余世明,李 壯2,陳 龍,何德峰

(1.浙江工業(yè)大學 信息工程學院,浙江 杭州 310023;2.蚌埠學院 電子與電氣工程學院,安徽 蚌埠 233030)

隨著國民經濟與工業(yè)科技的迅速發(fā)展,汽車行業(yè)得到大力發(fā)展,但車輛過多和駕駛員對道路環(huán)境感知能力不足等因素會帶來交通堵塞和意外事故等問題。車輛隊列一致性協(xié)同控制通過調整合理安全間距,可提高車輛燃油經濟性和道路流通效率,在緩解道路交通壓力、實現(xiàn)節(jié)能以及提高交通流率和安全性等方面具有重要的作用[1-8]。網聯(lián)車隊穩(wěn)定性可通過協(xié)同自適應協(xié)同控制保證,通常需要兩車基于車載傳感器所測量的局部信息進行交互,即每輛車可接收到來自相鄰前車的狀態(tài)信息,但當車隊規(guī)模增大時,整個車隊對干擾的敏感度也隨之增強,則車隊協(xié)同控制會受到一定影響[9-10]。因此,車隊系統(tǒng)的通信結構對于協(xié)同控制有著很大作用。在網聯(lián)車隊中通常存在車輛模型耦合、約束條件非線性以及對應的物理約束,如速度和加速度等,使得車隊協(xié)同控制器更難設計。其中,由于分布式模型預測控制不僅可顯式處理非線性約束問題和隊列通信等問題,而且可以使隊列系統(tǒng)滿足良好的控制性能[11-16],從而被眾多學者廣泛學習。文獻[11]考慮帶有雙向通信的車輛隊列非線性系統(tǒng),設計分布式算法使得隊列達到控制性能;文獻[13]設計分布式MPC控制器解決車輛單向通信問題,并使得隊列滿足穩(wěn)定性;文獻[16]建立車輛縱向動力學,考慮在多種不同復雜程度的單向通信拓撲下對假設軌跡與預測軌跡的差值懲罰,并設計分布式控制策略,使得車輛之間達到期望間距,滿足一致性。上述研究中,車隊協(xié)同控制采用單一通信方式,設計相應控制器使系統(tǒng)滿足一致性性能,但在考慮大規(guī)模車隊系統(tǒng)時,跟隨車輛接收頭車狀態(tài)信息會越來越困難,則單一通信方式存在一定局限性,不適用于大型車隊協(xié)同控制。在車輛隊列現(xiàn)有工作中,針對協(xié)同控制提出了一些其他策略,如考慮把隊列控制問題轉換為設計一致性問題解決[17-22]。文獻[17-18]運用線性化動力學模型,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,利用恒定車間距設計非線性分布式一致性協(xié)議,使得隊列系統(tǒng)終態(tài)達到一致;文獻[19-20]建立三階非線性縱向偏差動力學模型,其安全間距與車速有關,設計分布式一致性算法,確保隊列系統(tǒng)滿足一致性;文獻[21-22]根據車頭時距策略,設計分布式一致性縱向控制器保證車隊系統(tǒng)穩(wěn)定性和一致性。上述研究工作大多是基于一致性問題設計分布式控制器,并應用到車輛隊列系統(tǒng)中,但相鄰車輛之間的車間距不滿足弦穩(wěn)定性。另外,穩(wěn)定性證明所應用的線性化方法在系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性時會降低精度,在一定程度上影響控制效果。當所考慮的車隊系統(tǒng)性能指標是非凸時,僅用傳統(tǒng)MPC較難處理,且系統(tǒng)穩(wěn)定性無法保證。為解決此類問題,許多學者進行了相關研究,文獻[23]提出構造穩(wěn)定性收縮約束,建立閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和優(yōu)化問題遞推可行性;文獻[24]提出基于Lyapunov函數的穩(wěn)定性約束,用來確保系統(tǒng)穩(wěn)定;文獻[25-26]采用耗散性和對偶性方法,但通常所研究的車隊系統(tǒng)是非線性的且存在約束條件,這類方法存在局限性。上述多數工作僅考慮了單個系統(tǒng),以車輛隊列為對象的工作較少,文獻[27]基于雙層控制策略設計車輛隊列協(xié)同控制算法,但單車系統(tǒng)穩(wěn)定性無法得到保證。

筆者所提出的分布式雙層策略可有效解決這類問題,且使得系統(tǒng)滿足相應的控制性能。首先,在混合拓撲通信下,考慮具有狀態(tài)和控制輸入約束的非線性車隊系統(tǒng);然后,應用MPC、滾動時域策略以及構造穩(wěn)定收縮約束建立車隊系統(tǒng)穩(wěn)定性、動態(tài)一致性優(yōu)化問題,以遞推可行性以及弦穩(wěn)定的充分條件;最后,通過7輛車的數值仿真驗證所提策略的有效性。

1 問題描述

考慮車隊系統(tǒng)由n輛車組成,其中1表示車隊中第1輛車。令車隊中每輛車i(i=1,2,…,n)可以接收到任意與其通信車輛j(j≠i)所傳遞的信息。在初始時刻,車隊跟蹤參考軌跡,其軌跡信息為(pdes,vdes),同時所有跟隨車輛i接收到期望速度vdes;在其他時刻,第1輛車跟蹤期望軌跡,其他車輛i(i=2,3,…,n)跟蹤前車i-1,并接收與本車通信車輛j(j∈Ωi)的狀態(tài)信息。假設車輛行駛在平坦的公路上,模型不存在干擾,且通信性能良好。

車輛i(i=1,2,…,n)的位置和速度由pi和vi表示,定義車輛i相對位置偏差ep,i=sdes-si-(i-1)d和速度偏差ev,i=vi-vdes。則車輛i的縱向偏差離散時間模型[16]為

(1)

umin,i≤ui≤umax,i

(2)

式中:umin,i<0;umax,i>0,且是有界的。通常情況下,車輛剎車性能好于加速性能,即控制輸入滿足|umin,i|≥|umax,i|以保證車輛良好的剎車性能。假設系統(tǒng)存在平衡點(xi,s,ui,s)滿足xi,s=fi(xi,s,ui,s)。對于每輛車i而言,其狀態(tài)變量可表示為xi(k)=[ep,i(k),ev,i(k)]T。為了書寫方便,將式(1)簡記為

xi(k+1)=fi(xi(k),ui(k))

(3)

定義1當期望速度vdes在k=0時刻發(fā)生階躍變化時,控制目標是車隊中每輛車的狀態(tài)誤差關于原點是漸近穩(wěn)定的,則稱隊列系統(tǒng)具有內部穩(wěn)定[13]。

定義2當期望速度vdes在k=0時刻發(fā)生階躍變化時,控制目標是車隊中每輛車的狀態(tài)關于原點是漸近穩(wěn)定的,且閉環(huán)系統(tǒng)式(3)的位置誤差滿足以下關系式

(4)

對任意i=2,3,…,n存在βi∈(0,1),則稱為弦穩(wěn)定[13]。

假設車隊中包含n輛車,將每輛車視為一個節(jié)點,該車隊中所有車輛表示為一組元素集合NG={1,2,…,n}。車輛間的通信方式可由一組有權重單向圖G=(NG,εG,A)表征。其中εG?{(i,j):i,j∈NG,j≠i}表示為邊緣集。A表示為鄰接矩陣,鄰接矩陣A用于描述在跟隨車輛的有向通信拓撲,其被定義為A=[aij]∈Rn×n,矩陣中每個元素aij可表示為

(5)

式中:(j,i)∈εG為在節(jié)點i和節(jié)點j之間存在一條有向路徑;aij為節(jié)點i從節(jié)點j接收到狀態(tài)信息。而aji是與aij不同的通信連接方式,其表示節(jié)點j從節(jié)點i接收到狀態(tài)信息。若從節(jié)點i到節(jié)點j存在一條路徑,其中節(jié)點i∈NG與節(jié)點j∈Ωi是連通的,Ωi表示為節(jié)點i的鄰居節(jié)點集合,其集合Ωi={j|aij=1,j∈NG},對偶集合Θi={j|aji=1,j∈NG},對于無向圖有Ωi=Θi。

對于?i,j∈NG×NG,節(jié)點i與節(jié)點j是連通的,則圖G是強連通的。當存在根節(jié)點i∈NG,?j∈NG,在一條從節(jié)點i到節(jié)點j的路徑,則有向圖包含一條有向生成樹,其中有向樹是指它除了根節(jié)點之外,每個節(jié)點都只有一個父節(jié)點,而根節(jié)點沒有父節(jié)點,但它有一條路徑通往其他所有節(jié)點。其是隊列協(xié)同控制達到一致性的條件之一。

筆者目標是針對非線性車隊系統(tǒng)協(xié)同一致性問題設計分布式分層控制,使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性和對應的編隊隊形,保證安全性,同時使得車隊系統(tǒng)狀態(tài)達到一致穩(wěn)態(tài)。

2 車隊一致性DMPC

為了使動態(tài)一致性性能在預測時域內最小化,定義動態(tài)一致性目標函數為

(6)

問題1:

(7)

s.t.xi(t+1|k)=fi(xi(t|k),ui(t|k))

(8)

(xi(t|k),ui(t|k))∈Xi×Ui,t=1,2,…,N

(9)

xi(0|k)=xi(k),xi(N|k)∈Xi,T,i=1,2,…,n

(10)

(11)

Ji(xi(k),ui(k))≤φi(xi(k),λi)

(12)

考慮車輛隊列系統(tǒng)跟蹤性能,定義單車穩(wěn)定性目標函數為

(13)

式中:Ji(xi(k),ui(k))=xTi(N|k)Pixi(N|k)+∑N-1 t=0xTi(t|k)Qixi(t|k)+uTi(t|k)Riui(t|k);矩陣Qi=QTi>0,Ri=RTi>0,Li:Xi×Ui→Ξi和Ei:Xi∈Ξi是連續(xù)有界的,Xi和Ui為凸集。則求解優(yōu)化問題為

問題2:

(14)

s.t.xi(t+1|k)=fi(xi(t|k),ui(t|k))

(15)

(xi(t|k),ui(t|k))∈Xi×Ui,t=1,2,…,N

(16)

xi(0|k)=xi(k),xi(N|k)∈Xi,T,i=1,2,…n

(17)

(18)

構造收縮約束函數,φi定義為

(19)

考慮問題1在k時刻可行,則根據滾動時域控制原理,控制律表達式為

(20)

(21)

具體步驟如下:

步驟1初始化(k=0)為

1) 在k=0時刻,車輛i(i=1,2,…,n)接收參考速度vdes,且φi(xi(k),λi)為無窮大。此時,第1輛車求解問題1,且不考慮約束式(11),并將求得的最優(yōu)狀態(tài)x*1,1(t|0)傳遞給后面所有跟隨車輛i(i=2,3,…,n),并將最優(yōu)控制輸入序列作用到本車系統(tǒng)。

2) 對于車輛i(i=2,3,…,n)接收由第1輛車傳遞的狀態(tài)x*1,1(t|0),t∈[0,N],此時求解問題1,并用約束為

(22)

步驟2迭代(k=1,2,…),每輛車執(zhí)行過程為

1) 車輛i(i=2,3,…,n)接收來自與車輛i相互通信的車輛j(j≠i,j∈Ωi),所假設的狀態(tài)信息。

2) 此時先求解問題2,用于更新φi(xi(k),λi),再求解問題1時,隊列系統(tǒng)增加額外約束條件,對于第1輛車有

(23)

對于車輛i(i=2,…,n-1)有

(24)

3 穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定

假設1在終端不變集Xi,T內存在局部控制律ui=κi(xi)滿足κi(xi)?Ui和Ei(fi(xi,κi(xi))-Ei(xi)≤-Li(xi,κi(xi)),?xi∈Xi,T。

引理1存在以下參數條件成立時,表達式為

(25)

則閉環(huán)系統(tǒng)位置誤差滿足式(11),其中參數(αi,εi-1,k,εi,k)∈(0,1)[16]。

定理1如果假設1成立,對任意給定λi≥0,優(yōu)化問題1在Xi,N中滿足遞推可行性,進而Xi,N是閉環(huán)系統(tǒng)(21)的不變集。

(26)

(27)

對式(27)變換得

(28)

應用三角不等式和約束式(24)得

(29)

可見文獻[13]引理3,并由初始化時刻約束式(22)得

(30)

根據式(27～30),并將式(28)代入式(29)得

(31)

(32)

把式(28)代入式(32)可得

(33)

得不等式(33)有界,且滿足

(34)

(35)

考慮控制序列(26),可得

(36)

根據式(35)和假設1,式(36)化簡可得

(37)

定理2如果假設1成立,且問題1在初始時刻存在可行解,則對給定λi∈[0,1),則xi,s是閉環(huán)系統(tǒng)式(21)在Xi,N內漸近穩(wěn)定平衡點,且Xi,N是車輛i閉環(huán)系統(tǒng)的一個吸引域,XN=X1,N×X2,N×…×Xn,N為整個車隊閉環(huán)系統(tǒng)的一個吸引域,且若約束式(22～24)成立,則車隊系統(tǒng)滿足弦穩(wěn)定。

證明對任意給定λi∈[0,1)優(yōu)化問題在初始時刻是可行的,根據定理1可知該優(yōu)化問題在k時刻存在可行解。

(38)

將式(37)代入式(38),并考慮假設1,整理得

(39)

由于λi∈[0,1),且Li(xi,ui)為正定函數,所以值函數沿著閉環(huán)系統(tǒng)(21)的軌跡是嚴格單調遞減的。又因為Ji(xi,ui)是平衡點的正定函數,從而平衡點是閉環(huán)系統(tǒng)式(21)在Xi,N內漸近穩(wěn)定平衡點。Xi,N是車輛i閉環(huán)系統(tǒng)的一個吸引域,同理可得XN則是整個車輛隊列閉環(huán)系統(tǒng)的一個吸引域。

問題1在任意時刻存在可行解,且閉環(huán)系統(tǒng)式(21)關于平衡點漸近穩(wěn)定。由上述優(yōu)化問題可行推導過程可知,聯(lián)立式(22～24),滿足不等式(4),因此可建立閉環(huán)系統(tǒng)的弦穩(wěn)定。

4 仿真驗證與結果分析

為驗證筆者控制策略可在任意混雜通信拓撲結構下車隊系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性,實現(xiàn)一致性穩(wěn)態(tài),同時使得車隊系統(tǒng)在運動過程中滿足隊形約束,保持安全車間距離,達到控制性能。利用7輛同質車組成的車隊,驗證筆者策略有效性,其中混雜通信拓撲如圖1所示。

圖1 混合通信拓撲Fig.1 Mixed communication topologies

優(yōu)化問題預測時域N=12,算法中初始時刻k=0,期望速度vdes從19 m/s增加到20 m/s,車隊跟蹤新的期望速度,確保安全車間距離,直到速度誤差為0,車隊中各車速度相同,且相對期望位置誤差為0。在k=0時,各車相對位置誤差為0,速度誤差為-1 m/s。式(13)和式(6)中懲罰權重取值分別為Qi=diag(0.5,2),Ri=1×10-5,Fi=[2,0;0,2],Gj=[2,0;0,2];車輛參數選取為mi=1 035.7 kg,Ci=0.99 N·s2·m-2,ri=0.30 m,μi=0.015 5,ηi=0.965,i=1,…,7?？刂戚斎雞i的最小值和最大值分別為umin,i=-3 500 N,umax,i=3 500 N,其體現(xiàn)加速度取值,收縮函數(10)中λi=0.8。

系統(tǒng)(1)在平衡點(xi,s,ui,s)處線性化模型求解LQR問題得終端罰函數Ei(xi)=(xi-xi,s)TPi(xi-xi,s)和局部控制器κi(xi)=Ki(xi-xi,s)+ui,s,其中平衡點為(xi,s,ui,s)=(0,0,48.908 7),終端域、矩陣和增益分別為Xi,T={xi∈Ξ2:Ei(xi)≤0.154},Pi=[9 054.705 7,432.710 8;432.710 8,42.313 0],Ki=[134 573.070 9,13 159.336 0]。

4.1 車隊一致性控制比較

在圖1(a)通信拓撲下,首先考慮一致性目標函數式(6),求解問題1用C-MPC表示。應用筆者所提控制策略,求解雙層優(yōu)化問題記為DH-MPC,其中優(yōu)化問題約束為式(8～11),參數選取同上文所述。對7輛車組成的車隊進行比較仿真。C-MPC與DH-MPC狀態(tài)曲線變化如圖2所示。由圖2可知:當只考慮動態(tài)一致性目標(C-MPC)時,車隊系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)問題,未能滿足跟蹤穩(wěn)定性,且狀態(tài)未達到一致穩(wěn)態(tài)。而筆者提出的分布式雙層策略(DH-MPC)使得車隊系統(tǒng)實現(xiàn)跟蹤穩(wěn)定,狀態(tài)收斂于一致性穩(wěn)態(tài),且在車隊行駛過程中滿足隊形關系,即弦穩(wěn)定,同時車輛間保持安全間距,有效地實現(xiàn)車隊協(xié)同控制。

圖2 C-MPC與DH-MPC狀態(tài)曲線變化Fig.2 State curves of C-MPC and DH-MPC

4.2 車隊一致性控制

為了驗證分布式雙層策略在任意通信拓撲下使閉環(huán)車隊系統(tǒng)式(21)滿足跟蹤穩(wěn)定性和狀態(tài)一致性,并實現(xiàn)車隊協(xié)同控制,考慮圖1(b,c)兩種混合通信拓撲,仿真結果如圖3所示。

圖3 每輛車狀態(tài)曲線Fig.3 State curves of each vehicle

由圖2,3可知:在3種混合通信拓撲下車隊系統(tǒng)滿足跟蹤穩(wěn)定,各輛車具有相同的速度,相對位置偏差最終收斂于0,實現(xiàn)狀態(tài)一致性,并收斂于穩(wěn)態(tài),且在行駛過程中滿足弦穩(wěn)定,車輛間滿足安全間距,實現(xiàn)協(xié)同控制。同時加速度與車輛速度相對應,并在安全范圍內。

5 結 論

首先在任意通信拓撲下,針對具有狀態(tài)和控制約束的非線性車隊系統(tǒng)協(xié)同一致性穩(wěn)態(tài)問題,提出了混合通信拓撲分布式雙層控制策略;然后通過構造收縮約束使跟蹤穩(wěn)定性和動態(tài)一致性目標相關聯(lián),并應用MPC三要素法和滾動時域建立了車隊系統(tǒng)穩(wěn)定性和優(yōu)化問題遞推可行性的充分條件;最后數值仿真驗證了所提策略可使車隊在任意通信方式下滿足跟蹤穩(wěn)定性,車輛間保持安全間距,且狀態(tài)收斂于一致性穩(wěn)態(tài),車隊達到相應控制性能,實現(xiàn)協(xié)同控制。筆者研究為大型車隊系統(tǒng)的研究工作提供思路和參考,后續(xù)可進一步深入學習和研究。