王夢(mèng)宇

【摘要】本文以蘇科版九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)”這一單元教學(xué)為例，結(jié)合具體例題展示在運(yùn)算能力、抽象能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念核心素養(yǎng)下單元整體教學(xué)的具體實(shí)施，以供參考.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);初中數(shù)學(xué);單元整體教學(xué)

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)非常重要的單元，共包含二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)與一元二次方程、用二次函數(shù)解決問題共五節(jié)內(nèi)容.認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）中核心素養(yǎng)內(nèi)容，精心篩選課堂例題，借助例題求解過程的展示，鞏固學(xué)生所學(xué)，鍛煉學(xué)生能力，促進(jìn)其核心素養(yǎng)更好地提升.

1 “二次函數(shù)”教學(xué)實(shí)踐

“二次函數(shù)”這一節(jié)利用學(xué)生熟悉的問題，自然引入“二次函數(shù)”概念，使學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)“二次函數(shù)”的一般形式.同時(shí)，使其具體問題具體分析，能夠運(yùn)用所學(xué)構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系[1].在進(jìn)行該部分內(nèi)容教學(xué)時(shí)課堂上給學(xué)習(xí)者預(yù)留思考、討論、歸納機(jī)會(huì)，使其主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)形成中，進(jìn)一步加深其印象.另外，將運(yùn)算能力與核心素養(yǎng)融入實(shí)踐中，在課堂上展示如下例題，與學(xué)習(xí)者一起分析，通過運(yùn)算過程中的展示，使其把握運(yùn)算技巧，提高運(yùn)算效率，使得運(yùn)算能力核心素養(yǎng)得到一定的發(fā)展.

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)F為BC上一動(dòng)點(diǎn)，兩對(duì)角線相較于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥EF.點(diǎn)G在DC上.若BF的長為x，△EFG的面積為y，求y和x滿足的函數(shù)關(guān)系.

該題主要考查三角形全等、等腰直角三角形性質(zhì)以及二次函數(shù)知識(shí).解題時(shí)需通過證明三角形全等實(shí)現(xiàn)等量代換，借助整體思想表示出等腰直角三角形的面積，降低運(yùn)算復(fù)雜度.同時(shí)，需根據(jù)題意分析出正確的自變量范圍.

由正方形的性質(zhì)可知EC=EB，∠ECG=∠EBF=45°，∠BEC=90°，

即∠BEF+∠FEC=90°.由EG⊥EF，則∠FEC+∠CEG=90°，則∠BEF=∠CEG，則△BEF≌△CEG，則EF=EG，BF=CG，△FEG為等腰直角三角形.在△FGC中FC=5-x，GC=x，由勾股定理得到：

FG2=FC2+GC2=（5-x）2+x2，

EF=FGcos45°，

則y=12（FGcos45°）2=14FG2

=14[（5-x）2+x2]=-12x2-52x+254（0≤x≤5）.

2 “二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)實(shí)踐

“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)中，一方面運(yùn)用多媒體技術(shù)展示二次函數(shù)圖像，在課堂上采用一問一答的形式與學(xué)習(xí)者進(jìn)行互動(dòng)，使其通過認(rèn)真觀察、思考、抽象出二次函數(shù)圖像特點(diǎn)，進(jìn)一步澄清其對(duì)二次函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí).同時(shí)，引導(dǎo)其從數(shù)學(xué)角度描述函數(shù)圖像，尤其在屏幕上動(dòng)態(tài)展示二次函數(shù)平移，使其能夠總結(jié)出正確的函數(shù)圖像平移規(guī)律[2].另一方面，在進(jìn)行例題教學(xué)中，為更好地培養(yǎng)學(xué)習(xí)者靈活運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)要求解的問題進(jìn)行合理抽象，課堂上講解以下例題，并要求學(xué)習(xí)者做好聽課的總結(jié)，認(rèn)真揣摩解題過程，把握抽象細(xì)節(jié).

例2 已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+a+5的圖像上存在兩點(diǎn)（-2，y1），（3，y2），滿足y1

（A）-5.??? （B）-1.

（C）1. （D）-2.

該題間接考察對(duì)二次函數(shù)理解以及熟練應(yīng)用程度.解題時(shí)需透過現(xiàn)象看本質(zhì)，判斷出二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，確定拋物線的開口方向.而后分析給定自變量范圍和拋物線對(duì)稱軸的大小關(guān)系，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行作答.

因二次函數(shù)圖像過（-2，y1），（3，y2）兩點(diǎn)，則y1=4a+4a+a+5=9a+5，y2=9a-6a+a+5=4a+5，由y1

解得a=-1，選擇B項(xiàng).

3 “用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式”教學(xué)實(shí)踐

在進(jìn)行這一節(jié)內(nèi)容教學(xué)時(shí)可要求學(xué)習(xí)者自學(xué)課本中的例題，使其搞清楚用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式的步驟，認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)，教學(xué)實(shí)踐中為更好地鍛煉學(xué)習(xí)者的學(xué)以致用能力，提升其幾何直觀核心素養(yǎng)，應(yīng)注重與學(xué)習(xí)者一起剖析如下例題，使其認(rèn)識(shí)到幾何圖形在分析數(shù)學(xué)問題中的重要作用，養(yǎng)成運(yùn)用幾何圖形解題的意識(shí)與良好習(xí)慣.

例3 在平面直角坐標(biāo)系中某點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)相等則稱該點(diǎn)為完美點(diǎn).已知二次函數(shù)y=ax2+bx-94的圖像上只有一個(gè)完美點(diǎn)（32，32），且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx-3的最小值為-3，最大值為1，則m的取值范圍為（? ）

（A）-1≤m≤0.? ?（B）2≤m≤72.

（C）2≤m≤4. （D）m≥2.

該題以新定義為背景考察待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)，難度較大.解題的關(guān)系在于能夠讀懂題意，從題干中提煉出有用信息，構(gòu)建與所學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，尤其能夠充分挖掘二次函數(shù)圖像中的隱含信息，從而達(dá)到順利解題[3].

根據(jù)完美點(diǎn)的定義令ax2+bx-94=x，整理得到：ax2+（b-1）x-94=0，即，將x=32代入整理得到：94a+32b-154=0①，Δ=（b-1）2+9a=0②，將①②聯(lián)立解得a=-1，b=4，則函數(shù)為y=-x2+4x-3，畫出其圖像，如圖2所示：

函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=2，在對(duì)稱軸處取得最大值為1.當(dāng)函數(shù)值取最小值-3時(shí)對(duì)應(yīng)的x值為0或4.由圖可知當(dāng)m=2時(shí)，0≤x≤2時(shí)，滿足題意.當(dāng)24時(shí)，取得的最小值小于-3，不滿足題意.綜上m的取值范圍為2≤m≤4，選擇C項(xiàng).

4 “二次函數(shù)與一元二次方程”教學(xué)實(shí)踐

“二次函數(shù)”和“一元二次方程”聯(lián)系緊密[4].在進(jìn)行該節(jié)內(nèi)容教學(xué)時(shí)在課堂上展示相關(guān)問題，組織學(xué)習(xí)者開展探究活動(dòng).同時(shí)，運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)習(xí)者展示不同的二次函數(shù)圖像，要求學(xué)習(xí)者探尋與之對(duì)應(yīng)一元二次方程根的情況，掌握判斷一元二次方程根個(gè)數(shù)的判斷方法.另外，為更好地拓展學(xué)習(xí)者視野，提升其推理能力，在課堂上展示如下例題，并通過解題過程的分析，使學(xué)習(xí)者認(rèn)真體會(huì)推理過程，積累推理經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)推理水平地提升.

例4 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（3，0），關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m=0（m>0）有兩根，其中一個(gè)根為5，則關(guān)于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

（A）-2或4.??? （B）-2或6.

（C）0或4.?? ?（D）-3或5.

解答該題需要深入理解“二次函數(shù)”與“一元二次”方程根的關(guān)系，尤其搞清楚二次函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)應(yīng)方程根的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖像平移規(guī)律進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?，?zhǔn)確地判斷.

由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（3，0），根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系可知，ax2+bx+c=0的兩根為-1和3，對(duì)稱軸為直線x=1.而方程ax2+bx+c+m=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c+m，m>0，其相當(dāng)于將函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像向上平移m個(gè)單位，而方程ax2+bx+c+m=0其中一個(gè)根為5，可知y=ax2+bx+c的圖像應(yīng)開口向下，另一根為-3.關(guān)于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

5 “用二次函數(shù)解決問題”教學(xué)實(shí)踐

“用二次函數(shù)解決問題”能很好地鍛煉學(xué)習(xí)者模型觀念以及應(yīng)用意識(shí)核心素養(yǎng).在進(jìn)行該節(jié)內(nèi)容教學(xué)時(shí)應(yīng)注重為學(xué)習(xí)者創(chuàng)設(shè)生活化、趣味性強(qiáng)的問題情境，更好地吸引其注意力，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性.當(dāng)然在講解問題之前可給學(xué)習(xí)者預(yù)留空白時(shí)間，先要求其進(jìn)行思考，而后再進(jìn)行講解.如此使學(xué)習(xí)者通過對(duì)比自身思路，更容易發(fā)現(xiàn)與彌補(bǔ)解題中的不足.

例5 某城市為方便市民停車，修建一個(gè)如圖3所示的停車場.停車場的長和寬分別為52m，28m，陰影部分為停車位，其余為等寬的通道，若停車位的占地面積為640m2.

（1）通道的寬度是多少米？

（2）調(diào)查發(fā)現(xiàn)每個(gè)車位月租金為400元，能夠全部租出.當(dāng)每個(gè)車位月租金每上漲10元，租出的個(gè)位會(huì)減少1個(gè).該停車場共有64個(gè)車位.若每個(gè)車位的月租金上漲時(shí)，該停車場的月租金收入會(huì)超過27000元嗎？

解答該題需在吃透題意的基礎(chǔ)上構(gòu)建對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)模型，并借助函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

（1）設(shè)通道的寬為xm，由圖可知停車位的長為（52-2x）m，寬為（28-2x）m，則

（52-2x）（28-2x）=640，整理得到x2-40x+204=0，解得x1=6，x2=34，因28-2x>0，則x=6，即，通道的寬為6m.

（2）設(shè)每個(gè)車位租金上漲為m元，停車位的月租金收入為y元.根據(jù)題意可租出的車位數(shù)為（64-m10）個(gè)，每個(gè)停車位的租金為（400+m）元，則可構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型

y=（400+m）（64-m10）

=-110m2+24m+25600

=-110（m-120）2+27040.

由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)m=120元時(shí)y取得最大值27040>27000，因此，停車場的月租金收入會(huì)超過27000元.

6 結(jié)語

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)中非常重要的單元，是中考的必考內(nèi)容.為更好地提高該單元整體教學(xué)效率，應(yīng)做好以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與靈活應(yīng)用，尤其注重在初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指引下做好教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)環(huán)節(jié)的認(rèn)真設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)者的課堂學(xué)習(xí)體驗(yàn)以及心理感受，激發(fā)其內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力以及學(xué)習(xí)潛力，牢固掌握二次函數(shù)知識(shí)的同時(shí)，核心素養(yǎng)得到針對(duì)性地提升.

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實(shí)踐研究”研究成果，課題批準(zhǔn)號(hào)為：D/2021/02/136”】

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