錢運濤

《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》（以下簡稱《新課標（2022版）》）的頒布不僅明確了小學數(shù)學課程的培養(yǎng)目標與育人價值，而且厘清了小學數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵（“三會”，具體表現(xiàn)為十一個關(guān)鍵詞），成為小學數(shù)學教師開展教學設計、組織課堂、評價效果的重要參考和依據(jù)。筆者于2010年主持了廣東省教育科學“十一五”規(guī)劃課題《小學數(shù)學“非線性”小組合作學習模式的實踐研究》，十多年來，我們團隊持續(xù)深入地小學數(shù)學“非線性”教學研究，在落實立德樹人根本任務、實現(xiàn)課程育人目標和破解學生“被動學習”痼疾等的教學創(chuàng)新與轉(zhuǎn)型方面，取得了豐碩的成果，于2019年獲得廣東省基礎教育教學成果一等獎。實踐表明：“非線性”課堂能讓數(shù)學學科核心素養(yǎng)有效落地落實。

一、全面、完整、準確地理解數(shù)學學科育人目標

為了落實“立德樹人”根本任務，適應當今世界教育改革發(fā)展潮流和趨勢，提升我國教育國際競爭力，北師大林崇德教授領導的研究團隊于2016年發(fā)布了中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，由文化基礎（人文底蘊、科學精神）、自主發(fā)展（學會學習、健康生活）和社會參與（責任擔當、實踐創(chuàng)新）等三個部分構(gòu)成。筆者認為：這三大部分歸納起來就是三句話，即作為一個學生，起碼要有點知識，要能生存下去（起碼不給社會添麻煩），如有余力就為社會作點貢獻。

《新課標（2022年版）》的出臺，終結(jié)了各種觀點的爭鳴，將數(shù)學核心素養(yǎng)歸納為“三會”（即“會用數(shù)學的眼睛觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”）。筆者認為：核心素養(yǎng)導向的數(shù)學課堂教學，就是要通過轉(zhuǎn)變教的方式和學的方式，實現(xiàn)對學生的價值引領、思維啟迪和品格塑造，讓學生通過課堂學習逐步成為具有較好的數(shù)學素養(yǎng)的人。

小學數(shù)學課程教學目標從“雙基、雙能”到“四基、四能”，再到“核心素養(yǎng)”的演進軌跡中，可以清晰地捕捉到以下的微調(diào)：《新課標（2022年版）》中小學數(shù)學核心素養(yǎng)表現(xiàn)的“十一大核心詞”，既是在2011年版義務段課標中“十大核心概念”基礎上的傳承與創(chuàng)新（將“量感”凸顯出來），又是基于小學、初中、高中數(shù)學核心素養(yǎng)的整體性、一致性與階段性設計，對小學數(shù)核心素養(yǎng)的準確定位（將“數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力、模型思想”等簡化為“數(shù)據(jù)意識、推理意識、模型意識”）（如圖1）。

我們只有理解了數(shù)學學科育人目標演進的來龍去脈，才能更好地把握數(shù)學核心素養(yǎng)，才能有效地開展核心素養(yǎng)導向下的新設計、新課堂與新評價的實踐與探索。

二、“非線性”教學的思想源流

“線性”是一個來自于數(shù)學的概念，是指兩個量（或兩個事物）之間存在按比例、成直線的關(guān)系（或確定的因果關(guān)系），符合疊加原理。在《復雜性思維》一書中，線性是指事物之間的確定性以及因果關(guān)系一一對應的存在。與之相對的是，如果兩個變量（事物）之間不符合疊加原理，它們相應的變化不成比例，則兩者之間為“非線性”關(guān)系。“非線性”反映的是事物及其發(fā)展中存在著的多樣性、不平衡性、無序性等。

世界的本質(zhì)是“非線性”的。比如，在現(xiàn)實生活中很多老師眼中的“5+2<5”現(xiàn)象，即學生在家過2天周末，會部分地遺忘和消解他（或她）在學校一個星期中所學的知識和行為習慣。又如經(jīng)濟生活中股票隨著時間而隨機波動的現(xiàn)象，以及自然界中的“蝴蝶效應”等，都是充滿了不確定性的“非線性”現(xiàn)象。

教育的起源也是“非線性”的。從遠古開始直到農(nóng)耕時代，狩獵技能、農(nóng)耕技術(shù)等生存技能、生活技巧和人類文化、禮儀的傳承，都是以“隨時、隨地”為特征的生活化、個性化教育。對“非線性”教學思想的探源可以追溯到2000多年前，無論是我國孔子提出的“因材施教”、《學記》中“道而弗牽、強而弗抑、開而弗達”等啟發(fā)式教學原則，還是古希臘蘇格拉底的“助產(chǎn)式”對話教學，都閃耀著“非線性”教學思想的光輝。伴隨著工業(yè)革命而興起的班級授課制，是人們?yōu)樽非蠼虒W效率而對“非線性”的個性化教育進行的“線性”化處理，這不僅在當時是推動社會發(fā)展的巨大進步，而且直到今天都還有其合理的價值與繼續(xù)存在的意義。在當前人工智能、泛在學習、互聯(lián)網(wǎng)+等迅猛發(fā)展的新形勢下，以“跟隨式”“齊步走”為特征的線性教學越來越多地顯現(xiàn)出對教育本質(zhì)的阻滯，嚴重影響學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。對課堂教學的研究逐步由線性走向“非線性”，走向高水平的個性化教學和深度學習，將成為一種歷史的趨勢。

我國課堂教學改革的大方向是走向“非線性”。無論是自改革開放以來一些產(chǎn)生了很大影響的課堂改革模式，遠的如邱學華的“嘗試教學法”、黎世法的“異步教學法”，近的如郭思樂的“生本教學”、洋思中學的“先學后教”，新的如黃愛華的“大問題教學”，以及翻轉(zhuǎn)課堂、慕課等，還是新一輪課程改革中設置的旨在適應不同地區(qū)和學生發(fā)展需求的綜合課程和校本特色課程，如STEAM課程等，他們改革的本質(zhì)都是或多或少地增加教學的“非線性”成份，增強課程的綜合性和選擇性，都是試圖掙脫傳統(tǒng)線性教學對師生發(fā)展的束縛，突破傳統(tǒng)線性教學的桎梏。

我們把嚴格按照教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)順序、有著清晰的起點和明確的終點，圍繞著相對固定的教學環(huán)節(jié)展開，一環(huán)套一環(huán)地依次推進，教學過程“齊步走”的教學稱為“線性”教學。而把以“非線性”教學策略為指導，以開放教材內(nèi)容和學生的學習進度，允許學生適當超前學習，以學生真實的學習起點作為每節(jié)課的教學起點，圍繞學生的認知難點、本節(jié)課的核心知識而展開的教學稱為“非線性”教學。“非線性”教學具有以預期目標為認知向?qū)?，以簡化教學環(huán)節(jié)、淡化系統(tǒng)講解為突破口，以“找起點、破難點、突重點”為學習活動的主要線索，以“先學后教、以學定教、因材施教”為顯著標志等的特征。

“非線性”教學思想主張給學生提供更多的機會（學、思、問、練、說等的機會），讓學生盡可能走在老師的前面，讓學生看到“更多的風景”。十多年的“非線性”教學改革實踐，讓我們老師的角色經(jīng)歷了從課堂的“主宰”到“主演”、再到“導演”的不斷嬗變，經(jīng)歷了從“教學內(nèi)容的提供者”到“學習活動的組織者、指導者和參與者”的華麗轉(zhuǎn)身，推動了“跟隨式”、“獨學式”和“齊步走”的教學方式向“自主、合作和探究”方向的艱難轉(zhuǎn)型。

三、“非線性”教學讓核心素養(yǎng)進課堂、進頭腦

（一）核心素養(yǎng)可以這樣教

早在2012年，原國家教委副主任柳斌同志就撰文呼吁：我們的課堂教學要少教一些學了之后多數(shù)人一輩子也用不上的知識和難題，多教一些大家都應知、應會、應當面對、應當思考的現(xiàn)實問題。這個觀點得到廣大一線教師的積極響應，紛紛開展了各種旨在培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)的教學實驗。在這個問題上，東北師范大學史寧中教授進一步指出：學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要落在學科核心素養(yǎng)，基于核心素養(yǎng)的教學要把握知識本質(zhì)、創(chuàng)設教學情境，啟發(fā)學生思考，讓學生在掌握所學知識技能的同時，感悟知識的本質(zhì)，積累思維和實踐的經(jīng)驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

因此，要讓核心素養(yǎng)走進課堂，我們的教學就要授之以漁，而不是授之以魚。即充分運用啟發(fā)式、探究式、討論式等教育教學方法，引導學生經(jīng)歷在真實的情境中，通過觀察、操作、分析、判斷、應用、解釋等學習過程，逐步形成核心素養(yǎng)。以下是我們經(jīng)過10多年實踐檢驗證明有效的、能讓核心素養(yǎng)進課堂、進頭腦的教學范式。

案例1：“非線性”教學范式舉例。

小學數(shù)學"非線性"教學設計（通用模板）

一、預習導航

1.經(jīng)過預習我知道了哪些內(nèi)容？

2.還有哪些問題想問？

[設計意圖]通過檢查、交流學生的《課前小研究》，梳理問題，摸清學生真實的學習起點與學習需求，為后續(xù)學習活動導航。

二、導學反饋

1.聚焦問題（本節(jié)課的探究點），獨學、導學與促學（發(fā)現(xiàn)問題、展示成果并開展小組合作學習）

[設計意圖]學生自主學習有了收獲和問題后，在老師的參與下，對學生提出的帶有共性的疑難問題進行聚焦，并以此作為線索和切入點，在學生經(jīng)過了預習的現(xiàn)有基礎上展開新課的學習探究與導學促學。

2.練習反饋

[設計意圖]以問題為導向，在充分了解學情基礎上，通過采取“個人展示、專向解惑、分類點評”的辦法進行分層、適量的課堂訓練或當堂小測，反饋學生對新知的理解、掌握程度。

三、歸納積累

1.回顧：我學習了哪些知識？

2.歸納：我學會了哪些方法？

3.反思：我要注意哪些問題？

[設計意圖]采取“先寫后說”的方式進行課堂小結(jié)，變單純的“說收獲”為“先寫后說”，夯實數(shù)學課堂中的學習與積累，使所學知識實現(xiàn)條理化、概括化、策略化。

四、布置作業(yè)

1.鞏固性作業(yè);

2.前置選擇性作業(yè)，或長周期作業(yè)。

[設計意圖]“兩結(jié)合”的課外作業(yè)（鞏固性作業(yè)、前置選擇性的預習作業(yè)），使學生的學習由“畫句號”變?yōu)椤爱媶柼枴?，促進主動學習，保證學習方式的轉(zhuǎn)變。

開展“非線性”教學，通過改進課堂組織形式、改進教學內(nèi)容呈現(xiàn)方式、改進學生被動接受的學習模式、改進師生單維交流的互動模式，有力地轉(zhuǎn)變了數(shù)學教師的教學方式和育人模式，將課堂教學的切入點由當前盛行的“從學生的邏輯起點”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤盎趯W生的真實起點”，將“師講生聽、師寫生記”的被動接受式學習，轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢n前自主預習、課上積極參與”的主動發(fā)現(xiàn)式學習。開展“非線性”教學，能讓學生在積極、主動的小組學習活動中，學會如何展示自己，如何幫助其他同學答疑解惑，如何在學習活動中找到自己的位置，從而一步一個腳印地夯實“四基”，培養(yǎng)“四能”，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

（二）核心素養(yǎng)可以這樣評

過去的考試評價，主要是基于知識的評價，即考查學生對知識點了解、理解、掌握的程度。在2015年實施的國家基礎教育質(zhì)量監(jiān)測中，數(shù)學領域的監(jiān)測標準明確提出：不要求計算速度，要關(guān)注學生對知識的理解，關(guān)注學生思維能力的達成，這些標準就體現(xiàn)了對學生學科素養(yǎng)的關(guān)注。史寧中教授提出：基于核心素養(yǎng)的評價要關(guān)注思維品質(zhì)、考查思維過程。

下面以數(shù)的運算為例，說明突出數(shù)學核心素養(yǎng)的考評方法。

1.突出對學生思維過程的考查（見表1）

2.突出對學生思維品質(zhì)的考查（見表2）

四、“非線性”教學促進學校和師生共同發(fā)展

回顧“非線性”教學研究所走過的十多年的歷程，有太多令人感動的案例。

案例2：一次“邂逅”，成就一所名校

2009年，剛由六所村辦小學合并而成的佛山市禪城區(qū)張槎中心小學，就在街道的期末質(zhì)量檢測中遭遇了一記“重擊”：全校只有一個班的數(shù)學成績超了街道平均分，銳意進取的楊翠校長急尋改薄“良方”。2009年，筆者初步提出了小學數(shù)學“非線性”小組合作學習的教學模式，正在全市范圍內(nèi)尋找教改“試驗田”。一次偶然的交談，讓我們彼此達成了共識：楊校長帶領數(shù)學科組第一個“吃螃蟹”，率先進行以小組合作學習為載體的“非線性”教學實驗。經(jīng)過兩年的實驗，全校的數(shù)學成績在期末質(zhì)量檢測中取得顯著進步，在2010年達到了街道的中游位置，到2011年，全校數(shù)學學業(yè)成績就實現(xiàn)了“由一到一”的跨越：即由原來“只有一個班高于街道平均分”變?yōu)椤爸挥幸粋€班低于街道平均分”。

張槎中心小學數(shù)學科組“非線性”教學實驗的成功，不僅大大提振了全校學生和老師的自信度，也提高了全體家長和各級領導對這所新學校優(yōu)質(zhì)發(fā)展的信任度。這使得“非線性”教學的影響力迅速擴大，“非線性”教學策略被遷移和復制到學校其他科組和周邊學校，也都同樣取得了預期的成功。本次活動繼“非線性”教學于2011年在我市舉辦的“兩岸四地”小學數(shù)學教學研討會上首次亮像之后，進一步推動了佛山與港澳地區(qū)的“非線性”教學研討與交流。

責任編輯 龍建剛