方一楠，譚希麗，張凱麗

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量極限理論的研究成果已經(jīng)比較豐富[1-2]，而相互獨(dú)立的樣本尚不足以處理某些實(shí)際問(wèn)題，因此，獨(dú)立隨機(jī)變量理論方法無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)需要.隨著對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量序列極限理論的研究，NA(negatively associated)、NOD(negatively orthant dependent)、NSD(negatively superadditive dependent)、END(extended negatively dependent)、WOD(widely orthant dependent)、m-WOD等一些混合和相依隨機(jī)變量序列的概念被學(xué)者們提出，并取得了一些有意義的研究成果[3-8].

在對(duì)相依隨機(jī)變量的研究中，WOD隨機(jī)變量序列尤為重要.在WOD隨機(jī)變量的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]提出m-WOD隨機(jī)變量序列的概念.

定義1[9]如果對(duì)某個(gè)固定整數(shù)m>1，對(duì)任意的n≥2和對(duì)任意的i1，i2，…，in∈*，當(dāng)ik-ij≥m，1≤k，j≤n時(shí)，Xi1，Xi2，…，Xin為WOD的，則稱{Xn，n≥1}為m-WOD隨機(jī)變量序列.

m-WOD序列是包含NA、NSD、NOD、END、WOD、m-NA、m-END等相依序列在內(nèi)的更為廣泛的相依序列，所以對(duì)其極限理論的研究非常具有理論和現(xiàn)實(shí)意義.目前，對(duì)于m-WOD序列極限性質(zhì)的研究已取得一些結(jié)果：如文獻(xiàn)[9]獲得m-WOD誤差下非線性回歸模型最小二乘估計(jì)的收斂性，文獻(xiàn)[10]研究了m-WOD序列密度函數(shù)和失效率函數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)相合性，文獻(xiàn)[11]獲得了m-WOD隨機(jī)變量序列生成的移動(dòng)平均過(guò)程的完全矩收斂性.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文在一般條件下利用m-WOD隨機(jī)變量序列的矩不等式及截尾技術(shù)，研究m-WOD序列部分和的完全矩收斂性，推廣了文獻(xiàn)[7]的研究結(jié)果.

定義2[8]如果存在正常數(shù)C，使得對(duì)所有的x≥0，i≥1，有

則稱{Yi，i≥1}為被隨機(jī)變量Y控制的隨機(jī)變量序列.

1 引 理

本文中I(A)表示事件A的示性函數(shù)，C，C1，C2，…表示正常數(shù)，不同的地方取不同值.

引理1[9]如果{Xn，n≥1}是控制系數(shù)為{g(n)，n≥1}的m-WOD隨機(jī)變量序列，其中g(shù)(n)=max{gu(n)，gl(n)}，{fn(·)，n≥1}是均為非升(或均為非降)的函數(shù)，則{fn(Xn)，n≥1}仍是m-WOD隨機(jī)變量序列，且其控制系數(shù)仍為{g(n)，n≥1}.

進(jìn)一步，假設(shè){ani，1≤i≤n，n≥1}為三角實(shí)數(shù)陣列，則存在正數(shù)C4(m，p)，C5(m，p)和C6(m，p)，有

引理3[7]設(shè)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的α≥0，λ>0，β>-1，有

引理4[7]設(shè)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的α≥0，λ>0，β<-1，有

引理5[12]設(shè){Xn，n≥1}是被隨機(jī)變量X控制的隨機(jī)變量序列，則對(duì)任意的α>0，b>0以及n≥1，以下兩式成立：

其中，C1和C2均是正常數(shù).

3 主要結(jié)果

定理1設(shè){Xn，n≥1}是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的m-WOD隨機(jī)變量序列，且EXn=0，存在某個(gè)θ≥1，使控制系數(shù)f(n)=O(nθ).設(shè)β>-1，r>1，1≤q<(r∧2)，{ani≈(i/n)β(1/n)，1≤i≤n，n≥1}是一個(gè)三角陣列.如果

(1)

則對(duì)任意的ε>0，有

(2)

(3)

證明：先證明式(2).對(duì)任意的1≤i≤n，n≥1，令

因?yàn)镋Xn=0，有

由Cr不等式可得

由Yi的定義和引理5得

由引理3和式(1)有

因此，M11<∞.

由引理4和式(1)，取p足夠大，使得(r-1)/(1+β)-1-p<-1，r-1-p<-1，類似于M11的證明，可得

因此，M1≤M11+M12<∞.

由引理5、Jensen不等式、Yi的定義證明M2<∞，有

由Markov不等式和式(1)，取p足夠大，使得r+θ-2-pr(1+β)/2<-1，r+θ-2-(r-1)p/2<-1，則有

<∞.

下面證明M22<∞.

由引理3和式(1)有

下面證明式(3).顯然對(duì)任意的ε>0，有

得證式(3)成立.證畢.

定理2設(shè){Xn，n≥0}是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的m-WOD隨機(jī)變量序列，且EXn=0，存在某個(gè)θ≥1，使控制系數(shù)f(n)=O(nθ).設(shè)β>-1，r>1，1≤q<(r∧2)，{ani≈((n-i)/n)β(1/n)，0≤i≤n-1，n≥1}是一個(gè)三角陣列.如果式(1)成立，則對(duì)任意的ε>0，有

證明：由Cr不等式可得

由引理2、Markov不等式、Jensen不等式以及q<2

顯然由Yi的定義和引理5得

根據(jù)引理3，類似于M11的證明，有

余下證明與定理1類似.證畢.