從動點(diǎn)到函數(shù)圖象

劉頓

從動點(diǎn)到函數(shù)圖象，是指點(diǎn)在幾何圖形上運(yùn)動，引起線段長度、面積大小等變化的函數(shù)圖象問題. 解題思路為：找出代表問題變化的兩個(gè)變量，由動點(diǎn)運(yùn)動痕跡判斷趨勢或特殊點(diǎn).

一、由函數(shù)關(guān)系描述函數(shù)圖象

例1 （2021·新疆）如圖1，在矩形ABCD中，AB = 8 cm，AD = 6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度在矩形的邊上沿A→B→C→D運(yùn)動，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)停止運(yùn)動. 設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s），△APD的面積為S（單位：cm2），則S隨t變化的函數(shù)圖象大致為（）.

解析：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時(shí)，AP = 2t，S = [ 12] × 6 × 2t = 6t，S隨t呈直線變化，排除選項(xiàng)B;當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，S = [ 12] × 6 × 8 = 24;當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動時(shí)，DP = 8 + 6 + 8 - 2t = 22 - 2t，S = [ 12] × AD × DP = [ 12] × 6 × （22 - 2t） = 66 - 6t，S隨t呈直線變化，排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)C，只有選項(xiàng)D符合題意. 故選D.

二、由函數(shù)圖象描述函數(shù)關(guān)系

例2 （2021·湖南·郴州）如圖2，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A = 60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路線A→B→C→D運(yùn)動. 設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，以點(diǎn)A，D，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為y，則下列圖象能反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）.

解析：過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn) E，如圖3，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB = AD = BC = 4.

∵∠A = 60°，∴∠ABE = 30°，∴AE = 2，BE = 2[].

在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖4，

∵AP = x，∴AF = [ 12]x，PF = [ 32]x，∴S△ADP = [ 12]·AD·PF = [ 12] × 4 × [ 32]x = [ 3]x，

∴S△ADP逐漸增大.

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，S△ADP = [ 12]·AD·BE = [ 12] × 4 × 2[ 3] = 4[ 3]，S△ADP不變.

當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，如圖5，過點(diǎn)P作PM⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)M，

則AB + BC + CP = x，∴DP = 12 - x，DM = 6 - [ 12]x，PM = [ 3]DM = 6[ 3] -[ 32]x，

∴S△ADP = [ 12]·AD·PM = [ 12] × 4 × [63-32x] = 12[ 3] -[ 3]x，且S△ADP逐漸減小.

故選A.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★解題時(shí)間：10分鐘

（2021·湖南·衡陽）如圖6①，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運(yùn)動. 點(diǎn)P的運(yùn)動路線為O→A→D→O，點(diǎn)Q的運(yùn)動路線為O→C→B→O.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為x秒，P，Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致如圖6②所示，當(dāng)點(diǎn)P在A→D段上運(yùn)動且P，Q兩點(diǎn)間的距離最短時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動路程之和為____厘米. （答案見第37頁）