武前煒

【摘要】本文對4道有代表性的代數(shù)試題進行分析，抓住結(jié)構(gòu)，尋求破題之策，特別對于一類9宮格數(shù)字問題給出一般性的性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】 2022;數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);參數(shù)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開問題的解決，好的數(shù)學(xué)問題能促進學(xué)生知識、技能、情感等各方面快速、健康的發(fā)展.伴隨著問題的解決能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)使學(xué)生積極思考、主動參與學(xué)習(xí)、樂意尋求解決問題的答案.進入初中學(xué)習(xí)代數(shù)的過程，感受到了從數(shù)到式的直觀體驗，對于代數(shù)問題需要我們仔細(xì)觀察問題中數(shù)、數(shù)量、關(guān)系以及結(jié)構(gòu)，通過抽象化的結(jié)構(gòu)建立各種關(guān)系，以下通過幾個數(shù)學(xué)問題體會知識運用的靈活性、綜合性、創(chuàng)新性.

在一些有趣的數(shù)學(xué)問題中，時常見到題目中出現(xiàn)了當(dāng)年的年份數(shù)，我們稱這樣的題為“年題”，隨著2022年的到來，為聰明的你準(zhǔn)備了“2022”年份趣題，一起來開動腦筋吧！

例1 若x+y+z=6066（x>y>z，且都不等于2022），則分式

（x-2022）（y-2022）+（y-2022）（z-2022）+（z-2022）（x-2022）（x-2022）2+（y-2022）2+（z-2022）2的值等于.

分析 經(jīng)觀察知條件和問題含有相似結(jié)構(gòu)x-2022，y-2022，z-2022，考慮簡化運算，通過參數(shù)替換讓式子變得更簡單，便于發(fā)現(xiàn)熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

解 因為x+y+z=6066，

所以（x-2022）+（y-2022）+（z-2022）=0，

設(shè)x-2022=a，y-2022=b，z-2022=c，

即a+b+c=0，

所以（a+b+c）2=0，

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，

由x，y，z都不等于2022可知abc≠0，

原式=ab+bc+caa2+b2+c2=ab+bc+ca-2ab-2bc-2ca=-12.

例2 若2021（x-y）+2022（y-z）+2023（z-x）=0，20212（x-y）+20222（y-z）+20232（z-x）=2022，則z-y的值等于.

分析 題目條件的數(shù)字較大且未知數(shù)有相同對稱結(jié)構(gòu)，考慮設(shè)參數(shù)替換，讓題目隱藏信息暴露出來.

解 設(shè)x-y=a，y-z=b，z-x=c，

則a+b+c=0，①

2021a+2022b+2023c=0，②

20212a+20222b+20232c=2022，③

①×2022得

2022a+2022b+2022c=0，④

④-②得a-c=0，

即a=c，⑤

③-②×2022，得

（20212a+20222b+20232c）-（2021×2022a+2022×2022b+2023×2022c）=2022，

即-2021a+2023c=2022，⑥

由①，⑤，⑥得

a=c=1011，b=-2022，

從而z-y=-b=2022.

例3 對于每一個正整數(shù)m（0

解 由m2021

mn<2021x，mn+n>2022x，

則mn+1≤2021x，mn+n-1≥2022x，

2022（mn+1）≤2022×2021x，2021（mn+n-1）≥2021×2022x，

即2021（mn+n-1）≥2022（mn+1），

解得n≥40432021-m，

此式應(yīng)對每一個正整數(shù)m（1

m2021

由不等式性質(zhì)對于任意實數(shù)，若ab

ab

可知m2021

從而可得x=2m+1.

即當(dāng)正整數(shù)n的最小值為4043，此時不等式組的正整數(shù)解是x=2m+1.

例4 將9個數(shù)填入九個方格中，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等，如圖1：

請在如圖2中的九個方格格內(nèi)填上合適的數(shù)，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和都等于2022.

分析 本題屬于開放性數(shù)學(xué)問題，答案不唯一，那么如何快速準(zhǔn)確填寫，需要研究此類九宮格數(shù)字隱藏的規(guī)律.

為方便研究，如圖3為填好的符合同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和都等于M的九宮格.

則可知a+e+i=M，

c+e+g=M，

b+e+h=M，

d+e+f=M，

9個數(shù)字總和

a+b+c+d+e+f+g+h+i=3M，

即（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）-3e=3M，

所以e=13M，

從而可得a+i=23M，

變形得a-13M=13M-i，

即a-e=e-i，

從而可得對角線的三個方格數(shù)a，e，i為等差數(shù)列，

同理可得方格數(shù)c，e，g;b，e，h;d，e，f均為等差數(shù)列，

由（a+d+g）+（b+e+h）=（a+b+c）+（c+e+g）=2M，

整理可得（a+g+b+e）+（d+h）=（a+g+b+e）+2c，

即c=d+h2.

歸納 如圖3，若將9個數(shù)a，b，c，d，e，f，g，h，i填入九個方格中，且滿足處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等，則這些方格數(shù)字具備以下性質(zhì)：

性質(zhì)1：所有數(shù)字和等于中間方格數(shù)字的9倍;

性質(zhì)2：第2行，第2列以及兩個對角線中的三個數(shù)分別呈等差數(shù)列關(guān)系;

性質(zhì)3：d+h=2c;h+f=2a;

f+b=2g;b+d=2i.

解 由題意知，要填的9個數(shù)和為

2022×3=6066，

由性質(zhì)1知，中間方格數(shù)為

6066÷9=674，

如圖4，只需在剩下8個方格任填2個數(shù)（與中間674數(shù)字不構(gòu)成對角線位置）即可確定其余數(shù)字，

方式1：如圖5，則根據(jù)同一橫行、同一豎列三個數(shù)字和為2022可得，

b=648，d=748，

再根據(jù)性質(zhì)3可得

a=724，c=650，

從而e=698，f=624，如圖6所示為所填一種符合要求的數(shù)字.

方式2：如圖7，則根據(jù)同一橫行、同一斜對角線三個數(shù)字和為2022可得，a=628，d=848，從而可得c=454，b=940，f=894，g=308，如圖8所示為所填一種符合要求的數(shù)字.

以上幾個有趣的數(shù)字問題在尋求解答的過程中逐漸地學(xué)會了構(gòu)建知識、理解知識、領(lǐng)會知識、運用知識，碰撞出創(chuàng)新思維的火花，讓不同的人在數(shù)學(xué)上體驗到不同的數(shù)學(xué)獲得感！希望大家在解決問題的過程中喜歡數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).