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      平行線中的數(shù)量與位置關(guān)系

      2022-05-30 10:48:04楊元紅
      數(shù)理天地(初中版) 2022年15期

      楊元紅

      【摘要】 在數(shù)學的學習中,經(jīng)常涉及到數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,本文從平行線的判定方法和性質(zhì)兩個角度入手,通過例題具體呈現(xiàn)平行線中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化過程,這對數(shù)學的學習很有益處.

      【關(guān)鍵詞】平行線數(shù)量關(guān)系;位置關(guān)系;相互轉(zhuǎn)化

      平行線的判定1

      兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.

      簡單說成:同位角相等,兩直線平行.

      例1 如圖1,已知點B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°.

      求證:CF∥BD.

      證明 因為BD⊥BE,

      所以∠DBE=90°,

      因為點B在AC上,

      所以∠2+∠DBE+∠1=180°,

      所以∠1+∠2=90°,

      因為∠1+∠C =90°,

      所以∠C=∠2,

      所以CF∥BD.(同位角相等,兩直線平行)

      平行線的判定2

      兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行.

      簡單說成:內(nèi)錯角相等,兩直線平行.

      例2 如圖2,已知AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2.

      求證:BE∥CF.

      證明 因為

      AB⊥BC,

      所以∠ABC=90°,

      因為BC⊥CD,

      所以∠BCD=90°,

      所以∠ABC=∠BCD,

      因為∠ABC=∠1+∠CBE,

      ∠BCD=∠2+∠BCF,

      因為∠1=∠2,

      所以∠CBE=∠BCF,

      所以BE∥CF.(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)

      平行線的判定3

      兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行.

      簡單說成:同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.

      例3 如圖3,已知AC⊥BC,垂足為C,∠B=50°,∠ACD=40°.

      求證:AB∥CD.

      證明 因為

      AC⊥BC,垂足為C,

      所以∠ACB=90°,

      因為∠BCD=∠ACB+∠ACD,

      又因為∠ACD=40°,

      所以∠BCD=90°+40°=130°,

      因為∠B=50°,

      所以∠B+∠BCD=180°,

      所以AB∥CD.(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行)

      平行線的判定方法體現(xiàn)了由數(shù)量關(guān)系到位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化過程.

      平行線的性質(zhì)1

      兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等.

      簡單說成:兩直線平行,同位角相等.

      例4 如圖4,已知直線a,b被直線c所截,a∥b,∠1=125°,求∠2的度數(shù).

      解 因為

      a∥b,

      所以∠1=∠2,

      (兩直線平行,同位角相等)

      因為∠1=125°,

      所以∠2=125°.

      即∠2的度數(shù)是125°.

      平行線的性質(zhì)2

      兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯角相等.

      簡單說成:兩直線平行,內(nèi)錯角相等.

      例5 如圖5,已知直線DE經(jīng)過點A,DE∥BC,∠B=44°,∠C=57°,求∠BAD和∠CAE 的度數(shù).

      解 因為DE∥BC,

      所以∠BAD=∠B

      ∠CAE=∠C,

      (兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

      因為∠B=44°,∠C=57°,

      所以∠BAD=44°,∠CAE=57°.

      即∠BAD的度數(shù)是44°,∠CAE的度數(shù)是57°.

      平行線的性質(zhì)3

      兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補.

      簡單說成:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.

      例6 如圖6,已知AB∥CD ∠B=129°,∠D=134°,求∠BED的度數(shù).

      解 如圖,過點E作

      EF∥AB,

      所以∠B+∠BEF=180°,

      (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)

      因為∠B=129°,

      所以∠BEF=51°,

      因為AB∥CD

      EF∥AB,

      所以CD∥EF,

      所以∠D+∠DEF=180°,

      (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)

      因為∠D=134°,

      所以∠DEF=46°,

      因為∠BED=∠BEF+∠DEF,

      所以∠BED=51°+46°=97°,

      即∠BED的度數(shù)是97°.

      平行線的性質(zhì)體現(xiàn)了由位置關(guān)系到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化過程.

      例7 如圖7,點D,E分別在三角形ABC的邊AB,AC上,點F在線段CD上,且∠1+∠2=180°,DE∥BC.

      (1)求證:∠3=∠B;

      (2)若DE平分∠ADC,∠2=3∠B,求∠1的度數(shù).

      證明 (1)因為點F在線段CD上,

      所以∠DFE+∠1=180°,

      因為∠1+∠2=180°,

      所以∠2=∠DFE,

      所以AB∥EF,

      (內(nèi)錯角相等,兩直線平行)

      所以∠ADE=∠3,

      (兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

      因為DE∥BC,

      所以∠ADE=∠B,

      (兩直線平行,同位角相等)

      所以∠3=∠B.

      (2)因為DE平分∠ADC,

      所以∠ADE=∠ADC,

      由(1)知∠ADE=∠3,∠3=∠B,

      所以∠ADC=2∠B,

      因為點D在三角形ABC的邊AB上,

      所以∠2+∠ADC=180°,

      因為∠2=3∠B,

      所以3∠B+2∠B=180°,

      所以∠B=36°,

      所以∠ADC=2∠B=72°,

      由(1)知AB∥EF,

      所以∠ADC=∠1,

      (兩直線平行,同位角相等)

      所以∠1=72°.

      即∠1的度數(shù)是72°.

      數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在數(shù)學的學習中很常見,讓我們在以后的學習中慢慢體會相互轉(zhuǎn)化的價值所在.

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