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      識(shí)得廬山真面目,活用“五招”巧解題

      2022-05-30 10:48:04余會(huì)昌
      數(shù)理天地(高中版) 2022年15期
      關(guān)鍵詞:平方和

      余會(huì)昌

      【摘?要】??同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)與證明中應(yīng)用廣泛,且問題解決又沒有固定套路,于是,面對(duì)不能套用公式的問題往往無從下手.但我們可在識(shí)得公式真面目上,根據(jù)問題特征,活用“從繁到簡(jiǎn)、等價(jià)轉(zhuǎn)換、左右歸一、切弦互化、1的應(yīng)用”這五招來巧解問題.

      【關(guān)鍵詞】??同角;正余弦;平方和;等價(jià)轉(zhuǎn)換

      同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要指

      sin?2?α+?cos??2α=1,?tan?α=??sin?α??cos?α?.

      公式的真面目是:第一個(gè)等式左邊是正弦、余弦的平方和,右邊是常數(shù)1,從公式右邊往左看,這公式具有把常數(shù)1化為三角函數(shù)的功能.第二個(gè)公式,左邊是正切,右邊是正弦與余弦的比,這公式巧妙地把正弦、余弦與正切聯(lián)系起來了,從左往右能切化弦,從右往左則能弦化切.

      例1???已知?tan?α=2,求?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的值.

      解???sin?2?α+2?sin?α?cos?α=??sin?2?α+2?sin?α?cos?α??sin?2?α+?cos??2α

      =??tan??2α+2?tan?α??tan??2α+1?=?8?5?.

      注??若用已知結(jié)合?sin?2?α+?cos??2α=1,分別求出?sin?α和?cos?α值,再求?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的值,比較麻煩.在這情況下,把?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的分母看成“1”,并以“?sin??2α+?cos??2α”來替代得??sin??2α+2?sin?α?cos?α??sin?2?α+?cos??2α?,此式分子分母都除以?cos??2α,則所求式全化為已知,從而問題得解答.這招叫“1的應(yīng)用”.解這類題的關(guān)鍵在于分子、分母是同次式,則可把式子化為關(guān)于正切的式子.

      例2???若△ABC的內(nèi)角A滿足?sin?A?cos?A=?1?3?,求?sin?A+?cos?A和?tan?A的值.

      解??因?yàn)?A是三角形內(nèi)角,

      且??sin?A?cos?A=?1?3?,

      所以?角A必為銳角,

      于是??sin?A+?cos?A?=?(?sin?A+?cos?A)?2

      =?1+2×?1?3??=??15??3?.

      易知?sin?A與?cos?A為方程x?2-??15??3?x+?1?3?=0的兩個(gè)根,

      解得?x?1=??15?+?3??6?,x?2=??15?-?3??6?,

      所以??tan?A=???15?+?3??6????15?-?3??6??=?3+?5??2?,

      或??tan?A=???15?-?3??6????15?+?3??6??=?3-?5??2?.

      注??若用常規(guī)方法,從?sin?A?cos?A=?1?3?求出一個(gè),代入?sin?2?A+?cos??2A=1,求出另一個(gè),從而求出?sin?A+?cos?A,這樣做,顯然運(yùn)算較麻煩.但我們巧用“1的應(yīng)用”,也顯然使問題得到較快捷的解答.在求?tan?A時(shí),用了韋達(dá)定理,這種方法在解這類同角關(guān)系式應(yīng)用題中,是常用的方法.

      例3???在△ABC中,?sin?A+?cos?A=??2??2?,求?tan?A的值.

      解??因?yàn)??sin?A+?cos?A=??2??2?,?①

      兩邊平方,得?2?sin?A?cos?A=-?1?2?,

      從而知??cos?A<0,

      所以?∠A∈??π?2?,π?.

      所以??sin?A-?cos?A

      =?(?sin?A+?cos?A)?2-4?sin?A?cos?A

      =??1?2?+1?=??6??2?.?②

      由①②,得??sin?A=??6?+?2??4?,?cos?A=?-?6?+?2??4?,

      所以??tan?A=??sin?A??cos?A?=-2-?3?.

      注??若根據(jù)同角關(guān)系,用常規(guī)的方法,由已知的?sin?A+?cos?A=??2??2?,求出?sin?A代入?sin?2?A+?cos??2A=1,分別求出?sin?A和?cos?A再求?tan?A,那問題的求解顯然很麻煩.這里,巧用“1的應(yīng)用”,對(duì)?sin?A+?cos?A=??2??2?兩邊平方,再求?sin?A+?cos?A的值,建立以?sin?A和?cos?A為變量的方程組,求出?sin?A和?cos?A,最終求得?tan?A.當(dāng)然,解答中,要注意三角形內(nèi)角的隱含條件.

      例4???若角θ滿足?cos??2θ+?cos?θ=1,則?sin??2θ+?sin?4?θ=?.

      解??由已知得?cos??2θ+?cos?θ=?sin?2?θ+?cos??2θ,

      所以??sin?2?θ=?cos?θ,

      于是??sin?2?θ+?sin?4?θ=?cos?θ+?cos??2θ=1.

      注??解題中,把已知條件右邊的“1”,用?sin?2?θ+?cos??2θ來表示,使問題得到解決.這就是“1的應(yīng)用”.

      例5???化簡(jiǎn):?2?cos??2α-1?1-2?sin??2α?.

      解????2?cos??2α-1?1-2?sin?2?α

      =?2?cos??2α-(?sin??2α+?cos??2α)??sin?2?α+?cos??2α-2?sin?2?α?=1.

      注??本題求解得益于“1的應(yīng)用”,即把分子、分母中的“1”,轉(zhuǎn)換成?sin??2α+?cos??2α,從而求得問題的解.

      例6???求證:??cos?α?1-?sin?α?=?1+?sin?α??cos?α?.

      解??要證???cos?α?1-?sin?α?=?1+?sin?α??cos?α?,

      即要證??cos??2α=(1+?sin?α)(1-?sin?α),

      也即要證:?cos??2α=1-?sin?2?α,而這式是成立的.

      注??本題是道經(jīng)典題目,等式兩邊結(jié)構(gòu)均等,證法很多,文中這招叫“等價(jià)轉(zhuǎn)換”.

      例7???求證:

      1+?sin?α+?cos?α+2?sin?α?cos?α?1+?sin?α+?cos?α?=?sin?α+?cos?α.

      證明??左邊

      =??sin?2?α+?cos??2α+?sin?α+?cos?α+2?sin?α?cos?α?1+?sin?α+?cos?α

      =?(?sin?α+?cos?α)?2+?sin?α+?cos?α?1+?sin?α+?cos?α

      =?(?sin?α+?cos?α)(1+?sin?α+?cos?α)?1+?sin?α+?cos?α

      =?sin?α+?cos?α=右邊,

      所以,等式成立.

      注??這個(gè)等式左邊較右邊“繁”,證明時(shí),從左邊入手進(jìn)行運(yùn)算,這招叫“從繁到簡(jiǎn)”.

      例8????1-2?sin?α?cos?α??cos??2α-?sin?2?α?=?1-?tan?α?1+?tan?α?.

      證法1???左邊=??sin?2?α+?cos??2α-2?sin?α?cos?α??cos??2α-?sin?2?α

      =?(?sin?α-?cos?α)?2?(?cos?α+?sin?α)(?cos?α-?sin?α)

      =??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?=?1-?tan?α?1+?tan?α?=右邊,

      所以,等式成立.

      證法2???左邊=??sin?2?α-2?sin?α?cos?α+?cos??2α??cos??2α-?sin?2?α

      =?(?cos?α-?sin?α)?2?(?cos?α+?sin?α)(?cos?α-?sin?α)?=??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?,

      右邊=?1-??sin?α??cos?α??1+??sin?α??cos?α??=??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?,

      左邊=右邊,

      所以,等式成立.

      注??等式左邊為正、余弦,右邊為正切,證法1采用了“弦化切”.證法2用“切化弦”.所以,在解決問題時(shí),可進(jìn)行“切弦互化”.當(dāng)然,本題證明中,也用到了“1的應(yīng)用”.在證法2中,分別算算左右兩邊,得到相同的值,這招叫“左右歸一”.在一道題的求解中,往往“五招”當(dāng)中多招并用.

      例9???證明:(?sin?α+?cos?α)?2=1+?2?sin?2?α??tan?α?.

      證明??左邊=1+2?sin?α?cos?α.

      右邊=1+?2?sin?2?α???sin?α??cos?α??=1+2?sin?α?cos?α,

      左邊=右邊,

      所以,等式成立.

      注??左邊展開后,用?sin?2?α+?cos??2α=1,右邊切化弦后即可,最后得到左邊=右邊.證明中,用到“1的應(yīng)用”與“左右歸一”兩招.當(dāng)然,從上面證明知可從右邊進(jìn)行運(yùn)算,也容易得到左邊.

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