數(shù)字陣列通道幅相誤差實(shí)時(shí)校正方法

凌子涵 孫慧峰

摘要：本文對(duì)數(shù)字陣列通道幅相誤差的產(chǎn)生及影響進(jìn)行了分析與討論，并給出了基于Remez算法和粒子群優(yōu)化算法的復(fù)系數(shù)FIR校正濾波器設(shè)計(jì)方法，最后通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性與工程價(jià)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)字陣列;幅相誤差;復(fù)系數(shù)FIR濾波器;粒子群算法

一、引言

數(shù)字陣列天線是在傳統(tǒng)相控陣天線的基礎(chǔ)上，引入A/D轉(zhuǎn)換器、數(shù)字T/R組件等數(shù)字化器件，并結(jié)合數(shù)字波束形成技術(shù)和數(shù)字處理技術(shù)而出現(xiàn)的新型陣列天線。與傳統(tǒng)陣列相比，具有大動(dòng)態(tài)范圍、自適應(yīng)空間干擾抑制、同時(shí)多波束形成等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代雷達(dá)中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

寬帶數(shù)字陣列的每一個(gè)通道都包含一個(gè)數(shù)字T/R組件，其中模擬器件的存在必將導(dǎo)致通道內(nèi)部的幅相特性與理想特性發(fā)生偏離，且隨著外部環(huán)境因素的變化而變化，導(dǎo)致通道之間的幅相特性產(chǎn)生較大的差異，從而引起通道失配。陣列信號(hào)處理的一個(gè)前提假設(shè)是各通道頻率特性時(shí)刻保持一致，當(dāng)通道間出現(xiàn)失配時(shí)，后續(xù)數(shù)字波束形成效果會(huì)受到嚴(yán)重影響，出現(xiàn)主瓣展寬、旁瓣升高等，從而導(dǎo)致雷達(dá)檢測性能的下降[2-3]。

數(shù)字陣列通道誤差的校正主要分為預(yù)失真校正和實(shí)時(shí)濾波校正，預(yù)失真校正方法通過在系統(tǒng)中加入頻率特性與失真特性相反的模塊，保證信號(hào)線性放大來實(shí)現(xiàn)幅相誤差校正，具有簡單靈活、精確度高等優(yōu)點(diǎn)，但無法對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)校正，且預(yù)失真校正只能對(duì)相位誤差進(jìn)行校正而無法對(duì)幅度誤差進(jìn)行校正。實(shí)時(shí)濾波方法則是通過提取誤差通道的幅相特性，并引入一個(gè)對(duì)應(yīng)頻率特性的數(shù)字FIR濾波器對(duì)誤差進(jìn)行校正。FIR濾波器結(jié)構(gòu)簡單，易于控制，但實(shí)系數(shù)FIR濾波器會(huì)在整個(gè)頻帶上產(chǎn)生較大的群延遲，且幅相特性總是對(duì)稱，因此需要設(shè)計(jì)復(fù)系數(shù)FIR濾波器對(duì)幅相誤差進(jìn)行校正[4-5]。

本文首先分析了通道幅相誤差模型及其對(duì)陣列性能的影響，接著討論了通道幅相誤差的提取方法，之后研究了復(fù)系數(shù)FIR濾波器設(shè)計(jì)方法并使用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，最后分析了實(shí)際的校正效果。

二、幅相誤差模型及影響分析

要定量得研究通道幅相誤差校正方法，則需要為通道幅相誤差建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用以描述通道的失配程度，該數(shù)學(xué)模型應(yīng)能夠較為準(zhǔn)確地反映出通道幅相誤差造成的通道失配情況，并且應(yīng)較方便于進(jìn)行仿真分析。目前通道幅相誤差校正方法的研究中，常用的誤差模型以下幾種：系統(tǒng)函數(shù)模型、FIR濾波器系數(shù)隨機(jī)擾動(dòng)模型、IIR濾波器零極點(diǎn)擾動(dòng)模型、濾波器級(jí)聯(lián)模型等。

在表述一個(gè)系統(tǒng)的頻率特性時(shí)，最簡單且直觀的做法是，就是寫出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，因此，在描述通道的頻率特性時(shí)，最直接的方法就是寫出其頻率響應(yīng)函數(shù)。將傳輸通道視為一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)，根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)，要使通道實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑒t通道頻率響應(yīng)的幅度特性應(yīng)為常數(shù)，相位特性為關(guān)于頻率的一次函數(shù)，即

對(duì)于一個(gè)失真通道，假設(shè)其頻率響應(yīng)函數(shù)為：

（1）

其中A（ω）為幅頻響應(yīng)，B（ω）為相頻響應(yīng)，其中幅頻特性采用諧波建模，即

（2）

相頻特性采用多項(xiàng)式建模

（3）

上述兩展開式中，求和式中第n項(xiàng)被稱作n次畸變，畸變次數(shù)越高，波動(dòng)就越為劇烈，在通道校正的研究中，為簡化分析通常只保留常數(shù)項(xiàng)和一次畸變，而忽略掉更高次畸變。根據(jù)成對(duì)回波理論，幅度誤差的存在會(huì)在主瓣兩側(cè)產(chǎn)生符號(hào)相同的成對(duì)回波，相位誤差的存在會(huì)在主瓣兩側(cè)產(chǎn)生符號(hào)相反的成對(duì)回波。

系統(tǒng)函數(shù)模型是通過調(diào)整通道幅相特性的波動(dòng)來描述通道特性的，這一模型簡單直觀，能夠直接反映出通道的失配情況，而且便于理論分析與推導(dǎo)，但該模型的缺陷在于忽視了帶外響應(yīng)，因此與現(xiàn)實(shí)情況中的通道有一定的差別。目前在數(shù)字陣列校正技術(shù)的研究中，大多采用系統(tǒng)函數(shù)模型進(jìn)行仿真與分析。

通過仿真選取帶寬為150MHz，時(shí)寬為50μs的線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)，采樣頻率為600MHz，分別對(duì)原始信號(hào)和經(jīng)過失真通道的LFM信號(hào)進(jìn)行脈沖壓縮，失真通道特性及部分脈壓結(jié)果如下圖所示。

三、復(fù)系數(shù)FIR濾波器設(shè)計(jì)方法

FIR濾波器精確的線性相位是以其他性能的犧牲作為代價(jià)的，過渡帶較窄的情況下，會(huì)在整個(gè)頻帶上都產(chǎn)生較大的群延遲，此外，當(dāng)濾波器的沖擊響應(yīng)為實(shí)系數(shù)時(shí)，其幅頻特性在一個(gè)周期內(nèi)總是對(duì)稱的，而通信均衡等領(lǐng)域則要求幅頻特性非對(duì)稱的濾波器，因此，復(fù)系數(shù)FIR濾波器的設(shè)計(jì)是十分重要的。

復(fù)系數(shù)FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法眾多，其優(yōu)化準(zhǔn)則主要分為兩類，分別是最小均方誤差準(zhǔn)則和最大誤差最小準(zhǔn)則，基于后者設(shè)計(jì)出來的濾波器往往在相同階數(shù)時(shí)擁有更優(yōu)秀的性能，復(fù)Remez算法便是基于這樣準(zhǔn)則的最優(yōu)復(fù)系數(shù)FIR濾波器設(shè)計(jì)算法[6-8]。該算法是Remez算法在復(fù)數(shù)域的推廣，便于數(shù)值求解、性能優(yōu)秀。但由于復(fù)Remez算法推廣后并不總能得到最優(yōu)解，且實(shí)際情況中幅相特性并不一定連續(xù)平滑，所以通常很難得到最優(yōu)結(jié)果。因此可以使用粒子群優(yōu)化算法，在此優(yōu)解的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化以逼近最優(yōu)解。

設(shè)通道幅相誤差特性為Hd（ω），校正濾波器的理想頻率響應(yīng)為H（ω）=1/Hd（ω），則需設(shè)計(jì)一頻率響應(yīng)為D（ω）的濾波器去逼近理想頻率響應(yīng)。首先利用復(fù)Remez算法獲得一個(gè)次優(yōu)解，再以此作為粒子群算法的初始值進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化得到最優(yōu)解。

（一）復(fù)Remez算法

復(fù)Remez算法是Remez算法在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣，通過迭代的方式求解濾波器系數(shù)。設(shè)理想校正濾波器的頻率響應(yīng)為H（ω），設(shè)計(jì)一個(gè)頻率響應(yīng)為D（ω）的N階復(fù)系數(shù)FIR濾波器對(duì)其進(jìn)行逼近?？梢詫⑺鼈兎謩e寫為如下形式：

（4）

（5）

提取出兩式中的線性相位后，則問題可以等效轉(zhuǎn)化為以A（ω）近似Hde（ω）的問題。

FIR濾波器的頻率響應(yīng)公式通常寫作：

（6）

因此Hde（ω）可以寫為如下形式：

為簡化計(jì)算，考慮N為奇數(shù)的情況，此時(shí)

（7）

此時(shí)Hde（ω）屬于以

為基的N維線性復(fù)值函數(shù)空間VN，滿足哈爾條件。

A（ω）和Hde（ω）的誤差可以定義誤差函數(shù)E（ω）：

（8）

根據(jù)最大誤差最小準(zhǔn)則，要使頻率集上誤差函數(shù)的最大值達(dá)到最小，此時(shí)可以使用復(fù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理對(duì)問題進(jìn)行求解。

復(fù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理是交錯(cuò)點(diǎn)組定理在復(fù)數(shù)域上的推廣，其可以表述為，設(shè)VN為以連續(xù)實(shí)函數(shù)為基的n維線性復(fù)值函數(shù)空間，并滿足哈爾條件，Hde （ω）∈VN，如果至少存在N+1個(gè)按升序排列的極值點(diǎn)ω0<ω1<…ωN-1<ωN，使誤差函數(shù)E（ω）=Hde（ω）-A（ω）滿足

（9）

即誤差函數(shù)在其極值點(diǎn)處取得最大誤差，且極大值極小值為正負(fù)交替分布時(shí)，A（ω）是Hde （ω）關(guān)于VN的最佳逼近，其中極值點(diǎn)組[ω0，ω1，…，ωN]稱為交錯(cuò)點(diǎn)組。

線性空間VN滿足哈爾條件確保了頻帶B上的最優(yōu)解是唯一的，且此時(shí)逼近誤差函數(shù)的極值點(diǎn)至少有n+1個(gè)。但復(fù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理通常只能獲得次優(yōu)解而非最優(yōu)解，其原因在于推廣后的復(fù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理，其條件是由充要條件退化為了充分不必要條件。

將誤差函數(shù)極值點(diǎn)處的誤差稱為交錯(cuò)誤差，記為δ，則最佳逼近誤差可以寫為如下形式：

（10）

其中W（ωk）為加權(quán)函數(shù)，將上式變形并展開為矩陣形式則有

（11）

求解上述方程，即可獲得逼近函數(shù)Hde （ω）的系數(shù)αn、βn以及交錯(cuò)誤差δ，由此即可計(jì)算出當(dāng)前的逼近函數(shù)Hde（ω）和此時(shí)的誤差函數(shù)E（ω），此時(shí)構(gòu)建輔助誤差函數(shù)如下：

（12）

其中m為當(dāng)前迭代次數(shù)，θδ為逼近誤差δ的相位，利用輔助誤差函數(shù)R（ω）對(duì)交錯(cuò)點(diǎn)組進(jìn)行更新。選取當(dāng)前誤差函數(shù)中n+1個(gè)最大的極值點(diǎn)構(gòu)成新的點(diǎn)組，并判斷當(dāng)前點(diǎn)組與上次迭代時(shí)的點(diǎn)組是否發(fā)生變換，如果發(fā)生了變換則用新的點(diǎn)組繼續(xù)進(jìn)行迭代，直到極值點(diǎn)位置不再變化為止，此時(shí)如果誤差函數(shù)的范數(shù)不大于交錯(cuò)誤差δ，且極值點(diǎn)呈正負(fù)交替分布，獲得逼近問題的最優(yōu)解，否則為次優(yōu)解。

（二）粒子群優(yōu)化算法

在利用復(fù)Remez算法獲得逼近問題的次優(yōu)解后，可以利用智能優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化以獲得最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法是一種基于群體（這里稱作粒子群）與適應(yīng)度的群智能優(yōu)化算法，通過適應(yīng)度將群體中的個(gè)體（這里稱作粒子）移動(dòng)到好的區(qū)域以優(yōu)化問題。其更新方程寫為：

xi（n+1）=xi（n）+vi（n+1）

vi（n+1）=ωvi（n）+c1r1（pbesti-xi（n））+c2r2（gbest-xi（n））? ? ? ? ? （13）

其中n為迭代次數(shù)，c1和c2為加速因子，ω為慣性權(quán)重，r1、r2為區(qū)間[0，1]內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)問題即是選取濾波器系數(shù)h（n）使得誤差達(dá)到最小，這是一個(gè)組合優(yōu)化問題，可以使用粒子群算法對(duì)問題進(jìn)行優(yōu)化。

將復(fù)FIR濾波器的系數(shù)作為粒子的位置，由濾波器系數(shù)即可求得此時(shí)濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，理想濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為，則均方誤差可以表示為

（13）

在實(shí)際情況中幅相特性通常并不連續(xù)平滑，因此以均方誤差作為適應(yīng)度函數(shù)，顯然均方誤差的值越小，對(duì)應(yīng)濾波器的性能就越優(yōu)秀，算法流程如下。

首先由復(fù)Remez算法計(jì)算出次優(yōu)解時(shí)的濾波器系數(shù)，并以此作為中心在限定范圍R內(nèi)隨機(jī)生成群體數(shù)量為N的粒子，初始化算法參數(shù)c1、c2和ω，并通過上述兩式對(duì)粒子、最優(yōu)值和適應(yīng)度進(jìn)行更新，當(dāng)算法結(jié)束后，適應(yīng)度最小的粒子所代表的參數(shù)就是算法的最優(yōu)解，即最優(yōu)FIR濾波器的系數(shù)。

四、幅相誤差校正仿真

使用上節(jié)所述基于復(fù)Remez的粒子群算法設(shè)計(jì)階數(shù)為11階的FIR校正濾波器，通道失真特性與校正濾波器特性的對(duì)比及誤差如圖3所示，校正濾波器的幅度響應(yīng)誤差峰值為0.15dB，相位誤差峰值為0.068rad。

使用設(shè)計(jì)的FIR校正濾波器對(duì)失真信號(hào)進(jìn)行校正，校正后的通道幅相特性如圖4所示，理想信號(hào)與校正后信號(hào)的脈沖壓縮結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯黾词乖跒V波器階數(shù)較?。?1階）時(shí)，依然可以得到較為優(yōu)秀的校正效果，此時(shí)對(duì)校正后的LFM信號(hào)進(jìn)行脈壓，3dB時(shí)寬為4.2810-3μs，峰值旁瓣比為-13.8dB，積分旁瓣比為-9.45dB，理想LFM信號(hào)脈壓的理論值，3dB時(shí)寬4.2810-3μs，峰值旁瓣比-13.3dB，積分旁瓣比-9.63dB非常接近。FIR濾波器的成本隨著階數(shù)的提升而增加，通過本文提出的算法可以在較低的階數(shù)下實(shí)現(xiàn)較好的校正效果，有利于工程應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)。

五、結(jié)束語

數(shù)字陣列相較于傳統(tǒng)陣列有著不可忽略的優(yōu)勢，但模擬器件的引入同時(shí)也帶來了通道幅相誤差，從而嚴(yán)重影響陣列的性能，因此通道幅相誤差校正方法具有重要的研究意義。

傳統(tǒng)的實(shí)系數(shù)FIR濾波器雖然結(jié)果簡單，便于設(shè)計(jì)，但也有著階數(shù)要求高，無法實(shí)現(xiàn)非線性相位等缺點(diǎn)，因此需要有效的算法來設(shè)計(jì)幅度非對(duì)稱、相位非線性的復(fù)系數(shù)FIR濾波器。本文提出的復(fù)Remez算法與粒子群算法相結(jié)合的復(fù)FIR濾波器設(shè)計(jì)算法，能夠在較低階數(shù)下對(duì)通道的幅相誤差進(jìn)行有效校正，具有工程應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)價(jià)值。

作者單位：凌子涵? ? ? ?中國科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院

中國科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信工程學(xué)院

孫慧峰? ? ?中國科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院

參? 考? 文? 獻(xiàn)

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