鄰兩項(xiàng)之差與n有關(guān)的數(shù)列.由這類遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需采用累加法，分別令n=1，2，3，…，n-1，然后將各式累加，得到（an - an - 1） + （an - 1 - an - 2） +…+ （a2 - a1）+a1 ，則?an = f （n） + f （n - 1） +…+ f （2） + a1 ，化簡(jiǎn)該式，即可得到 an 的表達(dá)式.值得注意的是，該表達(dá)式只滿足當(dāng) n ≥ 2 時(shí)的情形，對(duì)于 n = 1時(shí)的情況，需單獨(dú)進(jìn)行討論.

例2.

在遞推關(guān)系式的左右同時(shí)除以 an + 1anan - 1 ，即可得到關(guān)系式 1an + 1- 1an= 2n ，該式形如 an + 1 - an = f （n） ，于是令n=1，2，3，…，n-1，通過累加求出當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，an的表示式，最后驗(yàn)證當(dāng) n = 1 時(shí)的情況，即可求得數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

解答本題，需先根據(jù)數(shù)列前 n 項(xiàng)的和與數(shù)列通項(xiàng)公式之間的關(guān)系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2， 得到 anan - 1= n - 1n + 1 .而該式形如 an + 1an= f （n） ，然后令n=1，2，3，…，n-1，通過累乘，即可求出當(dāng) n ≥ 2 時(shí)的 an ，最后驗(yàn)證 a1 是否滿足所求的 an ，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

四、an + 1 = Aan + f （n） 型的遞推關(guān)系式

an + 1 = Aan + f （n） 型的遞推關(guān)系式中含有數(shù)列的相鄰兩項(xiàng) an + 1 和 an，且二者呈線性關(guān)系.由形如 an + 1 = Aan+f （n） 的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需將遞推關(guān)系式變形為 an + 1 + g（n） = A（an + g（n）） 的形式，這樣便可構(gòu)造出等比數(shù)列 {an + g（n）} ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求解.

例 4.

已知遞推關(guān)系式中含有 Sn、an + 1，需根據(jù)數(shù)列前 n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)公式之間的關(guān)系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，得到不含 Sn 的式子：an + 1 = 3an + 2n.該式形如 an + 1 = Aan+f （n） ，需引入常數(shù)?r ，將遞推關(guān)系式設(shè)為?an + 1 + r?2n + 1= 3（an + r?2 ）n ，通過對(duì)比兩式的系數(shù)，求得 r 的值，即可構(gòu)造等比數(shù)列 {an + 2 }n ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得 {an + 2 }n 的通項(xiàng)公式，就能求出數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式.

通過上述分析，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同類型的遞推關(guān)系式，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，需先根據(jù)遞推 關(guān) 系 式 的 特 點(diǎn) 判 定 遞 推 關(guān) 系 式 的 類 型 ，如Sn = f （an）、an + 1 - an = f （n）、an + 1an= f （n）、an + 1 = Aan + f （n），然后將遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如，?）構(gòu)造有關(guān)Sn、Sn - 1 的式子;（2）令 n=1，2，3，…，n-1，求得遞推關(guān)系式中的 n 為 n=1，2，3，…，n-1 時(shí)的式子，再累加、累乘;（3）引入?yún)?shù)，構(gòu)造等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列前 n 項(xiàng)的和與數(shù)列通項(xiàng)公式之間的關(guān)系 an ={S1， n = 1，Sn - Sn - 1，n ≥ 2，通過累加、累乘，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，求得問題的答案.

（作者單位：江西省贛州市第十五中學(xué)）