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      方案問題中的分析小妙招

      2022-05-30 01:00:00王新華
      關(guān)鍵詞:類書省錢新書

      王新華

      在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上,同學(xué)們開始分組討論生活中的購物方案問題.

      提出問題

      第一組林琳:上學(xué)期第一次購買1本A類書和3本B類書共花35元;第二次購買2本A類書和1本B類書共花20元. 下學(xué)期準(zhǔn)備購買這兩類書共15本,且A類書的數(shù)量不高于B類書的數(shù)量,買書的花費(fèi)不得多于125元,會有哪幾種購買方案?

      解決問題

      第五組雯雯:我先利用方程思想求兩類書的單價:設(shè)A類書的單價為x元,B類書的單價為y元,根據(jù)“購買1本A類書和3本B類書共花35元”“購買2本A類書和1本B類書共花20元”,可列二元一次方程組[x+3y=35,2x+y=20,]解得[x=5,y=10,]即可得出A,B兩類書的單價分別為5元和10元. 再利用不等關(guān)系求未知量的取值范圍:設(shè)購買A類書m本,則購買B類書(15 - m)本,根據(jù)“A類書的數(shù)量不高于B類書的數(shù)量,買書的花費(fèi)不得多于125元”,可列一元一次不等式組[m≤15-m,5m+10(15-m)≤125,]解得[5≤m≤7.5]. 由m為正整數(shù),可知m為5,6,7. 因此,共有3種購買方案:方案1是購買A類書5本、B類書10本;方案2是購買A類書6本、B類書9本;方案3是購買A類書7本、B類書8本.

      第四組小銘:我想知道3種方案中,哪一種方案最省錢,誰來告訴我?

      第二組小張:方案1需要 5 × 5 + 10 × 10 = 125(元);方案2需要5 × 6 + 10 × 9 = 120(元);方案3需要5 × 7 + 10 × 8 = 115(元). 顯然,方案3最省錢.

      第三組方芳:設(shè)買書總費(fèi)用為W元,A類書買[m]本,則W = 5m + 10(15 - m) = -5m + 150,對-5m + 150來說,150減去的數(shù)越大,總費(fèi)用就越小,即W隨x的增大而減小. 因?yàn)閇5≤m≤7.5],所以當(dāng)m = 7時,W取最小值,此時15 - m = 15 - 7 = 8. 顯然,購買A類書7本、B類書8本時,花費(fèi)115元,此方案最省錢.

      提出問題

      第二組俐俐:我們小組帶來一些新書,組內(nèi)相互借閱. 如果每名同學(xué)分3本,那么余8本;如果每名同學(xué)分5本,那么就有一名同學(xué)分不到3本. 請問:我們小組共有多少名同學(xué)?

      解決問題

      第四組小奇:可以直接設(shè)元求解,設(shè)第二小組有x名同學(xué),根據(jù)“如果每名同學(xué)分3本,那么余8本”得出小組共帶來(3x + 8)本新書,根據(jù)“如果每名同學(xué)分5本,那么就有一名同學(xué)分不到3本”,列不等式組0 ≤ (3x + 8) - 5(x - 1) < 3,解得5 < x ≤ 6.5,根據(jù)人數(shù)x為整數(shù),可知小組共有6名同學(xué),則3x + 8 = 26,則第二組同學(xué)帶來26本新書.

      第三組小莊:可以間接設(shè)元求解,設(shè)第二小組帶來x本新書,根據(jù)“如果每名同學(xué)分3本,那么余8本”得出小組有[x-83]人,根據(jù)“如果每名同學(xué)分5本,那么就有一名同學(xué)分不到3本”,可列不等式組0 ≤ [x-5x-83-1] < 3,解得23 < x ≤ 27.5,再根據(jù)x為整數(shù),可知x有24,25,26,27四種情況. 人數(shù)必須是整數(shù),于是我將這四個數(shù)代入[x-83]中,當(dāng)x = 26時,[x-83] = 6,只有這一種情況的結(jié)果是整數(shù). 因此,第二組6名同學(xué)帶來26本新書.

      數(shù)學(xué)課代表:無論是直接分析,還是間接分析,其解題關(guān)鍵都是抓住已知量與未知量的相等或不等關(guān)系,列出相應(yīng)的方程組或不等式組,求解后分析相應(yīng)的解決方案.

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