GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究性應(yīng)用

張文香

近些年，隨著我國(guó)社會(huì)生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，教育領(lǐng)域也有了較大的變革，教學(xué)的理念、方式、手段等都逐漸現(xiàn)代化，這使教師在教學(xué)過程中能夠獲得更高的效率和質(zhì)量，學(xué)生學(xué)起來也能夠更加輕松和積極。數(shù)學(xué)是研究多數(shù)科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)學(xué)科，其承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象、抽象思維、邏輯演繹推理等能力的重要職責(zé)。GeoGebra軟件作為現(xiàn)代化的教學(xué)工具之一，對(duì)幫助學(xué)生理解和鞏固知識(shí)有著較為積極的促進(jìn)作用。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重該軟件的實(shí)際運(yùn)用價(jià)值，將其科學(xué)、合理地運(yùn)用在課堂上。

數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育的重要組成部分，教師在教學(xué)過程中要豐富學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)以及提高學(xué)生的基本能力，全面提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，使學(xué)生能夠得到更好的發(fā)展。GeoGebra軟件的軟件對(duì)構(gòu)建高效課堂有著較為積極的意義，教師應(yīng)掌握其使用方法，以優(yōu)化課堂的教學(xué)質(zhì)量。為了幫助廣大教師能夠更好地運(yùn)用GeoGebra軟件，以更直觀形象的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，本文將立足當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，從GeoGebra軟件的基本功能以及特點(diǎn)出發(fā)，就其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略進(jìn)行探究。

一、GeoGebra軟件的功能及特點(diǎn)

GeoGebra軟件的名稱來源于“Geo”與“Gebra”的組合，這就很明顯地表現(xiàn)出了GeoGebra軟件兼具了幾何與代數(shù)這兩大功能。該軟件由美國(guó)亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)，其作為一種自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，能夠?qū)缀?、代?shù)、表格、圖形等直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。此外，GeoGebra作為一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何軟件，幾乎涵蓋了幾何畫板了所有功能，無(wú)論是簡(jiǎn)單點(diǎn)、線，面，還是相對(duì)復(fù)雜的圓錐曲線、函數(shù)圖形，都能夠通過GeoGebra的繪圖區(qū)輕松展示。GeoGebra還能夠?qū)Ψ匠?、函?shù)等代數(shù)問題作出準(zhǔn)確且迅速的處理，因?yàn)槠湟訨ava編程為基礎(chǔ)。因此，其動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)的輸出效果相對(duì)于其他軟件而言更加優(yōu)異，從而能夠有效促進(jìn)技術(shù)交流以及資源共享。與其他的幾個(gè)主流軟件如幾何畫板、超級(jí)畫板等相比，GeoGebra更加突出的方面在于以下三點(diǎn)：一是功能更加全面，上文中已經(jīng)提到GeoGebra有涵蓋幾何畫板的所有功能，此外，GeoGebra具備幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等多種功能。因此，其更能適應(yīng)中小學(xué)短時(shí)的課堂教學(xué)，教師在教學(xué)過程中，可以一開多用，避免了各種軟件反復(fù)切換導(dǎo)致的時(shí)間浪費(fèi)。二是GeoGebra的應(yīng)用有利益教師之間的相互交流和學(xué)習(xí)。該軟件特有的“作圖過程”以及“作圖過程導(dǎo)航條”可以復(fù)盤教師整個(gè)教案設(shè)計(jì)的過程，教師在課后，可以就其所制作的內(nèi)容向其他教師請(qǐng)教，這十分有利于教師的反思工作。三是GeoGebra軟件免費(fèi)，教師在使用的過程中可以實(shí)現(xiàn)資源共享，與此同時(shí)也方便了教師進(jìn)行線上的交流和學(xué)習(xí)，符合當(dāng)下的環(huán)境趨勢(shì)。

二、應(yīng)用GeoGebra軟件時(shí)的注意事項(xiàng)

教師在使用GeoGebra軟件的過程中主要需要注意以下問題：一是教師需要讓學(xué)生基本掌握GeoGebra軟件的大致使用方法。GeoGebra軟件相對(duì)其他軟件來說更加容易學(xué)習(xí)，不過高中學(xué)生學(xué)起來還是需要一定的時(shí)間。因此，教師在教導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用時(shí)可以在復(fù)習(xí)課上導(dǎo)入這個(gè)軟件，并引用一些例子幫助學(xué)生理解和操作，使學(xué)生能夠逐步掌握其中的應(yīng)用技巧。在不耽誤教學(xué)進(jìn)度的前提下，學(xué)生也能夠較好地掌握GeoGebra軟件的使用，并在此過程中對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)再次進(jìn)行較好的回顧。而GeoGebra軟件則能夠在學(xué)生后續(xù)進(jìn)行協(xié)作式的學(xué)習(xí)發(fā)揮巨大的作用。二是要尊重學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。學(xué)生的自主性是保證課堂效率和質(zhì)量的前提，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生凡事多加觀察、親身實(shí)踐、積極交流，在GeoGebra軟件的應(yīng)用學(xué)習(xí)中給予學(xué)生一定的試錯(cuò)空間，從而促使學(xué)生更加積極地投身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。三是教師的準(zhǔn)備工作必須全面，充分考慮到在GeoGebra軟件的使用過程中可能出現(xiàn)的各種問題，并準(zhǔn)備好相關(guān)的規(guī)避或應(yīng)對(duì)措施。教師需要考慮到整節(jié)課的過程教學(xué)，還需要準(zhǔn)備好GeoGebra軟件的數(shù)學(xué)對(duì)象，如教師授課過程、學(xué)生合作交流等情境下可能會(huì)使用到的對(duì)象。此外，教師還需要設(shè)計(jì)師生、生生之間的互動(dòng)環(huán)節(jié)，并考慮到這些環(huán)節(jié)是否需要教師的引導(dǎo)和協(xié)助，而這些過程GeoGebra軟件是否又需要被應(yīng)用到。四是聯(lián)系學(xué)生的課外時(shí)間，保證課外所使用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的時(shí)間是高效且有意義的。課堂教學(xué)的時(shí)間相對(duì)較短，且教育目的和培養(yǎng)目標(biāo)應(yīng)該是被貫徹至課堂內(nèi)外的。因此，教師在上課前就需要將GeoGebra軟件所設(shè)計(jì)的課件通過線上平臺(tái)發(fā)送給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行事先預(yù)習(xí)以及自主探索，這樣能夠使教師的課堂教學(xué)事半功倍。

三、髙中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件開展學(xué)習(xí)的理論分析

將GeoGebra軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)學(xué)者杜賓斯等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型，該模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：操作或活動(dòng)（Action）階段、過程（Process）階段、對(duì)象（Object）階段，以及概型（Schema）階段。學(xué)生能夠在這個(gè)過程中構(gòu)建一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)概念體系。在此框架的基礎(chǔ)上，又有一些學(xué)者提出在應(yīng)用APOS理論模型的過程中加以計(jì)算機(jī)編程、多媒體情境等教學(xué)手段能夠獲得更好的教學(xué)效果。本文所分析的GeoGebra便是進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)編程的重要軟件，在展開學(xué)科理論的教學(xué)過程中，GeoGebra軟件都將成為輔助學(xué)生形成科學(xué)知識(shí)體系的重要手段。此外，除了在學(xué)者理論的基礎(chǔ)上展開分析以外，多樣化表征同樣也能夠給予我們想要的答案。學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論的能力與學(xué)生的表征能力有著十分密切的關(guān)聯(lián)，多樣化的表征能夠促使學(xué)生更好地理解各個(gè)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯與聯(lián)系。而數(shù)學(xué)領(lǐng)域最為主要的表征方式有：心智表征、計(jì)算機(jī)表征、數(shù)學(xué)表征、解釋表征以及符號(hào)表征。GeoGebra軟件都能夠通過編程的形式將這些表征方式的核心概念以形象的圖示呈現(xiàn)在多媒體上，學(xué)生通過下文中所提及的方式能夠更好地理解GeoGebra的應(yīng)用，并在結(jié)合GeoGebra展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中加強(qiáng)自身的表征能力，形成兩者之間的相互促進(jìn)、相互輔佐。

四、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）結(jié)合協(xié)作式學(xué)習(xí)模式發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性

新課改強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和實(shí)踐能力。協(xié)作式學(xué)習(xí)模式使學(xué)生能夠以小組的形式進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)生相互交流、取長(zhǎng)補(bǔ)短、共同進(jìn)步。該模式與GeoGebra軟件相結(jié)合，能夠在啟發(fā)學(xué)生思維以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方面達(dá)到“1+1>2”的效果，這與新課改中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求不謀而合，該教學(xué)方式在落實(shí)最新教育理念及要求的同時(shí)，還能夠促使學(xué)生獲得思維的進(jìn)步和能力的提升。在該模式中，教師首先需要結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行分組，在布置探究任務(wù)后，教師以自身的語(yǔ)言描述以及GeoGebra軟件配合紙幣作為學(xué)生之間的交流依據(jù)和媒介。這個(gè)過程中，教師需要不斷地走動(dòng)觀察，鼓勵(lì)每一個(gè)學(xué)生發(fā)揮出自身的主觀能動(dòng)性，并給予學(xué)生適當(dāng)?shù)脑囧e(cuò)空間，使學(xué)生能夠以自身思維的獨(dú)特性對(duì)問題發(fā)表見解，并發(fā)揮出敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神，積極地投入課堂交流中。其次，教師還需要及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題和接收學(xué)生之間的討論信息，對(duì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行歸納，討論結(jié)束后，教師需要邀請(qǐng)小組代表對(duì)討論的內(nèi)容進(jìn)行闡述，并讓其他小組分析這個(gè)小組所總結(jié)的內(nèi)容中的優(yōu)點(diǎn)以及存在的問題。最后，所有小組匯報(bào)完畢后，由教師對(duì)小組的答案進(jìn)行歸納，并利用GeoGebra軟件進(jìn)行演示分析，解答學(xué)生疑惑，總結(jié)課堂內(nèi)容。

（二）創(chuàng)設(shè)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)情境

創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境是現(xiàn)階段教師進(jìn)行教學(xué)最重要的手段之一，教師需要通過構(gòu)建學(xué)科相應(yīng)的情景，使學(xué)生通過最直觀和形象的形式理解相關(guān)知識(shí)。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境在現(xiàn)階段的教學(xué)中極為常見，其能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，讓學(xué)生能夠深度感受數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，從而愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以主動(dòng)、積極的狀態(tài)投入數(shù)學(xué)課堂中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)這一章的培養(yǎng)目標(biāo)明確指出，學(xué)生需要學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減。因此，教師在運(yùn)用GeoGebra時(shí)，需要積極利用其功能繪制相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)圖像，并進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生能夠?qū)⒃瘮?shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)和聯(lián)系起來。在GeoGebra的應(yīng)用中，教師只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的兩次輸入：“Roots[g，x（Corner[1]），x（Corner[2]）]”“Extremum[f，x（Comer[1]），x（Comer[2]）]”，就可以呈現(xiàn)出上文中所要求的圖像。此外，因?yàn)镚eoGebra的便利性，教師僅需掌握其豐富命令的基礎(chǔ)指令，GeoGebra就可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)補(bǔ)齊，這對(duì)教師和學(xué)生而言都大大提高了課堂效率。另外，還有值得提到的一點(diǎn)，GeoGebra能夠重現(xiàn)制圖過程。因此，教師在教學(xué)反思時(shí)能夠迅速地回顧教學(xué)過程，并通過對(duì)GeoGebra軟件的數(shù)據(jù)再現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)教學(xué)過程中存在的問題，并及時(shí)進(jìn)行糾正，這在一定程度上為教師之間的共享和交流提供了便利，促使教師提高自身教學(xué)水平的同時(shí)，也為教師的思路建構(gòu)、課堂的補(bǔ)充拓展提供了便利，有利于教師構(gòu)建合適的學(xué)習(xí)情境。

（三）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和自主研學(xué)

在應(yīng)用GeoGebra教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解教材中的基本內(nèi)容，并適當(dāng)挖掘其中的內(nèi)涵，使學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)有一個(gè)更為深刻的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán)，教師要事先準(zhǔn)備好GeoGebra課件，帶領(lǐng)學(xué)生先探索課程內(nèi)容，為學(xué)生之后的獨(dú)立探究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂上，學(xué)生獨(dú)立思考過程中最大的障礙在于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)缺少反饋，無(wú)論是教師還是學(xué)生的直接、間接反饋都不夠充分和及時(shí)，這就導(dǎo)致了教師的主導(dǎo)與學(xué)生的主體連接不夠密切，缺乏互動(dòng)和溝通，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中面對(duì)一些晦澀難懂的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)常常一頭霧水，GeoGebra的應(yīng)用需要師生之間的密切配合，方能達(dá)到最好的教學(xué)效果。在使用教師提供的GeoGebra課件時(shí)，學(xué)生需要利用該作圖軟件自身所具備的直觀性和互動(dòng)性，嘗試自行了解，而教師在這個(gè)時(shí)候必須留心觀察學(xué)生的課堂反應(yīng)和學(xué)習(xí)狀況，給予學(xué)生適時(shí)的點(diǎn)撥和指導(dǎo)，使學(xué)生最終能夠做到靈活應(yīng)用、舉一反三、觸類旁通的同時(shí)，能夠感受到幾何語(yǔ)言的魅力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)的探索興趣。這個(gè)階段結(jié)束以后，學(xué)生能夠加深和鞏固對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知，減少學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的迷茫和困惑，使其在學(xué)習(xí)過程中能夠更加高效和精準(zhǔn)地抓住問題關(guān)鍵，并分析和解決相關(guān)問題。

（四）利用GeoGebra繪制分段函數(shù)圖像

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾言：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”由此可見，數(shù)形結(jié)合的對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言尤為重要。而GeoGebra軟件最為顯著的特點(diǎn)在于其能夠幫助學(xué)生更為直觀且形象地理解函數(shù)性質(zhì)。因此，GeoGebra軟件的應(yīng)用可以說是數(shù)形結(jié)合思想的展示，該思想在幫助和學(xué)生解題，深度剖析題目?jī)?nèi)涵方面有著極為重要的作用，數(shù)形結(jié)合思想也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重中之重。教師在函數(shù)教學(xué)時(shí)，就可以利用GeoGebra繪制出函數(shù)圖像，并引導(dǎo)學(xué)生抓住其中的關(guān)鍵信息以及突破點(diǎn)。在繪制分段函數(shù)的應(yīng)用中，GeoGebra的積極作用更為突出。教師可以在命令框中輸入相應(yīng)的分段函數(shù)內(nèi)容“If[X≥一1，x2-2x，x+4]”便可以得到相關(guān)圖像，之后教師就可以直接在GeoGebra軟件上進(jìn)行題目講解，節(jié)省教師在黑板上作圖以及反復(fù)修改的時(shí)間，而學(xué)生也能夠在GeoGebra軟件的精準(zhǔn)展示下，迅速地鎖定關(guān)鍵數(shù)據(jù)，再通過自身的演算和思考，最終得出題目所要求的答案。此外，在GeoGebra中，教師可以在建立方式時(shí)，利用幾何方式，或者更為精確的代數(shù)定義，GeoGebra所能夠運(yùn)用到的豐富指令，都為教師的教學(xué)方式建立提供了良好的條件，教師則需要抓住GeoGebra軟件的特點(diǎn)，在教學(xué)中正確、科學(xué)地運(yùn)用該軟件，使學(xué)生能夠得到更具系統(tǒng)化的聯(lián)系，增強(qiáng)其數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思維。

（五）課程融合，發(fā)展學(xué)生個(gè)性

針對(duì)學(xué)科的教育技術(shù)軟件，必須具備學(xué)科特有的應(yīng)用工具，才能最大程度上展現(xiàn)出現(xiàn)代化教學(xué)手段的運(yùn)用效果。GeoGebra軟件作為一個(gè)現(xiàn)階段相對(duì)成熟和較為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，其全面的功能將代數(shù)、繪畫、幾何等幾個(gè)區(qū)域密切地聯(lián)系在了一起，且?guī)缀醺采w了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域。GeoGebra軟件的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的演繹推理過程的可視化，讓學(xué)生能夠從最為直觀且形象的視角思考數(shù)學(xué)的奧秘。此外，教師不僅要在課堂上積極使用GeoGebra軟件，還應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)學(xué)生掌握GeoGebra的使用方法。部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面有著相對(duì)于其他學(xué)生有更強(qiáng)的探索欲望，這些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)就可以使用教師所提供的GeoGebra應(yīng)用方法進(jìn)行自主探索，打破基礎(chǔ)教學(xué)的局限性，使這些學(xué)生獲得更深層次的認(rèn)知。而基礎(chǔ)中等或基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生，GeoGebra的應(yīng)用同樣也可以讓其進(jìn)行練習(xí)和回顧，從而讓學(xué)生能夠把握基礎(chǔ)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，將GeoGebra軟件充分應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不僅對(duì)學(xué)生有著十分積極的促進(jìn)作用，而且其能夠幫助教師有效提高教學(xué)質(zhì)量、構(gòu)建高效課堂。

（宋行軍）