水下機(jī)械手水動(dòng)力學(xué)分析及控制方法研究

裴香麗，田 穎，張明路

（河北工業(yè)大學(xué)，天津 300130）

0 引 言

隨著工業(yè)化步伐加快，人們對(duì)海洋資源的勘探與開(kāi)發(fā)日益深入，在高壓、高鹽度、高腐蝕性的極端海洋環(huán)境中，水下機(jī)械手正在逐步代替人工完成資源勘探、管線檢修、海洋地貌檢測(cè)、目標(biāo)追蹤等工作[1]。為了使水下機(jī)械手能夠更加精確地高效作業(yè)，研究人員嘗試提出了各種不同的控制方法[2]。

一些研究者基于水下機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型采用了經(jīng)典控制方法，如PID 控制[3-4]、最優(yōu)控制、確定性反饋控制[5]等；其他研究者則提出了智能控制方法，包括模糊控制[6-7]、滑?？刂芠4]、魯棒控制[8]等控制方法等；也有研究者根據(jù)實(shí)際需求，將以上方法進(jìn)行融合或改進(jìn)，如自適應(yīng)滑模PID 控制[4,9-11]、模糊滑?？刂芠12-13]等。但大多數(shù)控制方法將水流影響視為外部干擾[4,7,11]，或直接將工作環(huán)境簡(jiǎn)化為靜水環(huán)境[6,12]，導(dǎo)致控制方法適用的水體環(huán)境與實(shí)際環(huán)境存在較大差距，影響了水下機(jī)械手控制精度和作業(yè)效率?；谝陨峡紤]，本文提出建立定向流影響下的水動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而得到基于水動(dòng)力學(xué)模型的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)浮力部分、水阻力和附加質(zhì)量力部分分別進(jìn)行在線逼近，利用魯棒自適應(yīng)控制律對(duì)時(shí)變參數(shù)以及非結(jié)構(gòu)非線性不確定性的影響進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 水下機(jī)械手水動(dòng)力學(xué)模型及仿真

水下機(jī)械手受到流體造成的浮力、水阻力、附加質(zhì)量力等因素的影響，其動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜，已知的研究大多采用半理論、半經(jīng)驗(yàn)的方法將部分水動(dòng)力學(xué)參數(shù)融入到機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程中，最終獲得水下機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型[14-15]。本文考慮定向流對(duì)水下機(jī)械手的影響，基于Morison 公式建立水下機(jī)械手的水動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行仿真。

1.1 水下機(jī)械手簡(jiǎn)化模型

本研究針對(duì)的研究對(duì)象為雙臂水下機(jī)械手。由于雙臂水下機(jī)械手運(yùn)動(dòng)范圍大、靈活度高，成本較低，相較于單桿機(jī)械手和多桿機(jī)械手應(yīng)用更為普遍，具有典型性和代表性。圖1為雙臂水下機(jī)械手結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，將桿1 和桿2 視為勻質(zhì)剛性桿，且兩桿之間為鉸接副。

圖1 水下機(jī)械手結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of manipulator structure

1.2 雙臂機(jī)械手的水動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)單個(gè)剛性桿在有流液壓環(huán)境中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其受到水流的作用力在單位長(zhǎng)度上的大小表示為

式中，F(xiàn)d為水阻力，F(xiàn)m為附加質(zhì)量力，F(xiàn)f為浮力，F(xiàn)l為升力。由于升力Fl與物體是否存在翼型沖角結(jié)構(gòu)有關(guān)，此處水下機(jī)械手無(wú)此結(jié)構(gòu)，故忽略不計(jì)；水阻力Fd為剛性機(jī)械手進(jìn)入黏性流體中受到的沿著來(lái)流方向的阻力；附加質(zhì)量力Fm是機(jī)械手加速運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的黏性水流的反作用力；流干擾下的水阻力Fd和附加質(zhì)量力Fm利用Morison公式計(jì)算，其矢量形式為

式中，Cm表示附加質(zhì)量力系數(shù)，Cd表示水阻力系數(shù)，ρ表示黏性流體的密度，D表示等效面積，A表示垂直于來(lái)流方向的投影面積。

由于直接計(jì)算剛性機(jī)械手在定向流干擾環(huán)境下的水阻力和附加質(zhì)量力矩較為復(fù)雜，故將其簡(jiǎn)化為兩部分，分別計(jì)算剛性機(jī)械手在靜水中攪水受力（圖2（b））和定向流中以任一位姿靜止受到的黏性水流沖擊力[15]（圖2（c））。

圖2 單個(gè)運(yùn)動(dòng)體的水動(dòng)力分解示意圖Fig.2 Schematic diagram of hydrodynamic decomposition of a single moving body

運(yùn)動(dòng)體以T1為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，θ1為運(yùn)動(dòng)體軸線方向與x軸的夾角，角速度ω1=θ?1。在運(yùn)動(dòng)體上取一個(gè)微段，微段到旋轉(zhuǎn)軸的矢量為r1。微段的線速度方向與運(yùn)動(dòng)體軸線垂直，即V0=ω1×r1。

首先考慮桿1 在靜水環(huán)境下，運(yùn)動(dòng)體自身運(yùn)動(dòng)攪水受力。運(yùn)用式（2）計(jì)算微段受力，沿著運(yùn)動(dòng)桿件軸線方向積分得到合成力矩。

其次，運(yùn)動(dòng)體自身保持任一位姿不變時(shí)，水流沖擊引起流體與桿件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，考慮水流定向流動(dòng)，設(shè)水流的速度為u，將水流簡(jiǎn)化為若干不計(jì)大小、形狀的質(zhì)點(diǎn)，則水質(zhì)點(diǎn)的速度為u，運(yùn)動(dòng)體軸線方向的單位矢量e=[ex ev ez]T。ex=cosθ1，ev=sinθ1，ez=0。將水質(zhì)點(diǎn)的速度在坐標(biāo)系O-XYZ下按三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，則u=[ux uv uz]T，將水質(zhì)點(diǎn)的速度轉(zhuǎn)換為垂直于桿件軸線的速度v。

代入式（2）計(jì)算合成力矩為

分析計(jì)算桿2所受的水動(dòng)力，根據(jù)圖1建立雙臂機(jī)械手的D-H坐標(biāo)系如圖3所示，采用與桿1相同的方法分析并計(jì)算桿2的水動(dòng)力。

圖3 機(jī)械手坐標(biāo)簡(jiǎn)圖Fig.3 Manipulator coordinate diagram

首先考慮靜水環(huán)境下，桿L2繞著Z1旋轉(zhuǎn)，并隨著L1繞Z0復(fù)合運(yùn)動(dòng)，在桿2 上取微段。此時(shí)l為微段距離桿2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系OX1Y1Z1原點(diǎn)距離。

桿2 繞Z0旋轉(zhuǎn)速度vz0=ω1×rz0=，其中，rz0為微段到z0軸的距離，折算vz0垂直于桿2 軸線方向上為vnz0=vz0cosβ1，β1為L(zhǎng)2軸線與rz0的夾角且β1= arccos((l2+r-l1)/(2lrz0))。

關(guān)于關(guān)節(jié)軸Z0求解的合成力矩為

考慮耦合因素影響，當(dāng)L2繞軸Z0旋轉(zhuǎn)時(shí)，L2所受水阻力對(duì)Z1軸產(chǎn)生的合成力矩為

桿L2繞Z1旋轉(zhuǎn)速度vz1=ω2×rz1=ω2l，其垂直于L2軸線，則計(jì)算對(duì)Z1產(chǎn)生的合成力矩為

考慮耦合因素影響，桿L2僅繞Z1旋轉(zhuǎn)，L2所受水動(dòng)力通過(guò)關(guān)節(jié)傳遞到桿L1，因而對(duì)Z0軸產(chǎn)生力矩

其次，當(dāng)機(jī)械臂保持空間某個(gè)姿態(tài)靜止時(shí)，通過(guò)Morison 公式計(jì)算水流對(duì)L2造成的水動(dòng)力矩。桿L2軸線方向單位矢量e=[ex ev ez]T。ex=cos（θ1+θ2），ev=sin（θ1+θ2），ez=0。水質(zhì)點(diǎn)的速度為u，u=[ux uv uz]T，將水質(zhì)點(diǎn)的速度轉(zhuǎn)換為垂直于L2軸線的速度v，v=[vx vv vz]T=e×（u×e）=[N]u。

受耦合因素影響，L2受水流沖擊力對(duì)Z0軸也產(chǎn)生力矩，運(yùn)用Morison公式計(jì)算可得

桿L2沖擊受力對(duì)Z1軸的力矩為

綜上所述，兩個(gè)關(guān)節(jié)的力矩為

1.3 水動(dòng)力學(xué)仿真分析

表1和表2分別為水體環(huán)境參數(shù)與水下機(jī)械手參數(shù)。由圖4顯示的兩關(guān)節(jié)浮力仿真結(jié)果可知，水體浮力對(duì)關(guān)節(jié)力矩的影響較大，且對(duì)桿1關(guān)節(jié)力矩的影響更加顯著，因而需要考慮補(bǔ)償。由圖5和圖6顯示的兩關(guān)節(jié)的水動(dòng)力仿真結(jié)果可知，當(dāng)水體的流速比較小時(shí)（u＜1.0 m/s），可以忽略水阻力和附加質(zhì)量力對(duì)關(guān)節(jié)力矩的影響，僅對(duì)浮力項(xiàng)進(jìn)行逼近；當(dāng)水體流速較大時(shí)（u≥1.0 m/s），不僅要考慮浮力的逼近，還要考慮水阻力和附加質(zhì)量力的逼近；當(dāng)水體流速以正弦波變化時(shí)，會(huì)對(duì)關(guān)節(jié)的控制力矩帶來(lái)擾動(dòng)，影響跟蹤效果，增加控制難度。

圖4 兩個(gè)關(guān)節(jié)的浮力仿真結(jié)果Fig.4 Buoyancy simulation results of two joints

圖5 兩個(gè)關(guān)節(jié)的水動(dòng)力仿真結(jié)果Fig.5 Hydrodynamic simulation results of two joints

圖6 兩個(gè)關(guān)節(jié)水動(dòng)力仿真的局部放大結(jié)果Fig.6 Local amplification results of hydrodynamic simulation of two joints

表1 水體環(huán)境參數(shù)Tab.1 Parameters of water environment

表2 水下機(jī)械手參數(shù)Tab.2 Parameters of underwater manipulator

2 基于水動(dòng)力學(xué)模型的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模

基于上文中的水動(dòng)力學(xué)模型，采用Lagrange 法即可得到定向流影響下基于水動(dòng)力學(xué)模型的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型為

上述矢量形式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中，M(θ)為慣性力矩，C(θ,θ?)為科氏力和離心力矩，G(θ)為考慮浮力的等效重力矩，F(xiàn)f(θ?)表示關(guān)節(jié)摩擦力矩，τh為水阻力矩和附加質(zhì)量力矩，τ為關(guān)節(jié)控制力矩，其中，

關(guān)節(jié)摩擦力可表示為關(guān)節(jié)角速度的函數(shù)Ff=c(θ?)。

3 定向流下水下機(jī)械手基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近控制算法

傳統(tǒng)的反饋控制、PID控制等方法較適合于解決線性、時(shí)不變性等相對(duì)簡(jiǎn)單的控制問(wèn)題，當(dāng)面對(duì)定向流影響下的水下機(jī)械手這一類強(qiáng)耦合、非線性、時(shí)變性、不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，由于無(wú)法獲得精確的數(shù)學(xué)模型，且大多需要進(jìn)行與實(shí)際系統(tǒng)不符合的線性化假設(shè)[2,16]，使得傳統(tǒng)控制方法無(wú)法滿足復(fù)雜系統(tǒng)的實(shí)際控制需求，本文提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)魯棒控制方法（圖7）。

圖7 控制算法結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Diagram of control algorithm structure

3.1 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)魯棒控制

雙臂水下機(jī)械手系統(tǒng)的方程如式（13），考慮系統(tǒng)的參數(shù)未知但有界，針對(duì)式（13），運(yùn)用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型整體進(jìn)行逼近。

定義誤差為e（t）=θd（t）-θ（t），誤差函數(shù)為r=e?+Λe。其中，Λ=ΛT＞0，當(dāng)r→0時(shí)，e→0，e?→0。

式中，

考慮實(shí)際情況，模型的不確定項(xiàng)f是未知的，因此，需要對(duì)不確定部分f進(jìn)行逼近。采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近上述不確定部分，由被逼近項(xiàng)的表達(dá)式（15），將網(wǎng)絡(luò)的輸入取為

理想的RBF網(wǎng)絡(luò)算法為

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

式中，ν為用于克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差ε的魯棒項(xiàng)。

將控制律式（18）代入式（14），得

3.2 自適應(yīng)律及穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是首先要考慮的問(wèn)題之一，它關(guān)系到系統(tǒng)是否能夠正常工作。經(jīng)典控制理論中已經(jīng)建立了Routh判據(jù)、Huiwite判據(jù)、Nquist判據(jù)等來(lái)判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)。Lyapunov提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性更一般的方法，不僅適用于單變量、線性定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性時(shí)變系統(tǒng)［15］?；贚yapunov理論，本文進(jìn)行如下穩(wěn)定性分析：

將式（19）代入上式，可得

根據(jù)多關(guān)節(jié)水下機(jī)械手的物理特性可知rT（D?-2C）r=0。取W??=-FWφrT，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為

則有

由于當(dāng)且僅當(dāng)r=0 時(shí)，L?=0，即當(dāng)L?≡0 時(shí)，r≡0。根據(jù)LaSalle 不變性原理，閉環(huán)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，即當(dāng)t→∞時(shí)，r→0，系統(tǒng)的收斂速度取決于Kv的選取。又因?yàn)長(zhǎng)≥0，L?≤0，則當(dāng)t→∞時(shí)，L有界，從而W?有界。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 計(jì)算力矩前饋控制法

計(jì)算力矩前饋控制方法［5］是一種應(yīng)用較為普遍的經(jīng)典控制方法，因此將本文方法與之進(jìn)行比較，對(duì)比方法的數(shù)值仿真結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 兩個(gè)關(guān)節(jié)的位置跟蹤結(jié)果Fig.8 Position tracking results of two joints

由機(jī)械臂兩個(gè)關(guān)節(jié)的數(shù)值仿真結(jié)果圖8（a）可以看出，計(jì)算力矩前饋控制可以實(shí)現(xiàn)基本的軌跡跟蹤且響應(yīng)時(shí)間小于等于0.25 s，可見(jiàn)傳統(tǒng)的計(jì)算力矩前饋控制方法具有可靠性和有效性；但進(jìn)一步觀察圖8（b）與圖9 兩個(gè)關(guān)節(jié)的誤差曲線看出，盡管兩個(gè)關(guān)節(jié)能夠到達(dá)期望位置，但缺點(diǎn)是誤差很大，尤其是關(guān)節(jié)1，其誤差值明顯高于關(guān)節(jié)2的誤差值。

圖9 兩個(gè)關(guān)節(jié)的角速度和角加速度誤差Fig.9 Angular velocity and angular acceleration errors of two joints

4.2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)魯棒控制

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中高斯基函數(shù)參數(shù)的取值對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制起著重要作用，如果參數(shù)取值不當(dāng)，將會(huì)導(dǎo)致高斯基函數(shù)無(wú)法得到有效的映射，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)失效［11］。因此按照神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具體輸入值的范圍進(jìn)行取值，該RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱含層和輸出層的神經(jīng)元數(shù)量依次設(shè)為5、5和1，網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值矩陣中各個(gè)元素的值取為0.1，設(shè)置系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［0.09 0 -0.09 0］，兩個(gè)關(guān)節(jié)的期望關(guān)節(jié)角指令分別設(shè)置為θ1d和θ2d，控制律中其他各參數(shù)的具體取值如表3所示。

表3 控制律參數(shù)Tab.3 Control law parameters

為充分驗(yàn)證本文方法在不同水流速度下的控制效果，在數(shù)值仿真過(guò)程中，分別設(shè)定流速相對(duì)較?。磚=1.2 m/s）和流速相對(duì)較大（即u=3.6 m/s，）的兩組模擬實(shí)驗(yàn)，其中，流速相對(duì)較小的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10、12（a）和圖13～14所示，流速相對(duì)較大的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11、12（b）和圖15～16所示。

圖10 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近結(jié)果（流速較小）Fig.10 RBF neural network approximation results(low flow rate)

圖11 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近結(jié)果（流速較大）Fig.11 RBF neural network approximation results(high flow rate)

圖10 和圖11 表示利用RBF 網(wǎng)絡(luò)在流速不同時(shí)對(duì)浮力和水動(dòng)力進(jìn)行逼近的結(jié)果，圖12 表示不同流速下兩個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入情況。由圖13（a）和圖15（a）兩個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤曲線可知，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近結(jié)果比較滿意，兩個(gè)關(guān)節(jié)都能夠按照預(yù)期軌跡運(yùn)動(dòng)，在響應(yīng)時(shí)間上相較于計(jì)算力矩法略有延長(zhǎng)，在流速較小時(shí)響應(yīng)時(shí)間為0.378 s，在流速較大時(shí)響應(yīng)時(shí)間為0.384 s，但無(wú)論流速多大，響應(yīng)時(shí)間的最大漲幅均小于0.15 s；并且，從圖12 可以看出兩關(guān)節(jié)所需要的控制力矩均在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，且沒(méi)有突變。

圖12 兩個(gè)關(guān)節(jié)的控制輸入Fig.12 Joint control input of two joints

圖13 兩個(gè)關(guān)節(jié)的位置跟蹤結(jié)果（流速較?。〧ig.13 Tracking results of two joints（low flow rate）

圖15 兩個(gè)關(guān)節(jié)的位置跟蹤結(jié)果（流速較大）Fig.15 Tracking results of two joints（high flow rate）

圖13（b）和圖15（b）分別表示在流速不同時(shí)的關(guān)節(jié)角誤差，圖14 和16 則表示流速不同時(shí)的角速度和角加速度誤差。在流速較小時(shí)，關(guān)節(jié)角的平均誤差最大不超過(guò)1.652×10-3rad，關(guān)節(jié)角速度的誤差最大不超過(guò)1.939×10-4rad/s，關(guān)節(jié)角加速度的最大誤差不超過(guò)4.706×10-5rad/s2；在流速較大時(shí)，誤差略大于流速較小的情況，但關(guān)節(jié)角誤差最大不超過(guò)6.981×10-3rad，關(guān)節(jié)角速度誤差最大不超過(guò)2.338×10-4rad/s，關(guān)節(jié)角加速度誤差最大不超過(guò)1.14×10-4rad/s2。

圖14 兩個(gè)關(guān)節(jié)的角速度和角加速度誤差（流速較?。〧ig.14 Angular velocity and angular acceleration error of two joints（low flow rate）

圖16 兩個(gè)關(guān)節(jié)的角速度和角加速度誤差（流速較大）Fig.16 Joint angular velocity and acceleration error（high flow rate）

計(jì)算力矩法與本文方法的誤差對(duì)比結(jié)果（表4）顯示，無(wú)論水流速度大小，基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的自適應(yīng)魯棒控制方法都能在兼顧實(shí)時(shí)性的同時(shí)保證控制的精確性，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的計(jì)算力矩前饋控制法，因而具有良好的控制效果。

表4 不同方法的跟蹤誤差比較Tab.4 Comparison of tracking errors of different methods

5 結(jié) 語(yǔ)

本文首先利用Morison 公式建立了機(jī)械手在定向流影響下的水動(dòng)力學(xué)模型，由此進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果顯示：在流速較小（u＜1.0 m/s）時(shí)，可以只考慮浮力的逼近；當(dāng)流速較大（u≥1.0 m/s）時(shí)，不僅需要考慮浮力的逼近，還要考慮水阻力和附加質(zhì)量力的逼近。

基于水動(dòng)力學(xué)模型，本文通過(guò)Lagrange 方程得到定向流影響下的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而建立基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模型整體逼近的自適應(yīng)魯棒控制方法，把數(shù)值仿真結(jié)果與計(jì)算力矩法相比，在保證響應(yīng)時(shí)間漲幅小于0.15 s 的前提下，使關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角加速度誤差分別降低了35.78%、26.01%和24.67%，證明該控制方法在控制誤差、穩(wěn)定性、自適應(yīng)性等方面均表現(xiàn)出良好的控制性能，研究結(jié)果可為定向流影響下水下機(jī)械手的水動(dòng)力學(xué)分析以及運(yùn)動(dòng)控制提供有價(jià)值的參考。