唐錄義 劉東蓮

摘? ? 要：“誤中悟”方式以素養(yǎng)為導向，以問題為引領(lǐng)，圍繞挑戰(zhàn)性學習主題，創(chuàng)設(shè)適切情境，能實現(xiàn)深度學習，達成學習目標.其課堂活動主線由“博學格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個環(huán)節(jié)構(gòu)成.教師要倡導懷疑和批判精神，善待錯誤，遵循目標導向，預(yù)設(shè)聚焦目標性“大問題”的層層遞進的子問題串，及時、敏銳地捕捉錯誤，有序、有關(guān)、有用、有益、有效地展示情境，讓學生經(jīng)歷聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整等過程，使認識從零碎、淺表、模糊逐步進階到整體、深刻、清晰.

關(guān)鍵詞：“誤中悟”方式;“6W”活動主線;數(shù)學教學

一、“誤中悟”方式“6W”活動主線簡介

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”的基本理念，其中突出主線就是突出數(shù)學學科的內(nèi)在邏輯，站在整體的高度把握數(shù)學知識的發(fā)展脈絡(luò)，揭示知識脈絡(luò)所承載的數(shù)學思想方法和數(shù)學核心素養(yǎng)培育的價值.數(shù)學教學就是要通過設(shè)置恰當?shù)臄?shù)學活動實現(xiàn)數(shù)學知識在學生心靈中的發(fā)生發(fā)展.因此，數(shù)學教學活動需由兩條明線（知識主線、活動主線）和兩條暗線（思想方法主線、素養(yǎng)主線）構(gòu)成[1]，四條主線明暗呼應(yīng)、交織相融，滲透數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).教師要在“理解數(shù)學”的基礎(chǔ)上確定知識主線，在“理解教學”“理解學生”后確定活動主線[2].因此，在“雙減”背景下提高課堂教學質(zhì)量，設(shè)計優(yōu)質(zhì)高效的活動主線至關(guān)重要.

多年來，筆者所在的名師工作室開展了安徽省教育規(guī)劃課題“基于數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的‘誤中悟教育方式及其課堂實踐研究”的研究.“誤中悟”方式就是圍繞挑戰(zhàn)性學習主題，創(chuàng)設(shè)適切情境，從“霧區(qū)”出發(fā)，以素養(yǎng)為導向，以問題引領(lǐng)學生經(jīng)歷“博學格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個課堂教學環(huán)節(jié)（“物、霧、誤、悟、焐、務(wù)”六個字的讀音都是“wu”，故稱之為“6W”結(jié)構(gòu)），實現(xiàn)深度學習，達成學習目標.

活動主線中包括數(shù)學化活動、再發(fā)現(xiàn)活動、元認知活動三大基本活動.這里的“元認知”是美國心理學家弗拉維爾提出的概念，意為對認知的認知.人們在學習時，一方面進行著各種認知活動（感知、記憶、思維等），另一方面又要對自己的各種認知活動進行積極的監(jiān)控和調(diào)節(jié).這種對自我的感知、記憶、思維等認知活動的再感知、再記憶、再思維就稱為元認知.“誤中悟”六環(huán)節(jié)中，前兩個環(huán)節(jié)是數(shù)學化活動，中間兩個環(huán)節(jié)是再發(fā)現(xiàn)活動，后兩個環(huán)節(jié)是元認知活動.知識主線包括背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用、總結(jié).活動主線與知識主線交織融合，潛移數(shù)學思想方法，默化數(shù)學核心素養(yǎng)，相依相伴、相輔相成、依序運行.下面以“求切線方程”教學設(shè)計為例，詮釋活動主線各個環(huán)節(jié)的含義.

二、“6W”活動主線各環(huán)節(jié)詮釋

（一）博學格物：格物迷離引入勝，博貫近思學究竟

致廣大而盡精微.博學是一種求學的執(zhí)念，是一種執(zhí)著的態(tài)度，熱情、堅持不懈、陶醉其中地探索自己內(nèi)心的困惑.格物致知、悟物窮理，格物就是觀察情境[3]，情境是指影響事物發(fā)生或?qū)C體行為產(chǎn)生影響的環(huán)境載體和條件載體，情境所呈現(xiàn)給學生的刺激性信息，能引起學習興趣，喚起強烈的問題意識.博學格物就是情境活動，旨在厚培知識的根基，厘清知識的本源和背景，讓知識根植于廣博、深厚、肥沃的情境土壤之中，生根發(fā)芽、開花結(jié)果，為新知的生成搭建厚博的平臺，培根鑄魂.

教師要創(chuàng)設(shè)博貫現(xiàn)實生活、近思已有知識經(jīng)驗、切問當前主題的情境，使學生博觀約取、全身投入、沉迷陶醉，獲取信息.好的情境具有四個特征.一是指向性：指向關(guān)鍵問題，關(guān)注學科本質(zhì).二是激趣性：激發(fā)學習興趣，誘發(fā)自主探究.三是自然性：具有恰當?shù)淖匀惑w驗和思維梯度，有利于拾級而上挑戰(zhàn)問題，培養(yǎng)科學精神.四是真實性：具有真實而簡潔的特征，能快速引發(fā)數(shù)學觀察和數(shù)學思考.

【環(huán)節(jié)1】基于情境，引發(fā)思考

問題1：回憶一下，我們在初中的哪個階段接觸過切線這個概念？

問題2：直線與圓相切時，只有一個交點，那么直線與曲線相切時是不是也只有一個交點呢？

回顧初中知識點，筆者發(fā)現(xiàn)不少學生有思維定式：對于切線的理解就是只有一個交點.由此，筆者在充分考慮高二學生求解三次方程還比較吃力的情況下，讓他們求解一道因式分解比較簡單的例題：過原點O（0，0）作曲線[fx=x3-2x2+x]的切線，求該切線的方程.

導語：觀察情境，聯(lián)系學過的有關(guān)知識和已有的經(jīng)驗，尋找情境中蘊含的數(shù)學問題.同學們，請睜開數(shù)學的慧眼，把這紛擾看個清清楚楚、明明白白、真真切切！

師生活動：教師布境、激情、啟思;學生入境、動情、樂思.

（二）審問疑霧：霧中風景疑處始，審視洞照問中來

笛卡爾在《方法導論》中列舉了方法論的四條規(guī)則，第一條就是“絕不承認任何事物為真，除非我明明白白知道它確實為真”，在他的《第一哲學沉思錄》中，第一個沉思就是“質(zhì)疑一切”.“誤中悟”方式倡導懷疑和批判精神，在學生觀察情境后，教師要誘其質(zhì)疑，引其發(fā)問.

維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論認為學生的發(fā)展水平包含現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平，二者之間的區(qū)域叫最近發(fā)展區(qū).最近發(fā)展區(qū)又包含自發(fā)展水平（通過自身努力可以達成的水平）和助發(fā)展水平（需要求助方可達成的發(fā)展水平），二者之間的區(qū)域就是“誤中悟”方式所指的“霧區(qū)”.

針對“霧區(qū)”，教師要預(yù)設(shè)若干層層遞進且聚焦目標性“大問題”（核心問題）的子問題串，引導學生從“霧區(qū)”出發(fā)，遵循目標導向，以數(shù)學的視角（即形狀、位置、大小、度量、運算、關(guān)系、模型等），對情境看、想、發(fā)現(xiàn)、好奇、想問，把想問的問題提出來.教學過程中，學生可能會提出各種數(shù)學問題，它們也許與預(yù)設(shè)的核心問題偏離甚遠，然而只要學生能勇敢地提出問題，即使很幼稚，都值得珍視和鼓勵.教師要讓學生大膽展示問題，并相機啟發(fā)，順勢導出某課的核心問題.

【環(huán)節(jié)2】深入“霧區(qū)”，生發(fā)疑問

問題3：原點O（0，0）與曲線的位置關(guān)系是什么？如何判斷？（將橫坐標x=0代入，學生會發(fā)現(xiàn)原點在曲線上，從而認為切點就是原點）

問題4：問題3中的切線有幾條？

部分學生因為切點在曲線上而誤認為只有一條切線，部分學生認為有兩條切線，課堂上產(chǎn)生了思維碰撞的火花.這使對切線概念理解有“霧區(qū)”的學生產(chǎn)生困惑，筆者于是進一步啟發(fā)學生思考.

導語：通過對情境的觀察、聯(lián)想、思考，每人至少提出一個數(shù)學問題.請同學們展開想象的翅膀，讓思維自由飛翔.

師生活動：教師追問、導向、誘發(fā)、鼓勵;學生質(zhì)疑、迷茫、困惑、發(fā)問.

（三）慎思試誤：自主試誤慎思中，此時無聲勝有聲

桑代克“聯(lián)結(jié)—試誤”理論認為，人類的學習過程就是刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”的循環(huán)試誤過程.錯誤、挫折的刺激，將引發(fā)觀念沖突，產(chǎn)生強烈的反應(yīng).這種“刺激—反應(yīng)”的聯(lián)結(jié)，會觸動心靈，讓學生刻骨銘心，喚起深度學習.

克勞修斯熵增定律，用熵度量一個系統(tǒng)“內(nèi)在的混亂程度”.在一個孤立系統(tǒng)里，如果沒有外力做功，其總混亂度（熵）會不斷增大.對抗熵增，必須主動做功、開放系統(tǒng)、智能化，以實現(xiàn)熵減.熵減的過程就是治理無序、實現(xiàn)有序的糾錯過程，這個過程會促進智能躍升.

認識事物往往會經(jīng)歷這樣一個過程：“觀察、嘗試、檢驗、否定—再觀察、調(diào)整、再嘗試、再檢驗、再否定……”從思維發(fā)展的角度來說，這就是思維的批判性，也是創(chuàng)造性思維的重要特征.那么如何減少嘗試的盲目性？如何讓否定更明智，不丟掉好的思路？知識的儲備、分析問題的能力、經(jīng)驗的積累、克服困難的勇氣，都會在一次又一次問題解決中得到成長.

試誤需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.問過以后還要通過自己的思維活動來仔細考察、思考、分析，以數(shù)學悟感為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，借助證據(jù)和合理推理進行有效論證.這一系列過程就是以悟感為基礎(chǔ)的參悟過程，可培養(yǎng)學生分析問題的能力，使其學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.

【環(huán)節(jié)3】思維發(fā)散，嘗試探究

問題5：那么到底有幾條切線？我們能不能借助GeoGebra來觀察、嘗試一下？

筆者借助作圖軟件，讓學生去感受，體會“過”與“在”的不同之處.首先作出以點O為切點的切線，學生會發(fā)現(xiàn)它與曲線[y=fx]還有另外一個交點.筆者由此強調(diào)直線與曲線相切，交點并不一定唯一，要求學生注意區(qū)分其與初中學習的“直線與圓相切，有且只有一個交點”不同.

問題6：曲線上還會不會有其他的直線與曲線相切經(jīng)過點O ？

筆者讓學生自己動手去操作、嘗試，通過移動過點O的直線BO，發(fā)現(xiàn)其經(jīng)過點C的時候與曲線相切，此時切點不是點O.在實際操作中，只需要讓學生指出直線的存在，不需要說出切點，當然，學生可以猜出點C的坐標為（1，0），教師不需要給予肯定，而是要強調(diào)“形給的直觀，應(yīng)通過數(shù)去驗證”.

導語：下面我們自主探究問題，請同學們開啟思想的閘門，讓思維自然流淌！

師生活動：學生直面核心問題，獨立思考、自主探究、直覺猜想、大膽試誤;教師明察誤情、聚焦誤點、助力破誤、診斷點撥.

（四）明辨頓悟：百鳥爭鳴明思辨，思維碰撞頓悟生

劉奎林“誘發(fā)靈感的機制序列鏈”理論認為靈感的誘發(fā)由五道程序組成機制序列鏈，即“境域—啟迪—躍遷—頓悟—驗證”.其間，創(chuàng)造者的靈感孕育一經(jīng)達到飽和程度，恰遇某一相關(guān)信息偶然啟迪，靈感就會以非邏輯質(zhì)變方式，經(jīng)過顯意識與潛意識的交互作用，使?jié)撘庾R進入一種跨越式的推理程序和非連續(xù)的質(zhì)變過程，頃刻間就會發(fā)生思維躍遷，使人豁然開朗，產(chǎn)生頓悟.

教師要鼓勵學生積極發(fā)表自己的意見，展示試誤的結(jié)果，并合作交流，在互動中明辨問題，批判質(zhì)疑，碰撞思維，擦出思想火花，互啟靈感，誘發(fā)頓悟，生成發(fā)現(xiàn).教師還要引導學生給出合理的評判和嚴謹?shù)耐评碚撟C過程，得到定理、法則、公式的確認，然后用自然語言、圖形語言、符號語言予以表達.如此，可培養(yǎng)學生解決問題的能力，使其學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

【環(huán)節(jié)4】思維穿透，成果生成

問題7：通過剛剛這位同學的操作，我們發(fā)現(xiàn)這樣的切線有兩條，下面我們該如何去解答？切點不能確定的時候我們怎么辦？（解題過程略）

導語：同學們，把你們探究的成果交流一下.

師生活動：學生交流觀點、討論明辨、互啟頓悟、論證跟進;教師參與交流、收集成果、評價激勵、提煉完善.

（五）篤行溫焐：學以致用喜篤行，變式精練溫焐成

王陽明認為“知者行之始，行者知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”，即“知行合一”.在學生獲得頓悟后，教師要精心設(shè)計適當?shù)淖兪接柧?，注重基礎(chǔ)性、探究性、實踐性、綜合性的練習，體現(xiàn)有關(guān)、有用、有效、有趣，鞏固“誤中悟”的成果，將所悟及時“溫焐”，使其固化為本領(lǐng)和素養(yǎng)，即“悟之固”.教師應(yīng)引導學生探尋“誤之霧”的歸因，探求“悟之固”的途徑，從“霧下誤”到“誤中悟”，再到“悟后焐”.技能習得應(yīng)當“小火慢燉”即“溫焐”;訓練要有梯度、循序漸進，要有溫度，用心用情個性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”.學生通過辨識、調(diào)用、遷移積累活動經(jīng)驗.辨識就是準確辨析和識別問題中所包含的數(shù)學概念、規(guī)則、方法并合理再現(xiàn)，準確理解問題的條件和假設(shè)，將真實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并加以表征.調(diào)用就是準確運用數(shù)學概念、事實、原理、性質(zhì)、方法等有序開展推理和運算.遷移就是形成運用已有知識、經(jīng)驗、方法解決新情境問題的一般套路，獲得解決常規(guī)問題的模型.“篤行溫焐”旨在深化理解已學知識，厚積活動經(jīng)驗，焐熟技能方法，培養(yǎng)學生的應(yīng)用遷移和問題解決能力.

【環(huán)節(jié)5】思維變通，遷移應(yīng)用

變式：已知曲線[fx=x3-2x2+x]的切線，求在原點O（0，0）處的切線的方程.

這個變式對例題進行了簡單的改編，目的是讓學生通過對比，自主動手去完成，進而體會“在某點處”和“過某一點”的不同.

師生活動：教師提供變式、組織訓練、巡察學情、評價矯正;學生實操練習、遷移體驗、焐熟技能、提升思維.

（六）反思務(wù)本：反思過程務(wù)根本，大道至簡悟真經(jīng)

“反思”屬于元認知的范疇，元認知理論認為，反思性學習就是學習者對自身學習活動的過程，以及活動過程中所涉及的相關(guān)信息、思維、結(jié)果等學習特征的反向思考.《論語·學而》中的“君子務(wù)本，本立而道生”，《學記》中的“先河而后海;或源也，或委也.此之謂務(wù)本”，說的都是這個道理.

學生經(jīng)過淺出、薄發(fā)、聚合形成創(chuàng)新意識、科學精神、文化認同，領(lǐng)悟數(shù)學思想和數(shù)學方法，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).學生主動反思該節(jié)課的學習過程、建立知識探究框架、觸及數(shù)學本質(zhì)、凝聚思想方法;教師在學生反思的基礎(chǔ)上對學生進行評價指導，可以借助思維導圖工具呈現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)，讓學生回溯經(jīng)歷與經(jīng)驗，回憶結(jié)果與結(jié)論，回顧過程與方法，回味情感與價值.反思務(wù)本就是溯源導流、務(wù)元務(wù)本，達到深入淺出、厚積薄發(fā)進而由厚到薄、大道至簡的境界.

【環(huán)節(jié)6】思維收斂，反思重構(gòu)

問題8：用導數(shù)求曲線的切線方程，步驟是：先求出函數(shù)[y=f（x）] 在點[x=x0]處的導數(shù);再根據(jù)點斜式寫出切線的方程.

問題9：求在點P處的切線，點P一定是切點;求過點P的切線，點P不一定是切點.

導語：接下來，請同學們回顧在這節(jié)課的學習中：

（1）學到哪些概念、結(jié)論？怎樣運用它們解決相關(guān)問題？（結(jié)果與結(jié)論——學會）

（2）獲得這些結(jié)論經(jīng)歷了怎樣的過程？（經(jīng)歷與經(jīng)驗——學歷）

（3）在這個過程中，你悟出了哪些數(shù)學思想方法？（思想與方法——會學）

（4）你最感興趣的是哪一點？（情感與價值——樂學）

師生活動：學生反思過程、觸及本質(zhì)、重新建構(gòu);教師解構(gòu)結(jié)構(gòu)、揭示本質(zhì)、評價指導.

三、結(jié)語

理性批評主義認為：“在通向真理的道路上，每一個錯誤都有其價值，因為科學創(chuàng)造從來就升華于‘錯誤之中;同時，錯誤的發(fā)現(xiàn)與糾正也要依賴于大膽的理性批判.”以“誤中悟”方式促進認知發(fā)展，錯誤的出現(xiàn)就暴露了學生已有認知水平與解決問題所需認知水平的“差距”，而“差距”的消除則標志著認知的發(fā)展.“誤中悟”方式倡導懷疑和批判精神，以錯誤中的合理成分作為教學起點，轉(zhuǎn)變學生“錯誤可恥”的觀點，使其樹立正確的“視誤觀”，培養(yǎng)求真求實的品質(zhì).教學中，尤其要注意如下五點。

一是教學設(shè)計一定要關(guān)注“霧區(qū)”分析和誤點預(yù)判，預(yù)設(shè)聚焦目標性“大問題”的層層遞進的子問題串，遵循目標導向.

二是要及時、敏銳地捕捉錯誤，機智地利用錯誤資源，因勢利導，順勢而為，循天而行，隨物賦形，展開“誤中悟”，獲得精彩的課堂生成.

三是展示情境要有序、有關(guān)、有用、有益、有效，既要整體呈現(xiàn)，又要重點凸現(xiàn)，既要博觀全貌，又要細察一斑.在“審問疑霧”和“慎思試誤”環(huán)節(jié)中要充分利用情境資源，尋找數(shù)學線索，挖掘數(shù)學元素，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，讓學生充分看、想、發(fā)現(xiàn)、好奇、想問.美國教育家魯巴克認為“最精湛的教學藝術(shù)所遵循的最高準則就是，學生自己提出問題”.

四是“慎思試誤”一定要讓學生獨立找到解決問題的起點，讓學生在思維的堵點處迷茫與徘徊，經(jīng)歷不斷聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整等過程，使認識逐步從零碎到整體、從淺表到深刻、從模糊到清晰.知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”這樣一個循環(huán)的試誤過程。疑霧、試誤、頓悟邏輯相關(guān).疑霧是試誤的動機和動力，有了疑霧的心理沖突才有試誤的行為沖動;試誤是頓悟的前提，頓悟是試誤的最終結(jié)果，有了試誤的艱辛慎思、孕育蒂熟，才有頓悟的豁然明辨、自然瓜落。

五是增強“課堂是出錯的地方”的意識.“誤中悟”主張善待錯誤，包容錯誤，珍視錯誤，鼓勵“犯”錯誤，并化錯誤為資源，從錯誤中學習，在學習中悟道，保護好奇心，發(fā)展想象力，喚醒創(chuàng)新意識.錯誤不是無情物，化作資源價更高. [□][◢]

參考文獻：

[1]劉奇奇，吳立寶，陳鍵.中學數(shù)學教學內(nèi)容主線分析的要素與結(jié)構(gòu)——以三角函數(shù)為例[J].中學數(shù)學研究，2022（2）：1-5.

[2]章建躍.中學數(shù)學教學概論[M].北京：北京師范大學出版社，2008：69.

[3]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實驗探索[J].中國數(shù)學教育，2019（11）：17-21.