韓永年

在解分式方程問題時，經常會碰到“增 根”或“無解”的情形.許多同學對這兩個概念混淆不清，認為分式方程無解或有增根是同樣的概念.事實上，“增根”與“無解”是兩個不同的數學概念.抓住概念本質是理解概念的關鍵.下面，筆者就分式方程的“增根”與“無 解”問題進行了剖析，希望同學們能夠理解兩者的概念，掌握不同問題的解法.

一、分式方程的“增根”問題

分式方程的“增根”是在去分母的過程中，方程兩邊同乘了一個能使最簡公分母為零的整式，致使未知數的取值范圍擴大，從而產生了增根，所以在得出分式方程的解后往往需要進行檢驗，若經過驗證發(fā)現(xiàn)是增根，則應舍去;若此“增根”是分式方程唯一的解，則說明該分式方程無解.一般而言，分式方程產生“增根”，應滿足如下兩個條件：一是去分母時，能使方程兩邊同時乘以的最簡公分母等于零;二是能使分式方程轉化后的整式方程成立.

例 1

解：（1）方程兩邊同時乘以最簡公分母x（x + 1），

可得2x2 - 2=（x + 1）2，

整理可得x2 - 2x - 3=0，解得x1=3，x2=-1.

經檢驗，當x2=-1時，分母為0，原方程無意義，所以x2=-1為增根，應舍去，

所以原方程的解為x=3.

（2）方程兩邊同時乘以最簡公分母 （x + 3）? （x - 3），

可得3（x + 3）-6x=4（x - 3），

整理可得x=3.

經檢驗，當x=3時，原方程無意義，

所以x=3為增根，應舍去，

所以原方程無解.

（3）原分式方程兩邊同時乘以最簡公分母（x - 4）（x + 4），

可得4（x + 4）+mx=5（x - 4），

整理可得（1 - m）x=36.

因為原分式方程有增根，

所以（x - 4）（x + 4）=0，

所以x=4或x=- 4是整式方程（1 - m）x=36的根，

所以，

解得m=- 8或m=10.

評注：分式方程的“增根”必定使方程兩邊同時乘以的最簡公分母等于0，但是并非同時乘以的最簡公分母等于0的未知數的值，都是分式方程的增根，也不是所有的分式方程都會產生增根.

二、分式方程的“無解”問題

分式方程無解是指不管未知數取何值時，都無法使得分式方程兩邊的值相等.一般情況下，當分式方程出現(xiàn)無解時，同學們需要注意如下兩種情況：一是把原來的分式方程轉化為整式方程后，該整式方程無解，則原分式方程無解;二是把原來的分式方程轉化為整式方程后，該整式方程有解，但此解是原方程的增根（能使最簡公分母為0），所以原分式方程亦無解.

例2

解：（1）方程兩邊同時乘以最簡公分母x + 4，

可得x - 3=5 - x + 2（x + 4），

整理得0=16，

顯然，該整式方程無解，

所以原分式方程無解.

（2）原分式方程兩邊同時乘以最簡公分母 （x - 1）（x + 2），

可得2（x + 2）-（kx + 3）=5（x - 1），

整理可得：（k + 3）x=6.

因為原方程無解，所以需要討論如下兩種情況：

① 當k=- 3時，所得的整 式 方 程為0·x=6，顯然方程是無解的，所以原分式方程無解.

② 當k≠- 3時，所得的整式方程有解，且x=6 k + 3為原分式方程的增根，

所以有6 k + 3=1或6 k + 3=-2，

解得k=3或k=- 6.

綜上所述，當k=- 3或k=3或k=- 6時，原分式方程無解.

（3）證明：方程兩邊同乘以最簡公分母x（x - 1），

可得x（x - 4t）+4t2 + 2t=x - 1，

整理可得x2 -（4t + 1）x + 4t2 + 2t + 1=0.

因為△=（4t + 1）2 - 4（4t2 + 2t + 1）=-3<0，

所以整理后的方程無實數解，

所以不論實數t 取何值時，原分式方程無實數解.

評注：當分式方程無解時，該分式方程可能有增根，也可能沒有增根;當分式方程去分母后所得的整式方程無解時，分式方程一定無解;當分式方程去分母后所得的整式方程為一元二次方程，需要對分式方程的無解、有解以及增根等情況進行探討，如果該一元二次方程沒有實數解，則表明該分式方程無解.

從這兩道例題可以看出，分式方程有增根與無解是完全不同的兩個概念.分式方程與去分母后得到的整式方程是不等價的，這就是分式方程要驗根的重要原因.同學們在解題時要用心區(qū)別，仔細辨析，明確其差異，準確把握數學概念，從而提高解分式方程的準確性.