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      構(gòu)造法破解比較大小問(wèn)題

      2022-05-30 10:48:04張嚴(yán)田
      數(shù)理天地(高中版) 2022年19期
      關(guān)鍵詞:綜上模擬題扇形

      張嚴(yán)田

      【摘要】近幾年的高考試題和模擬試題特別青睞于比較大小問(wèn)題,而且此類(lèi)題目普遍偏難,已經(jīng)成為拉分題,這類(lèi)問(wèn)題的破解之策越來(lái)越受到廣大師生的重視.

      【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;大小比較

      比較大小問(wèn)題已經(jīng)成為近幾年各類(lèi)模擬題和高考試題的熱點(diǎn)考向,本文略舉幾例拋磚引玉,探討其解法.

      例1設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,則()

      (A)a

      (C)c

      解法1構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx+1x(x>0),

      則f′(x)=1x-1x2,x>0,

      當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=1,

      所以0

      x>1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

      即f(x)在x=1處取得最小值f(1)=1,

      所以lnx≥1-1x,當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,

      所以ln0.9>1-10.9=-19,

      于是-ln0.9<19,

      即c

      因?yàn)?ln0.9=ln109>1-910=110,

      所以109>e0.1,0.1e0.1<19,

      即a

      因?yàn)?.1e0.1>0.1×1.1=0.11,

      而-ln0.9=ln109<12109-910=19180

      <0.11,

      所以a>c,

      故c

      解法2先比較a與b.

      設(shè)F(x)=(1-x)ex-1(0

      則F′(x)=-xex<0,

      所以F(x)在0

      故F(x)

      即(1-x)ex<1,

      所以ex<11-x(0

      取x=0.1,得e0.1<11-0.1=109,

      所以0.1e0.1<19,即a

      再比較a與c.

      易知ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),

      取x=0.1,得e0.1>1.1,

      所以a=0.1e0.1>0.11.

      設(shè)G(x)=2lnx-x+1x(x>1),

      則G′(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2<0,

      所以G(x)在x>1上單調(diào)遞減,

      故G(x)1),

      即2lnx1).

      取x=109,得

      ln109<12109-910=19180<0.11<0.1e0.1=a,

      即c

      綜上知,c

      解法3由不等式lnx<12x-1x(x>1),

      得ln109<12109-910=19180<0.11,

      又因?yàn)閑0.1>0.1+1=1.1,

      所以a=0.1e0.1>0.11,

      即c

      由ex≥x+1,得e-x>-x+1(0

      即ex<11-x,

      所以e0.1<11-0.1=10.9,

      故a=0.1e0.1<19,即a

      綜上知,c

      故選(C).

      例2已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,則()

      (A)c>b>a.(B)b>a>c.

      (C)a>b>c.(D)a>c>b.

      (2022年全國(guó)甲卷)

      解法1設(shè)

      f(x)=cosx+12x2-1(0

      則f′(x)=x-sinx.

      設(shè)g(x)=x-sinx(0

      g′(x)=1-cosx>0,

      所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

      即g(x)>g(0)=0,f′(x)>0,

      故f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,

      所以f14>f(0)=0,

      即cos14>3132,

      故b>a.

      利用三角函數(shù)線可得x∈0,π2時(shí),tanx>x,

      所以tan14>14,

      即sin14cos14>14,

      所以4sin14>cos14,

      即c>b.

      綜上知,c>b>a,選(A).

      解法2構(gòu)造半徑為4,弧長(zhǎng)為1的扇形AOB,在扇形AOB中,∠AOB=14,|AB|<1,

      所以cos14=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA|·|OB|

      >42+42-122×4×4=3132,

      故b>a.

      利用三角函數(shù)線可得x∈0,π2時(shí),tanx>x,

      所以tan14>14,

      即sin14cos14>14,

      故4sin14>cos14,

      即c>b.

      綜上知,c>b>a,選(A).

      例3已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則()

      (A)a>0>b.(B)a>b>0.

      (C)b>a>0.(D)b>0>a.(2022年全國(guó)甲卷·文)

      解法1因?yàn)?m=10,

      所以m=log910,

      因?yàn)?=log99

      所以1

      構(gòu)建函數(shù)f(x)=xm-(x+1)(x>1),則

      f′(x)=mxm-1-1.

      令f′(x)>0,得

      函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為(m11-m,+∞).

      由1

      所以111-m>m11-m>3211-m,

      即m11-m<1,

      故f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

      于是有f(10)>f(9)>f(8),

      即10m-11>9m-10>8m-9,

      故a>0>b,選(A).

      解法2因?yàn)?m=10,所以m=log910,

      又lg9>0,lg11>0,

      由基本不等式

      lg9lg11

      所以1-lg9lg11>0,

      從而log910-log1011=1lg9-lg11

      =1-lg9lg11lg9>0,

      所以log1011

      即10m>11,

      故a>0.

      同理b<0.

      綜上知,a>0>b,選(A).

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